2021届广西名校高三年级上册第一次高考模拟数学（理）试题及答案

绝密★启用前

2021届广西名校高三上学期第一次高考模拟数学（理）试题

注意事顼：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案

正确填写在答题卡上

一、单选题

./〃（x-6）］［（x+2）（8x+l）15

1.设集合A=〔X+1J,集合B=l以48j.则

A.B=()

6白

B.

10

D.R

答案：D

求定义域确定集合A,根据函数的单调性得集合B,再由集合的运算计算.

x-6>0

解：由《,八得x〉6,所以A=(6,+8),

X+1H0

_(X+2)(8X+1)_8X2+17X+2_C_1,171/5…1—5

y———JLXHI,一〈一时，一W2x<一,

4x4x2x44824

t=2x,由勾形函数知"=♦+；在g/］上递减，在［I,》上递增,

-1…5541--5,

f=1时,u—2,t——时，u——,t——时，u——,所以—J,

224202

252725272527

，即8=

所以T'T（彳,+8），

所以Au（48）=H.

故选：D.

点评：关键点点睛：本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合的元素，解题时需

要根据集合中代表元的属性进行求解.集合A是求函数的定义域，集合8求函数的值

域，函数式化简后由单调性确定值域.

2.警察抓了4名偷窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，甲乙丙丁四人相互认识，警察将四名嫌

疑人分别进行审问.甲说：“是乙和丙其中一个干的.”乙说：“我和甲都没干.”丙说:

“我和乙都没干.”丁说：“我没干.”己知四人中有两人说谎，且只有一人偷窃，下列

两人不可能同时说谎的是()

A.甲和乙B.乙和丙C.丙和丁D.丁和甲

答案：C

假设甲和乙同时说谎，则丙和丁没有说谎，然后从4个人说的话进行分析，可得到是甲

干的；若假设乙和丙同时说谎，则甲和丁没有说谎，然后从4个人说的话进行分析，可

能是乙干的；若假设丙和丁同时说谎，则甲和乙没有说谎，然后从4个人说的话进行分

析，此时选不出是谁干的，所以丁和丙不可能同时说谎；若丁和甲同时说谎，则乙和丙

没有说谎，然后从4个人说的话进行分析，可得到可能是丁干的

解：解：对于A,若甲和乙同时说谎，甲说谎：则意思是甲或丁干的，乙说谎：则意思

是甲或乙干的，丙：丙和乙都没干，是丁或甲干的，丁：甲或乙或丙干的，此时可能是

甲干的；

对于B,若乙和丙同时说谎，甲：丙或乙干的，乙说谎：甲或乙干的，丙说谎：则意思

是乙或丙干的，丁：甲或乙或丙干的，此时选可能是乙干的

对于C,若丙和丁同时说谎，甲：丙或乙干的，乙：丙或丁干的，丙说谎：则意思是乙

或丙干的，丁说谎：则意思是丁干的，此时选不出是谁干的，所以丁和丙不可能同时说

谎；

对于D,若丁和甲同时说谎，甲说谎：则意思是甲或丁干的，乙：丙或丁干的，丙：丙

和乙都没干，是丁或甲干的，丁说谎：则意思是丁干的，此时可能是丁干的

故选：C

3.如图，在正方体ABC。-44GA中，AB=\,M、N分别是A3、BC的中点，

平面gAC分别与QM、D、N交于P、Q两点，则S△町Q—()

5

B.还

55

D.述

25

答案：D

以点。为坐标原点，DA^DC,所在直线分别为X、）'、z轴建立空间直角坐

标系，利用空间向量法计算出点2、M到平面A4c的距离4、d2,可计算出

\DP\&

岛t/==:，再利用线面平行的性质推导出尸。〃的V,利用共线向量的坐标运算

可求得点尸、。的坐标，进而可计算出S△印＞2.

解：以点。为坐标原点，DA、DC、。。所在直线分别为彳、）'、z轴建立空间直

角坐标系，

如下图所示：

则点4(1,0,0)、c(o,i,o),耳(1,1,1)、〃(0,0,1)、例

设平面A4c的法向量为〃=(x,y,z),AC=(-1,1,0),AB,=(0,1,1),

n-AC=-x+y=0x=y

由<，可得《,取y=l,则x=l,z=—i,=1),

n-AB}-y+z-0z=-y

2_2百

AA=（1,0,-1）,点D到平面AB,C的距离为4TT=WF，

MA=〔0,一：,()],点〃到平面A4c的距离为[=KH=五=叵

I2J2|„|V36

25y

4一丁=4

所以,

d]+d22A/3A/35

36

M、N分别为AB、BC的中点，则MN//AC,

MN<z平面做C,ACu平面做C,.•.MN〃平面做C,

MNu平面"MN,平面RMN平面ABQ=PQ,；.PQ〃MN.

