2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十七章-相似同步训练试题

人教版九年级数学下册第二十七章-相似同步训练

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，满分loo分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，平行四边形。1回的顶点。（0,0）,A（1,2）,点C在X轴的正半轴上，延长留交y轴于点

D.将△0%绕点。顺时针旋转得到AM,当点〃的对应点少落在的上时，D1的延长线恰好经过

点C,则点6的坐标为（）

A.（2逐，2）B.（2日2）C.（2石+1,2）D.（2石+1,2）

2、如图，在△力比中，点入£是4氏4c的中点，若的面积是1,则四边形8〃%的面积为

（）

A.4B.3C.2D.1

3、已知点P是线段四的黄金分割点，AP>PB.若AB=2,则”的长为（）

A.y/5B.3-V5C.石-1D.V5-3

4、如图，在班AA3C中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,在/aMPN中，NMPN=90。,点尸在AC上,

PM交A3于点E,PN交BC于点、F,当PE=2P尸时，AP的长为（）

A.4B.6C.--D.—

56

5、下列图形中，不是位似图形的是（）

6、如图，在平面直角坐标系中，将AOAB以原点。为位似中心放大后得到AOC£>,若3（01），。（（）,3）,

则OAB与AOCD的面积的比是（)

A.1:2B.1:3C.1:4D.1：9

7、下列四条线段中，成比例的是（）

A.a=\,b=2,c=3,d=4B.a=l9b=2,c=3,d=6

C.a=2,b=39c=4,d=12D.a=3,b=2,c=5,d=6

8、已知点C是线段46的黄金分割点，且若AB=2,则6C的值为（）

A.3-V5B.1+75C.V5-1D.亚-2

9、如果两个相似多边形的周长比是2：3,那么它们的面积比为（）

A.2：3B.4：9C.近：6D.16：81

10、一种数学课本的宽与长之比为黄金比，己知它的长是26cm,那么它的宽是（）cm

A.26世+26B.26石-26C.136+13D.13世-13

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、点E为AABC的内心，过点E作MN〃BC交A8于点交AC于点N,若AB=7,AC=5,

BC=6,则MN的长为_,

2、如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，OC在x轴正半轴上，四边形。3C为平行四边形，反

比例函数）”幺的图象经过点A与边8c相交于点若心此=10,8:80=2:1,则仁.

X

3、一块材料形状是以Z6^90°量得边/俏6cm,AB=10cm,用它来加工一个正方形零件，使正

方形的至少一边在灯△46。的边上，其余顶点在其它边上，则这个正方形零件的边长为：

4、已知线段49=30cm,C为线段4?的黄金分割点（AOBC）,则4俏.

5、如果四边形第的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm,另一个和它相似的四边形的最长边

长为21cm,那么这个四边形的最短边的长度为.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图是由小正方形构成的6X6网格，每个小正方形的顶点叫格点，圆。经过4、8两个格点，以及

格线上的点C,仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表

示）

(1)作劣弧6。的中点胚

(2)在优弧式'上找一点〃，使得AD//BC-,

(3)在优弧〃'上找一点£,使得48=初.

2、已知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=h,动点M从点A出发沿边AZ＞向点O运动.

(1)如图1,当b=2«,点M运动到边AO的中点时，请证明Na0C=9O。；

(2)如图2,当为时，点M在运动的过程中，是否存在NBMC=90。，若存在，请给与证明；若不

存在，请说明理由.

3、如图，点必(-3,㈤是一次函数y=x+l与反比例函数y=：(b0)的图象的一个交点，点E是一次

函数与x轴的交点.

(1)求反比例函数表达式;

(2)点P是x轴正半轴上的一个动点，设0P=a(a/2),过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函

数，反比例函数的图象于点儿B,过勿3的中点。作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C,交一次

函数的图象于点尸.

①当。=4时，求△4%的面积；

②当a为何值时，A/6万与△偌”目似.

