高中数学选择性必修二-精讲精炼-4-1-列的概念(精讲)(含答案)

4.1数列的概念(精讲)思维导图思维导图常见考法常见考法考点一数列的定义辨析【例1】(1)(2021·全国高二专题练习)下列有关数列的说法正确的是()①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列；②数列{an}与{a2n－1}表达同一数列；③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一；④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N*.A．①④ B．②③ C．③ D．①②(2)(2021·全国高二课时练习)有下列说法：①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}；②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列；③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，是同一数列；④数列0，1，0，1，是常数列．其中说法正确的有()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】(1)C(2)A【解析】(1)①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{an}表达数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而数列{a2n－1}表达数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；④是错误的，显然当n＝5时，a5＝7，不是数列中的项．故选：C.(2)①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；②说法错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；③说法错误，数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，是无穷数列；④说法错误，由常数列的定义，可知0，1，0，1，不是常数列．故选：A.【一隅三反】1．(2021·全国高二单元测试)(多选)下列关于数列的说法正确的是()A．按一定次序排列的一列数叫作数列B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一D．同一个数列的任意两项均不可能相同【答案】ABC【解析】根据数列的定义，我们把按定次序排列的一列数叫作数列，可得A正确；若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式，可得B正确；同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，例如，也可写成，可得C正确；因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数数列，可得D错误，故选：ABC考点二根据通项公式写出项【例2】(1)(2021·全国高二课时练习)已知数列，则是这个数列的()A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项(2)(2021·全国高二专题练习)已知数列－1，，－，…，(－1)n.，…，则它的第5项的值为()A． B．－ C． D．－【答案】(1)B(2)D【解析】(1)数列通项公式为，当，解得，故选：B.(2)由题设，数列的通项公式为，∴当n＝5时，该项为.故选：D.【一隅三反】1．(2021·全国高二专题练习)已知数列{an}的通项公式，则a2a3的值是()A．70 B．28 C．20 D．16【答案】D【解析】依题意，，，则，所以a2a3的值是16.故选：D2．(2021·全国高二课时练习)在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，…中，x的值是()A．19 B．20 C．21 D．22【答案】C【解析】解析：观察数列可得规律1+1=2，1+2=3，2+3=5，…，8+13=x=21，13+21=34，∴x=21，故选：C3(2021·全国高二单元测试)函数的正数零点从小到大构成数列，则()A． B． C． D．【答案】B【解析】∵∴令得：或，，∴或，，∴正数零点从小到大构成数列为：故选：B.4．(2021·辽宁锦州·高二期中)数列的第10项是()A． B． C． D．【答案】D【解析】从分子上看，2，4，6，8，对应的通项为，从分母上看，3，5，7，9，对应的通项为，所以该数列的通项公式，所以．故选：．考点三根据项写出通项公式【例3】(2021·甘肃兰州·兰大附中(文))已知，，，，则数列的一个通项公式为()A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，则，故选：．【一隅三反】1．(2021·全国)数列，3，，15，…的一个通项公式可以是()A． B．C． D．【答案】A【解析】将代入四个选项，可知中D中所以排除C、D.当，代入B可得所以排除B，即A正确，故选：A.2．(2021·全国)已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是()A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，故A错误.对于B，，故B错误.对于C，，故C正确.对于D，，故D错误.故选：C.3．(2021·全国高二课时练习)(多选)一个无穷数列{an}的前三项是1，2，3，下列可以作为其通项公式的是()A．B．C．D．【答案】AD【解析】对于A，若，则，，，符合题意；对于B，若，则，不符合题意；对于C，若，当时，，不符合题意；对于D，若，则，，，符合题意.故选：AD.考点四数列的单调性【例4】(1)(2021·海南)(多选)满足下列条件的数列是递增数列的为()A． B． C． D．(2)(2021·河南高二月考)已知数列满足且数列是单调递增数列，则的取值范围是()A． B． C． D．【答案】(1)BD(2)A【解析】(1)A．因为，所以是递减数列；B．因为，所以是递增数列；C．因为，所以是递减数列；D．因为，所以是递增数列；故选：BD.(2)由题意可得解得.故选：A.【一隅三反】1．