设点尸（不如马）、。（孙必*2），

44

--X=-

5*5

2I2

1

^xl--<%--

由=可得(玉=则515

41

4T---

--5-5

f421)(241

所以，点P,同理可得点Q—,—,-

134314)

:.BF=，-，-，B、Q=，-，-,忸尸卜国卜平,

555555>

cosNPgQ=j#G&=*则而"BQ=Jl—cos?NPB、Q=笔，

因此，5-=躯耳,孙皿“%=挈.

故选：D.

点评：利用空间向量法计算立体几何中的三角形的面积，通过计算点〃、M到平面

A4c的距离来确定点尸、。的位置是解决本题的关键，对于线面的交点问题，以后也

可以采取类似的方法解决.

4.在四面体ABCD中，AB=6,BC=3,BD=4,若NABO与/ABC互余，则

6A的最大值为()

A.20B.30C.40I).50

答案：B

冗

设NA8O=。，可得/ABC=一—a,利用空间向量数量积的定义以及辅助角公式，

2

结合正弦函数的有界性可求得BA-(8C+B。)的最大值.

71

解：设NA50=a,可得NABC=一—a,则£为锐角，

2

在四面体ABCO中，AB=6,BC=3,BD=4,

则

BA-^BC+BD^=BA-BC+BA-BD=\BA-\BC\cos(--a+|^|-I^D|cosa

12/

4

二18sina+24cosa=30sin(a+0),其中夕为锐角，且tan°=一.

Qo<a<-f则e<a+e<5+*,

所以，当a+9=1时，BA-（3C+8D）取得最大值30.

故选：B.

点评：在计算向量的数量积时，要确定好基底向量，作为基底向量的向量，长度以及向

量间的夹角需已知.

5.（%-1）（/—1）卜3-1）卜4一*第5一］）的展开式中各项的指数之和再减去各项系数

乘以各项指数之和的值为（）

A.0B.55C.90D.120

答案：C

将（X—1）卜2—1）（/一1）（/_］）卜5-1）展开，利用题中信息可求得结果.

解：（x-1乂X?-1乂/-1）（X4-1）（丁-1）

=x15—x14—x134-X10+X9+X8-X7—x6—x5+x2+x-1，

所以，（%一1乂——1）（丁一1乂/一］）（工5一1）的展开式中各项的指数之和为

15+14+13+10+9+8+7+6+5+2+1=90,

展开式中各项系数乘以各项指数之和为15—14—13+10+9+8—7—6—5+2+1=0,

因此，所求结果为90—0=90.

故选：C.

点评：求解二项展开式中有关项的指数与系数的问题，一般将二项式展开，也可以利用

二项式定理来求解.

6.（万"+1）=（）

A.1B.-1C.2D.-2

答案：D

先求（、/方-1）和+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.

解：（V2/+1）2=-1+272/,

/.（"-1）4=（一1—2母»=-7+4/，（"+1/=（―1+2"j=-7-4"，

（V2/-iy=（-7+4"）（"-l）=-l-llV2z，

（"+171）=1-1172/,

1)-(V2/+1)5=-2，

故选：D.

7.执行如图所示的程序框图，结果是()

A.11B.12

C.13D.无输出.

答案：B

根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出k的值，模拟程序

的运行过程，可得答案.

解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下：

〃=17,氏=0

17不是偶数，〃=3xl7+l=52,左=0+1=1,52#1；

52

52是偶数，n=—=26,左=1+1=2,26wl；

2

26

26是偶数，n--=13,%=2+1=3,13。1；

2

13不是偶数，“=3x13+1=40,攵=3+1=4,4()工1；

40

-一-

40是偶数,2%=4+1=5,20=1；

20

-2-0-10

20是偶数,2攵=5+1=6,10^1；

10是偶数，n--=5,k=6+1—7,5*1；

2

5不是偶数，71=3x5+1=16,左=7+1=8,16^1；

〃=3=8,

16是偶数,左=8+1=9,8/1：

2

8

8是偶数,〃=—4,左=9+1=10,4x1；

2

4

4是偶数,n=一2,%=10+1=11,2。1；

2

〃二二1,

2是偶数,2=11+1=12,1=1;

2

故选:B

点评:关键点睛：本题考查了求程序框图的运行结果得问题，解题的关键是要读懂程序

框图,模拟程序框图的运行过程，得出结论，属于基础题.