4、如图所示，在灯△力比'中，NB=90°,AB=6cm,比-8cm,点尸由点/出发，沿四边以lcm/s的

速度向点8移动；点0由点8出发，沿8c边以2cm/s的速度向点C移动.如果点R。分别从点4,B

同时出发，问：

(1)经过儿秒后，△吸的面积等于8cm之？

(2)经过几秒后，两个三角形相似

5^如图所示，在坐标系xOy中，抛物线尸-与x轴交于点4B,与y轴交于点C,直线y

=/8经过4,C两点.

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)在/C上方的抛物线上有一动点2

①如图1,当点尸运动到某位置时，以4R4。为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求

出此时点。的坐标；

②如图2,过点。，P的直线7=&(4<0)交然于点区若PE：0E=5：6,求4的值.

---------参考答案-----------

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

连接A，C,由题意可证明八4。叱/\8(，利用相似三角形线段成比例即可求得宠的长，再由平行线

的性质即可得点的坐标.

【详解】

解：如图，连接4C,AC)，轴，V9D4绕点。顺时针旋转得到△004,

/.ZCD'O=90°,OD'=OD,

■：ZDOA+Ajyoc=ND'CO+ADOC,

:.ZDOA=ZiyCO,

'：ZODA=ZOD'C=90°,

:./\ADO^/\OD'C,

.ADOD'

"~Ad~~dc'

■：A(l,2),

：.AD=\,0D=2,

：.AO7I2S=8oiy=OD=2,

\oc=26,

AB=0C=2加,

AB=DA+AB=\+2yf5,

...点8的坐标为：(1+2技2),

故选：D.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，利用相似三角形的性

质得到线段的比例是解题关键.

2、B

【解析】

【分析】

1SAnFDE、?1

由%'是△力比的中位线，得庞〃6C,豆DE=』BC,则△/%'s△月比,从而老皿=(后了比三:，从而

2S.ABCBC4

解决问题.

【详解】

解：•.•点久E是孙〃'的中点，

是△/比'的中位线，

J.DE//BC,g.DE=^BC,

：.i\ADE^!\ABC,

・S^ADE_(DE2_L

••SABJBC―"

ArtoCr

•••△/&?的面积是1,

=

S-ABC4>

=

S㈣边形0CEOSAABCS«A£>£=3,

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握中位线定理，灵活运用三角形相

似的性质是解题的关键.

3、C

【解析】

【分析】

根据黄金分割点的定义，知”是较长线段；则由组W代入数据即可得出”的长度.

【详解】

解：由于尸为线段AB=8c,加的黄金分割点,

且AP是较长线段;

贝|J"=2X或二!.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算.

4、B

【解析】

【分析】

如图作N_L四于0,PR1BC于R.由XQPESXRPF,推出丝="=2,可得PQ=2PR=2BQ,由

PRPF

PQ//BC,可得四：QP-.AP=AB：BC；AC=3：4：5,设掰=4x,贝U/0=3x,AP=bx,BQ=2x,可得2x

+3x=6,求出x即可解决问题.

【详解】

解：如图作于0,PR1BC于R.

■:/PQB=/QBR=/BRP=9G,

四边形&斯是矩形,

.•./仍?=90°=4MPN,

:./QPE=/RPF,

：.4QPESARPF,

.PQ_P^_.

PRPF

：.PQ=2PR=2BQ,

'：PQ//BC,

'△AQ蜂XABC,

：.AQ-.QP：AP=AB-.BC-.AC=3：4：5,

设/>g4x,贝ijAP=5x,BQ=2x,

；.2x+3户6,

.6

•・矛=T，

AP=5x=6.

故选：B.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造相似三角形解决问题.

5、D

【解析】

【分析】

对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.

【详解】

解：根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；

D中的两个图形不符合位似图形的概念，两个三角形不相似，故不是位似图形.

故选D.

【点睛】

此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；

而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.

