非线性流变力学模型的3种处理方法

非线性流变力学模型的3种处理方法

1参数非线性流变力学模型由于结构直观、物理意义明确，理论发展力学模型在工程中得到了广泛应用。随着人们对岩土介质性质认识的深入和对工程问题求解精度要求的提高,按照理论流变力学模型理论组合成的流变模型越来越多、结构也越来越复杂。夏才初等在用理论流变力学的理论对现有的流变模型进行分析的基础上,提出了统一流变力学模型,该模型及其导出的14个退化模型可以包含所有的理论流变模型及其等效模型,并且都有与其流变力学特性一一对应的命名,从而结束了流变模型随意组合、随意命名且不知道他们之间相互关系的历史。理论流变模型中包含有塑性元件(摩擦片)时就是结构非线性流变模型,理论流变力学模型的模型参数一般均应该是常数,模型参数不是常数则为参数非线性流变模型。在用若干个应力水平下的岩石或土体的蠕变试验结果确定理论流变力学模型的模型参数时,经常会发现模型参数不是常数,而是随时间或应力或两者而变化的情况,为了解决这个问题,许多研究者提出了流变模型中的一个或几个模型参数不是常数而是应力或时间或两者的函数的参数非线性流变力学模型。本文对现有的参数非线性流变力学模型及其建立的方法进行了系统的总结,归纳出处理参数非线性流变模型的3种方式,可以指导今后的研究。指出了一些参数非线性流变模型和建立方法的问题甚至错误,以免在今后的研究工作中犯类似的错误。2参数论发展模型的研究2.1非线性黏塑性体的流变模型徐卫亚等对绿片岩进行了三轴流变试验研究,提出了岩石七元件非线性黏弹塑性流变模型(见图1),该模型实际上是常参数流变模型串联一个非线性黏塑性元体。模型中非线性黏塑性体的本构方程为推导出整个流变模型的本构方程为求解出的整个流变模型的蠕变方程为根据整个流变模型的本构方程,还推导出了其卸载方程和松弛方程。事实上,根据式(1),可以直接解出非线性黏塑性体的蠕变方程:观察式(3),其右边前3项是常参数流变模型部分的的蠕变应变,第4项为非线性黏塑性体的蠕变应变。由此可见,对于常参数流变模型串联非线性体的流变模型,将非线性黏塑性体的蠕变方程与常参数流变模型的蠕变方程相叠加,就可得到整个模型的蠕变方程,即叠加原理对于常参数流变模型串联非线性体的流变模型是成立的。殷德顺等提出了软体元件(见图2)。软件元件的本构方程为分数阶的微分方程,即当β=1,软体即为黏性元件,代表理想流体;当β=0,软体即为弹簧元件,代表理想固体。对式(5)两边进行分数阶积分,可得软体元件的蠕变方程为余启华提出了含扩裂元件流变模型(见图3)。含扩裂元件流变模型的本构方程为式中:tf为由定常蠕变向加速蠕变过渡的时刻。推导出的整个模型的本构方程为其中,式中:σt为t=tf时的荷载;δ为狄拉克函数;ε2t,ε3t分别为模型中第二、三部分在t=tf时的应变。由式(8)可推导出整个流变模型的蠕变方程为以上3个模型都是严格地用理论流变力学模型的理论建立整个流变模型的本构方程,再推导出其蠕变方程等,是正确的方法。2.2给出非线性方程的本构方程，导出非线性方程和整个模型的离散方程2.2.1非线性流变模型由于给出了非线性流变部分的本构方程,可以求出非线性流变部分的蠕变方程,与常参数流变模型部分的蠕变方程叠加,即可得到整个流变模型的蠕变方程。张贵科和徐卫亚将广义Kelvin模型、摩擦片和一个非线性黏性元件串联,提出了非线性的VEP–5C流变模型(见图4)。其中非线性黏性元件的黏滞系数不是常数,而是应力和时间的函数,即非线性黏性元件的本构方程为式中:S为岩体当前的应力水平,Sp为发生加速流变的临界应力水平,A为常数。根据式(10),可以解出其蠕变方程,再将其和与之串联的常参数流变模型的蠕变方程叠加,就可以得到整个模型的蠕变方程。2.2.2非线性流变部分的本构方程该方法通过常参数流变模型上串联一个非线性的黏塑性体描述非线性黏塑性变形(见图5)。