8.包字92=()

3cos36+1

1111

A.-B.-C.一D.-

8642

答案：A

11

先求出cos36。，然后，利用sin242°cos212°_Z（c°s36°+/）2,代入c°s36。的值求解

3cos36+13cos360+1

即可

“c-iccr,crccsin72°cos72°sin144°1

解:cos36°sm18°=cos36°cos72°=-------------=--------

2sin36°4sin3604

cos36°-sin18°=sin540-sin18°=sin(36°+18°)-sin(36°—18°)=2cos360sin180=g

…怨，所以,

令x—cos36°，得sin°1=8—,x----——

4x4x2

.•.COS36。=无担

4

sin242°cos212°_(sin420cosl20)2[sin(42°+12°)+sin(42°-12°)]2

所以,

3cos36°+13cos360+1—

3cos360+1

2

11；哼+7*+3⑹1

iz、—(cos36°+―)

-(sin540+sin30°)=42

=-----------------3cos360+1-(7+3^)&

3cos360+1

4

故选：A

sin14401

点评：关键点睛：解题的关键在于，利用cos360sinl80=:和

4sin3604

cos360-sinl8°=-,求出cos36。，然后利用余弦函数的两角和差公式进行求解，运

2

算量较大，属于难题

9.已知a=5+2G_m3，bc—1-In2,则()

6e2

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

答案：B

构造新函数，结合导数可得丘11,进而可得

I2J6

5+2百3

-ln3-(l-ln2)>0»即可得c<a,通过放缩可证明人<y<c,即可得解.

6

X2X3X4X5

解：令/(x)=ln(l+x)-x-\--------1-------,x>0,

2345

11234

则:⑺二--------I+X-X~+X-X<0.

I+Xl+x

丫2丫345

所以“6单调递减，〃x）</（0）=0,所以in（l+x）<x—

所以I圆篁篁篁明处.

<—

223459606

所以5+2^_]n3_（l-ln2）=2^_l_]n3）0,即c<a；

6v762

23

因为CP2.718,所以力二v<一，

e10

又/>2.77>21°，所以InZv%；,所以l—ln2>工，

匕/41（）1（）

所以〃<c；

所以〃<c<a.

故选:B.

点评：关键点点睛：解决本题的关键是构造新函数对代数式进行合理放缩.

31

10.已知数列。〃=万。3+3々〃_]+/，4=2,则Iog2（4+1）=（）

A.631og23-31B.311og23-15C.631og32-31D.311og32-15

答案：B

令勿=log2（q,+l）,推导出数列（2+log2ml为等比数列，确定该数列的首项和公

比，进而可求得Iog2（%+1）的值•

3i3?

解：由%=万。3+341T+万可得4+1=e(a“T+1)，

4=2>0,根据递推公式可得出4>0，6>0,

进而可知，对任意的〃eN*，«„>0,

3,

在等式«„+1=-(«„-,+1)■两边取对数可得

「3213

log2(a„+l)=log2-(«„_,+1)"=21og2(a„_,+l)+log2-)

3

令bn=log2(a„+l),则2>0,可得bn=2bH_x+log2-,则

3(3、

”+log23=2bn.+Jog-:,

31

所以，数列\b+\Q-I是等比数列，且首项为

n■2.

33

+10号告(。110+g-$12—»公比为2,

349

4+log2-=2log21=16(21og23-1)=3210g23-16,

3

即log2(%+1)=32log23-16-log2—=311og23-15.

故选：B.

点评：开ij如"4+i=pan+q”这种形式通常转化为a„+l+Z=p（a"+几）,由待定系数

法求出X,再化为等比数列.

11.已知椭圆土+乙=1上有相异的三点A,B,C,则S△耽的最大值为（）

42

3屈

A,近B.3夜D.3n

2

答案：C

22

设椭圆J匕=1上的三个不同的点

a2b2

A(溷o的।&02ian%Ip,，作它们在直线y=-b上

的射影4,4,G，用梯形面积表示出ABC的面积，然后转换为求三角函数的最大值,

由三角函数恒等变形及均值不等式可得最大值，从而得（SAABC）11ra=乎a8.由此可

得正确选项.