6、D

【解析】

【分析】

根据图形可知位似比为08:8=1:3,根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，即可求得答

案

【详解】

解：8(0,1),0(0,3),

则AOAB与4CD的位似比为03:OD=1:3,

与的相似比为1:3

则„OAB与AOCD的面积比为1：9

故选D

【点睛】

本题考查了位似图形的性质，求得位似比是解题的关键.

7、B

【解析】

【分析】

通过验证。、b.C、d中，任意两两一组的比值是否相等，即可判断.

【详解】

解：A、。、b、c、d中，任意两条线段的比值，与其他两个线段的比值都不相等，故错误

B、a>b、c、d中有：a:c=b:d=1:3,故正确

C、。、b、c、d中，任意两条线段的比值，与其他两个线段的比值都不相等，故错误

D、〃、b、c、d中，任意两条线段的比值，与其他两个线段的比值都不相等，故错误

故选：B.

【点睛】

本题主要是考查了线段长度是否构成比例，直接判断任意两条线段是否与剩余两条比值相等即可解决

本题.

8、A

【解析】

【分析】

根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段；则=代入数据即可得出AC的长度即可.

2

【详解】

解：由于点C为线段他=2的黄金分割点，

且AC是较长线段；

则AC=2x或二■=逐-1,

2

：.B(=AB-A(=2-(石-1)=3-石.

故选：A.

【点睛】

本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算.

9、B

【解析】

【分析】

根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答

案.

【详解】

解：•••两个相似多边形的周长比是2：3,

...这两个相似多边形的相似比是2：3,

.•.它们的面积比是4：9,

故选B.

【点睛】

本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题

的关键.

10、D

【解析】

【分析】

根据一种数学课本的宽与长之比为黄金比，即可得到宽：长［与「）：1，由此求解即可.

【详解】

解：•・•一种数学课本的宽与长之比为黄金比，

宽:长二（与1卜，

•.•长是26cm,

.,.宽=x26=13拓-13,

2

故选D.

【点睛】

本题主要考查了黄金比，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例.

二、填空题

1、4

【解析】

【分析】

连接厥EC,如图，利用三角形内心的性质得到N1=N2,利用平行线的性质得N2=N3,所以

MN7-RM

N1=N3,则51上监同理可得除彷，接着证明△外的所以==:，则

67

75

BM=1--MN,同理可得CN=5-=MN,再由MN=BM+CN把两式相加得到助V的方程，然后解方程

OO

即可.

【详解】

连接"、EC,如图，

•.•点£■为△力%的内心，

:.EB平分/ABC,EC平分~NACB,

.-.Z1=Z2,

'：MN//BC,

.♦.N2=N3,

，N1=N3,

:.BAUME,

同理可得NONE,

'：MN//BC,

，XA品NsXABC,

.MNAM„MN1-BM

••=，H|nJ=

BCAB67

贝|J8A/=7-ZMN,

6

同理可得CN=5-*MN,

6

;MN=EM+EN=BM+CN

:・MN，2-2MN,

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的

圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分

线的交点.也考查了相似三角形的判定与性质.

2、24

【解析】

【分析】

如图，过点，作施_Lx轴于点£,过点8作跖J_x轴于点f，连接/〃，0D.由DE〃BF,推出

CDDECE2lch-

-=—=—=-，设,DE=2a,则跖=3a,则，（丁，2a）,A，3a）；用a表示第CF,构建

CBBFCF32a3a

方程即可解决问题.

【详解】

解：如图，过点〃作〃£J_x轴于点反过点8作如J_x轴于点凡连接力。，0D,

：.DE//BF,

\7CDE3CBF,而CD：BD=2：1,

.CDDECE_2

设DE=2a,则跖=3①则〃（与，2a）,A（二，3a）,

2a3a

9

：SAABC=10,CD=2BD,

SAADC=,

OA//BC,

：.SAADC=SAODC=^,

:.三OC・DE=q,

OC=F，

3。

20

・・・AB=OC=廿,

3a

••"亭+=，3a）

3a3。

解得4=24.经检验：符合题意，

故答案为：24.