(2021·全国高二期末)已知数列的通项公式是，那么这个数列是()A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数列【答案】C【解析】因为，所以数列是递增数列，故选：C2．(2021·全国高二专题练习)(多选)已知数列的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的值可能为()A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【解析】由题意对恒成立，即，，因为，所以(时等号成立)，即的最大值为0，所以．故选：CD．3(2021·全国高二单元测试)设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则实数的范围为_______．【答案】【解析】因为数列是递增数列，可得对于任意的恒成立，即，整理可得：，所以对于任意的恒成立，因为单调递减，所以，所以，故答案为：.考点五数列的分类【例5】(1)(2021·全国高二课时练习)下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．… B．…C．… D．(2)(2021·全国高二专题练习)给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列，，，，…；③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….其中，有穷数列是________，无穷数列是_______，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．【答案】(1)C(2)①②③①②③【解析】(1)对于选项A：数列是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；故选项A不正确；对于选项B：数列是无穷数列，但它不是递增数列；故选项B不正确；对于选项C：数列是无穷数列，也是递增数列；故选项C正确；对于选项D：数列是递增数列，但不是无穷数列，故选项D不正确；故选：C(2)①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．故答案为：①；②③；①；②；③【一隅三反】1(2021·全国高二课时练习)下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A．1，，，，… B．，，，C．，，，，… D．1，，，…，【答案】C【解析】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．故选：C．2．(2021·全国高二专题练习)给出以下数列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1000；③8，8，8，8，…；④.其中，有穷数列为______；无穷数列为______；递增数列为______；递减数列为_____；摆动数列为_____；常数列为______．(填序号)【答案】②④①③②④①③【解析】有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.故答案为：②④；①③；②；④；①；③考点六数列的最值【例6】(1)(2021·全国高二专题练习)数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．(2)(2021·全国高二课时练习)已知，则数列的最大项的值为____【答案】(1)－9(2)【解析】(1)∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.故答案为：－9(2)由题意，知且，易知，故为递减数列．因此数列的最大项为，其值为．故答案为：．【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是()A．第5项 B．第6项C．第4项或第5项 D．第5项或第6项【答案】A【解析】，因为，且，所以数值最大的项为第5项．故选：A．2．(2021·全国高二专题练习)数列中，，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是()A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a44 D．a45，a50【答案】C【解析】，，当时，为负数且递减；当时，为正数，且递减.所以前项中，最大项为，最小项为.故选：C3．(2021·全国)已知数列满足，则的最小值是()A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】因为，所以，即，则，当时，上式成立，故，，设，则，故数列是单调递增数列，则当时，即的最小值为1.故选：C.4．(2021·上海市进才中学高二月考)已知数列的通项公式为，且为严格单调递增数列，则实数的取值范围是___________【答案】【解析】由数列是严格单调递增数列，所以，即，即恒成立，又数列是单调递增数列，所以当时，取得最小值，所以.故答案为：考法七公式法求通项【例7】(1)(2021·全国高二专题练习)已知数列{an}的前n项和Sn＝n，则数列{an}的通项公式an＝________.(2)(2021·河南信阳高中高二月考(文))已知数列的前n项和为，则=___________.(3)(2021·全国高二单元测试)若数列,其前n项的积为，则_____________.【答案】(1)1(2)(3)【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝1.(*)显然n＝1时满足(*)式，∴an＝1.故答案为：1(2)当时，；当时，因为，所以所以；所以；所以当时，是以2为公比的等比数列；所以，当时，所以，故答案为：(3)设数列的前项的积为，则.当时，；当时，.满足.综上所述，.故答案为：.【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝3×2n－3，其中n∈N*.求数列{an}的通项公式．【答案】.【解析】由Sn＝3×2n－3，n∈N*，得当n＝1时，a1＝S1＝3×21－3＝3.当n≥2时，，又当n＝1时，a1＝3也满足上式．所以数列{an}的通项公式为.2．(2021·全国高二课时练习)已知数列{an}满足，求数列{an}的通项公式．【答案】