解:首先证明一个结论,设A(acosG，Z?sina),B(acos02,bsin02),C(acos03,bsin03)

22

(0«4<&<"<2万)是椭圆j+3=1上的三个不同的点，直线/:y=—。，

ab

A，4c分别是ABC在直线/上的射影，则

A(acos8、,-/?),B](acosO2,-b\C}(acos03,-/?),

SABC=S悌形/u1gB+S梯形B&GC-S怫形MGC

CC

=|(|M|+|^J)|AS1|+|(|BBI|+|CC1|)|B1C1|-1(|M|+I.I)IAC1|

=—Ssinq+Z7+Z?sin^2+/7)(«cos-6zcos^2)

+^(/?sin^2+Z?+/7sin^3+/7)(dfcos^2-tzcos^)

一gssinq+/7+Z?sin4+〃)(acos61-acosff3),

二g。力回6名-4)+sin(^3-^2)-sin(^一〃)],

<4<4<2万，Jg—4，劣一夕2，”一耳£(0,21),

令a=a—a,/?=a—&,则a+/?=a—a£(0,2兀),

S^ABC=~Q〃[sina+sin/?-sin(a+/?)]

令p=sina+sin/?-sin(a+/?)

C.a+7?a-B3.a-\-Ba+B

=2sin----cos-----2sin----cos...-

2222

八.a+。(a-Ba+

=2sin----cos-----cos...-

2I22)

.a+双、a+/71

<2sin-----1-cos-----

2I2)

..a+13.,a+尸0.)a+4a+B

=4sin---—•sin-----=8sin----cos----,

2444

2,上，.6£。a+B

p'<64sin----cos'----

22

64.a+p.a+)3.,a+尸

=—sin2"...--sin2------3cos----

3444

.■>cc+B.a+B.2a+0.,a+£\

sin----+sin---—+sin----+3cos-----

巴4444=2

344

\7

a-B

「cos----=1

包，当且仅当I2即。=4=工工时等号成立.

2.2。+£?2a+43

sin----=3cos...-

I22

本题中，。=2,8=④，，(S“2c)max=/^x2x夜

故选：C.

点评：结论点睛：本题考查求椭圆内接三角形最大面积，记住结论:

椭圆W+£=l内接三角形的最大面积为空时.

a2b24

12.若a、b是小于180的正整数，且满足sin(a+〃)=即(/+2〃)贝愉足条件的

sinasin。

数对(a。)共有()

A.2对B.6对C.8对D.12对

答案：A

根据a、分是小于180的正整数，确定2<a+Z?<36Oq+。2，

3<a+2b<54O,a+2beN\结合正弦函数图像，分。=〃和。+人=180两种情况讨

论即可.

解：解：1工。<180,。wN*、1vl80,。wN*,所以2<。+/?<360,。+/?£N*,

3<a+2b<540,。+2/?£N结合观察正弦函数的图像，

(1)Q=Z?时,

a+b+a+2b八八1a+b+〃+2b

-----------=90或-------------=2/0,

22

所以〃=b=36或。=力=108.

(2)审=90时，同样有sin"=sin。"此时sin(a+3"=0,但6W0,

则sin(a+2b)°工0,所以此时没有满足题意的整数对;

综合⑴(2),满足题意的(。力)有2对.

故选：A

点评：思路点睛：一般情况下，满足/=:的a,b,c,4有无数对，由于本题的特殊性,

ba

ac

—=—o〈这是本题的难点.

bdb=a

二、填空题

13.已知恒正函数/(x)=x2/r(x),/(1)=-.若不、/、忍v0,且

(11.、

玉+W+七=◎1n.则f,f—,f—的最大值为

7\X2/kX37

答案:(If

由柯西不等式得(x：+6+4)乂(1+1+1)2(须+/+七)2=311122,构造函数

In/(v^—+.利用已知求出c再由

X

1(1)e-(*；+W+6)We-i/2可得答案.

♦77=

")1W7\X37

解：因为玉+与+&=-V§ln2,

2

所以(x：+x；+x；)x(1+1+1)+x2+x3)'=31n2,

所以d+考+考^^?,当且仅当王=%=七=一£二2等号成立,

因为(ln/(x))'=，•，所以ln/(x)=-，+c,

所以由/(1)=一得/(l)=eT+'=eT,所以c=0,=

/1A<1\<1A/17n2

所以/-T-/-T/-T=«-(x'+^)<e-ln22=|-|.

X

kX|Jv-^2J\3J

(1Vn2

故答案为：-.

点评：利用柯西不等式求最值的关键是根据已知条件，构造符合柯西不等式的形式及特

点，左边是平方和的积，右边是积的和的平方，然后求解最值，构造符合柯西不等式的

形式时，可以有以下几种方法：巧乘常数；添项；改变式子的结构；重新安排各项的次

序等.