【点睛】

本题考查反比例函数的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，

解题的关键是学会利用参数解决问题.

3、*或9

7贽37

【解析】

【分析】

分正方形的边长在直角边上和斜边上两种情况讨论,根据相似三角形的性质与判定即可求得正方形的

边长

【详解】

解：.:RtXABC,ZC=9Q°,AO6cm,AB=10cm,

BC=yjAB2+AC2=8cm

①如图，

A

’1

B

cF

设正方形的边长为无，则AD=AC-x=6-x

,・泗边形CDE尸是正方形

/.DE_LAC9DE=CD=x

vZACB=90°

.・.DE//BC

.ADDE

6-xx

即RII---=-

68

解得犬=年24

(2)如图，设正方形的边长为y

•・,四边形。瓦G是正方形

DG//EF,

・・・E,尸在上

/.DG//AB

:./\CDG^/\CAB

.CDDG

3

:.CD=-x

5

•••四边形。£FG是正方形

ZAED=ZDEF=90°9又NACB=90。

:.ZACB=ZAED

又•「ZA=ZA

/.△ADEcoAAfiC,

ADDE

即海J

108

,/CD=-y

5

,3

即

108

解得丫=等

综上所述，正方形的边长为：,或詈

故答案为：弓或

【点睛】

本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键.

4、15（6-l）cm

【解析】

【分析】

由黄金分割点的含义知，AC=上二AB,贝何求得然的长度.

2

【详解】

由题意，AC=^^48=30=15(6-l)cm

22

故答案为：15(>^-l)cm

【点睛】

本题考查了黄金分割点，所谓黄金分割点，是指线段用上的一个点C,若BC：A(=AC-.AB,则称点C

是线段46的黄金分割点，则可得AC=叵口A8；掌握黄金分割点的含义是关键.

2

5、15cm

【解析】

【分析】

根据相似多边形的性质求解即可.

【详解】

解：•••四边形/切力与另一个四边形相似，

...设另一个四边形的最短边的长度为X，

x21

...卷=芸，解得：x=15.

4563

...这个四边形的最短边的长度为15cm.

故答案为：15cm.

【点睛】

此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质.相似多边形的对应边成比

例，对应角相等.

三、解答题

1、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）如图，格点中找到点，，△中，：=1:八则小的中位线在AG所在直线

上，则点F为8c的中点，进而根据垂径定理的推论，连接并延长交。。于点即可求得劣弧6c

的中点〃；

（2）连接AC交于点P,连接利并延长交OO于点连接4）,根据对称性即可证明1

,结合（1）即可证明〃则点。即为所求；

（3）连接4D,结合（1）（2）先求得AC的垂直平分线，交于点,连接并延长交。。于点

E,则一=一，点E即为所求

【详解】

（1）如图所示，•••/=/，/=/

二△S△

・•・------=1

即尸为BC的中点，连接并延长交。。于点即为所求劣弧a1的中点M；

(2)连接AC交于点P,连接8P并延长交OO于点。，连接A。，则点。即为所求;

(3)连接4D,作AC的垂直平分线，交AD于点，连接并延长交。。于点E,则

点E即为所求

【点睛】

本题考查了无刻度直尺圆内作图，相似三角形的性质，垂径定理，等边对等角，平行线的性质，弦与

弧的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键.

2、（1）见解析；（2）存在，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据F2a,点"是］〃的中点，可得45=4沪，价〃信a,再由矩形的性质，即可求证；

AMAiR

（2）假设N8哈90°,则N4糜/〃哈90°，可先证得△四M△〃购从而得到，然后设

CDDM

A护x,贝=4,可得至lJx2-"+/=o,再由人＞2〃,。＞0功＞0,可得至ljA=b2-4/＞0,进而得到方

ab-x

程f-加+°2=0有两个不相等的实数根，且两根均大于0,即可求解.