14.在平面直角坐标系中，A(-2,()),B(0,l),(:为V+y2=i上的动点，则MC+忸C|

的取值范围为.

答案(等)

当AC,8共线或C,B重合时，最小值易得，然后求得尸点坐标得IM，忸H，设

NBPC=a,在两个相邻三角形中应用余弦定理表示出|AC『和忸C『，消去cosa,

并代入|AP|,忸H，得凶L+四L=1+*|PC「4I+*X22=U,然后用柯西不

32663

等式得|AC|+|BC|的最大值.

解：如图，易知当。与B重合或者是线段AB与圆的交点P时，(|AC|+怛。讪=石，

直线A3方程是二+2=1,即x-2y+2=0,

-21

x一2y+2=0

由《

/+/=1

・•.IM考阿普，

设ZBPC=a,则忸C『=|PB|2+|CP|2-2|BP||CP|cosa，

|AC|2=|PA|2+\CPf-2\AP\\CP\cos(^-a)=\PAf+\CPf+2\AP\\CP\cosa,

.阻阻|CPp|CPp

|PB|+|PA|

|明\AP\网\AP\

代入"=哈|昨竽

并化简得:

良［+笆生=1+』2<1+工*22=12,|pq为直径时取等号.

32611-63

由柯西不等式

年x港+/㈤丫/+与］(3+2)号当且仅当国=幽时

(G72JL32J332

等成立，

即(|AC|+|BC|)2KR,.“AC+|BC|W=,

.•.恒。+忸。的取值范围是底警■.

_7

4•心田Z7J195

故答案为：75,--.

点评：关键点点睛：解题关键是找到|AC|,忸C|的关系式，设N3PC=a,则

|BC|2=\PBf+\CPf-2\BP\\CP\cosa,

\ACf=\PAf+\CPf-2\AP\\CP\cos（;r-a）,消去cose,用仁尸|表示出

--+-,得出不等关系------+-----—<12,然后用柯西不等式得出结论.

3232-3

7

15.已知4ABC满足AB=1,AC=2,cosA=—.若E为AABC内一点，满足

25

AAE=2AB+AC・（义GR），且EBEC=0，延长AE至BC交于点D,则回1=.

6-722

答案:

-15-

根据所给条件，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算进行求解.

令AE=2AB,则|叫=2,由cosA=],

,714412

可得：FC2=4+4-2x2x2x—=--,所以FC=—，

25255

建立如图直角坐标系，F（--,0）,C（1,0）

所以AO=,22_（t）2=],所以A点坐标为（0,1）,

348

所以8点坐标为（-1?，。点坐标为（0,不），

由2A£=2AB+AC，则点E在A。上，

设E点坐标为（0,。，

有EBECuO可得E8EC=（_g,：_/）•（：,_/）=_票_1£+/2=0,

JJJ乙JJ

解得（=2+后,

5

所以14目=8_2+2^2=6-722,

I1555

।I16

所以4=^=^^=^^,卜。|=3

\AE\6--226-,22I।15

5^

II16

+。|=15_6-叵

A~16~15，

6-V22

故答案为：6-丘

15

点评：本题考查了向量相关的计算以及解三形中的余弦定理，考查了转化思想，有一定

的计算量，属于较难题.解本类问题关键点有：

（1）建立直角坐标系，用向量的坐标表示来解决向量问题是一个重要的方法；

（2）各个条件的整合，以结论为目标，把几何关系，转化为代数关系.

1

16.己知数列｛《,｝和也｝满足q=2,4=1,+b“=bn+l,an+1+bn+｛=4%.则如

“1008

答案：21014

求出伪=3,推导出数列他,用一如“｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出

2+1—》“=2"T,进一步推导出数列,条｝为等差数列，确定该等差数列的首项和公

差，可求得｛"｝的通项公式，进一步求出400s和4⑼，由此可求得结果.

解：a“+b“=b”+[,%+i+。什1=44,且4=2，4=1,则%=%+4=3，

由4=4+1一2可得4用=bil+2-bH+l,代入%+bn+i=4t/„可得2+2=地+「他,

■■-b,l+2-2b„+l=2（bn+i-2b„）,且4-24=1,

所以，数列｛。，川一纥,｝是以1为首项，以2为公比的等比数列，则

nlnl

bn+l-2bn=lx2-=2-,

bh

在等式bll+}-2bn=2"-'两边同时除以2“T可得/一声=1,

所以，数列{条>为等差数列，且首项为今=24=2,公差为1,

b

所以，声=2+(〃—l)xl=〃+l,.•.2=(〃+1>2"-2,

则

cz=4H08=1010x2IO°7-1OO9X21006=(2020-1009)X21006=1011x21006,

1lw(v)J0O81\J\Jy009IOL/Oo\/

2019

Z?2021_2022x2

因此,210,4.