【详解】

解：（1）证明：•••/＞=2a,点材是47的中点,

：.AB=AM=MD=DC=a,

又•.•在矩形/腼中，N/=N®90°,

:./A眸/DMO450,

:./BMO9G；

(2)存在，理由：

若N8哙90°,贝UN4的+N〃，修90°,

又於/月8於90°,

:./AB拒/DMC,又,.,N/=NZ>90°,

:.XABMs丛DMC,

.AMAB

"'~CD~~DM'

设/沪x,则，仁，

ab-x

整理得：x2-bx+a2=0,

*/b>2a,a>O,b>0,

h2>4a2,

/.A=&2-4a2>0,

方程d-6x+/=o有两个不相等的实数根，且两根均大于0,符合题意，

.•.当b>2a时，点加在运动的过程中，存在N8MC=90。.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握

相似三角形的判定和性质定理，一元二次方程根的判别式是解题的关键.

3、(1)y=~.(2)3.5；(3)当a=3或

3

【解析】

【分析】

(1)由一次函数解析式可得点，(/的坐标为(-3,-2),然后把点"的坐标代入反比例函数解析式，

求得衣的值，可得反比例函数表达式；

(2)①作以江46交46于点〃当a=4时，利用函数解析式可分别求出点4B、C、〃的坐标，于是

可得46和切的长度，即可求得△48。的面积；

②分N/b为直角，/必。为直角两种情况，利用数形结合即可求解.

【详解】

解：(1)把M(-3,加代入尸产1,则m=-2.

将(-3,-2)代入尸一，得衣=6,则反比例函数解析式是：尸々

(2)①作CDLAB交于点D.

当a=4时,A(4,5),B(4,1.5),则46=3.5.

•.•点。为。。的中点，

:.Q(2,0),

(2,3),则〃(4,3),

:.CD=2,

...SAABC=^AB*CD=-X3.5X2=3.5；

②•.•点公户在尸KI上

，点/(-1,0)F(j,J+1)

'：Q(7,0)

：.EQ=QF

像火为等腰直角三角形，

.,.当A/t万与A£0相似时，贝UA为等腰直角三角形,

i、当N/b为直角时，则点。和点［的纵坐标相同，

：.AP=CQ=

又•力在直线y=A+l上，

=a+l,解得a=3或a=-4(舍去),

.••当a的值为3时，&/少与3£0尸相似.

ii、当NQIC为直角时，过力作4MLs如图

由题意得A(a,a+1),C(万，—)

・.・△?!*为等腰直角三角形

C.N(-,s+1)

*：ANLCQ

：.A^CN

121

_-2-¥2>f73-1+6-f-^_-2-2473-l-y[73

解得：a—：---；——=-----或a—----；——（舍去）

663

.•.当a=3或a=¥时，"⑦与△至■相似.

【点睛】

本题综合考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征以及相似的性质.难度较大，解

题时需要注意数形结合.

4^(1)2秒或4秒；(2)二或与秒.

【解析】

【分析】

(1)设经过x秒后，△处0的面积等于8cm②，根据三角形面积公式列一元二次方程，解方程，问题得

解；

(2)设经过y秒后，图与△胡C相似，根据/左N8,分△鳍0。△员1C和△药矽两种情况

讨论，根据比例式列出方程，解方程，问题得解.

【详解】

解：(1)设经过x秒后，△加0的面积等于8cm2,

由题意得(x2x(6-)=8,

解得1=2,2=4,

答：经过2秒或4秒后，的面积等于8cmL

(2)设经过y秒后，他与△胡C相似，

庐/昆

①当一=—时，△幽S△物C,

即二=

68

12

解得产y;

②当一=——时，

解得尸YJ；

答：进过羡或锣后，两个三角形相似.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形形的判定，根据题意列出方程是解题关键，注意两个三

角形相似没有指明对应边，故要分类讨论.

5、(1)y=-f-5x+8；(2)①「(-?*);②人=一。或h-10

4335

【解析】

【分析】

(