1011X21006

故答案为：2i°，

点评：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次

写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：

①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；

②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法

求通项.

三、解答题

17.在ABC中，角A、B、。的对边分别为a、b、c,已知

c+4A>sinBcoSa4,且A为钝角.

（1）求角5的大小；

（2）若6=屈c=80求sin（3A-B）

的值.

5cos3C

答案：（1）8=£或把；（2）“立上2

121222

⑴利用正弦定理边角互化结合sinA=sin（3+C）,化简得出$也28=；,结合角8

为锐角可求得角3的值；

（2）由题意可得出8=不，利用正弦定理和同角三角函数的基本关系求出tanC的值,

12

进而求出tan3c的值，再利用两角和的正弦公式以及诱导公式可计算出何竺二01

cos3C

的值.

解：(1)c+4/?sinBcosC=4asinB,由正弦定理可得

siC-fi24&i=©co4

所以

sinC+4sin2BcosC=4sinAsinB=4sin(B+C)sinB=4sin2BcosC+4sinBcosBsinC

即sinC=4sinBcosBsinC=2sin2BsinC,

在ABC中，由于角A为钝角，则8、。均为锐角，可得sinC>0,，sin2B=L,

2

TTTT57r7t57r

0<B<-,可得0<23<乃，，2B=—或28=—,因此，B=一或一；

2661212

(2)匕=#一后，c=—.则。<c,则0<B<?,二8=彳，

5412

71、.兀71TC.71V6-V2

-sin—cos----cos—sin—=

12134>3434-4

V6-V2

bc-----x-----------

由正弦定理可得-----=—所以,csinB2#),

smBsinCsinC54

b瓜-3丁

C为锐角，则cosC=tanC=--——=2,

5cosC

_二+2

2tanC4tan2C+tanC32

则tan2C=tan3C=-------------------=-7^—r-二—

21-tan2CtanC[(4]11

1-tanC31-——x2

I3j

sin(3A-B)SinXlf-C)-llsin(；-3C)sin万-(3C+。

cos3Ccos3Ccos3Ccos3Ccos3C

sin13C+g)1-,V32r

—sein3C4-----cos3C

22"3C++立=叵^

cos3Ccos3C2211222

点评：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题

中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用

正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.

18.某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城.是极具价值的无形资

产和重要城市品牌.“创城”期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问.问题包

含：中国梦内涵、社会主义核心价值观、精神文明“五大创建”活动、文明校园创建“六

个好”、“五个礼让”共5个问题，提问时将从中抽取2个问题进行提问.某日，创城

检查人员来到A校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只背了5个问题中

的2个，乙背了其中的3个，丙背了其中的4个.计一个问题答对加10分，答错不扣分,

最终三人得分相加，满分60分，达到30分该学校为合格，达到50分时该学校为优秀.

（1）求A校优秀的概率（保留3位小数）；

（2）求出A校答对的问题总数X的分布列，并求出A校得分的数学期望；

（3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议.

答案：（1）0.174；（2）分布列见解析，A校得分的数学期望为36；（3）答案见解析.

（1）记A校答对的题目个数为X,记事件校优秀，可得出

P（A/）=P（X=5）+P（X=6）,利用组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得

所求事件的概率；

（2）由题意可知随机变量X的可能取值为1、2、3、4、5、6,计算出随机变量X

在不同取值下的概率，可计算得出七（X）,进而可得出A校得分的数学期望为

10E（X）,即可得解;

（3）根据题中的问题可得出两条合理的建议.

解：（1）记A校答对的题目个数为X,记事件校优秀，则

弁

P（M）=P（X=5）+P（X=6）=circetc*c：ccCc：cJ0174

1000

（2）由题意可知随机变量X的可能取值为1、2、3、4、5、6,

C；C；C：126

P（X=1）=

（C"1000500'

+11457

P（X=2）=

1000500,

C也C：++328_164

P（X=3）

io6o-5oo

C；C；C；C：+_372186

p（x=4）=

1000500

GGC；C：+C；C；C；C：+C；C；C：15678

P（X=5）=