非线性黏塑性体的本构方程形式为下面是不同作者给出的η(σ,t)的几种不同形式:(1)曹树刚等:(2)尹光志等:(3)陈浩等:该模型曾被郭臣业等引用。实际上,上述3个非线性黏塑性体其η(σ,t)的形式大同小异,本质是相同的。(4)宋飞等:式中:η1(σ),η2(t)分别为对应于串联的2个非线性黏塑性体的黏滞系数。(5)徐卫亚等:该模型曾被朱昌星等引用。(6)熊良宵和杨林德:(7)邓荣贵等:该模型曾被王琛等[16~19]引用。(8)杨圣奇等:式中:c(t),f(t)分别为黏聚力和摩擦因数,均为时间t的递减函数。(9)蒋昱州等:在上述采用给出非线性流变部分的本构方程推导出非线性流变部分和整个模型的蠕变方程的非线性流变力学模型建立方法的文献中,都没有推导出整个模型的本构方程。虽然无论是常参数流变模型串联一个非线性黏性元件还是串联一个非线性黏塑性元件,由于非线性黏性和非线性黏塑性部分的本构方程已经给出,而常参数流变模型是已知的,所以建立整个流变模型的本构方程应该也是可以的,但所建立的本构方程必定是非线性非其次的微分方程,求解该方程会有很大的困难。2.3给出非线性方程的矩阵方程，并叠加整个矩阵模型的矩阵方程2.3.1岩石非线性剪切流变模型杨圣奇等通过对龙滩水电站泥板岩的剪切流变特性的研究,在西原模型上串联非线性黏性元件NRC,提出了岩石非线性剪切流变模型(见图6)。其中,非线性黏性元件NRC的蠕变方程:将其与西原模型的蠕变方程相叠加,就可得到整个流变模型的蠕变方程,不予赘述。2.3.2非线性黏塑性模型模拟非线性黏弹塑性流变模型示意图见图5,其中非线性黏塑性体蠕变方程的具体形式有(1)徐卫亚和杨圣奇:(2)陈晓斌等:(3)李良权等:式中:t*为进入加速蠕变的时刻。(4)郑榕明等:郑榕明等通过对淤泥质土的蠕变试验研究,提出了如图7(a)所示的流变模型。根据理论流变力学模型的等效法则,该模型可等效为常参数流变模型串联一个非线性黏塑性模型,如图7(b)所示,而非线性黏塑性模型的蠕变方程为式(26)。郭增玉等提出的用于描述高湿度Q2黄土的非线性流变模型,其非线性黏塑性部分的蠕变方程沿用了式(26)。(5)宋德彰和孙钧:式中:D为常数,σk为岩质材料的瞬时压缩强度。对于式(27),比照非线性黏塑性体蠕变方程ε(t)=∫(σ0-σs)/η(t)dt,可以得到非线性黏塑性体黏滞系数的表达式η=η(σ,t)为而对于式(23),比照非线性黏塑性体蠕变方程ε(t)=∫(σ0-σs)/η(t)dt,可以得出非线性黏塑性体的黏滞系数的函数表达式为η=η(t)=ηt2-n/(n-1)。但对于式(24)~(26)则较难获取其相应的黏滞系数表达式。值得一提的是,直接给出非线性黏塑性体蠕变方程等同于经验蠕变方程,即代数形式的流变本构方程。而理论流变模型本质上是微分型的本构关系,所以这种只能给出代数型蠕变方程的非线性流变模型就失去了理论流变模型的优点。3在研究参数非线性模型时，存在一些问题3.1u3000利用参数非线性流变模型根据非线性元件或模型与常参数线性元件或模型的串联或并联关系,推导出整个模型本构方程进而解出其蠕变方程等,或分别推导串联的各部分元件或模型的本构方程,分别解出其蠕变方程,再运用叠加原理进行叠加得到整个模型的蠕变方程,这是建立参数非线性流变模型的2类正确方法。徐卫亚等[3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,28,29]均选择了2类方法中的一类。然而在有些文献中,求取参数非线性流变模型蠕变方程的方法是:根据流变参数E,η为常数时的蠕变方程,将其中的流变参数E,η直接替换成相应的函数表达式E(σ,t),η(σ,t),得到非线性的蠕变方程;有些文献是用流变参数为常数时导出的蠕变方程去拟合蠕变试验曲线,得到模型参数随时间、应力或两者变化的经验公式。实际上已经将常参数的线性流变模型变成了变参数(函数)的非线性流变模型,这是错误的方法。下面以非线性Maxwell模型和非线性Kelvin模型为例(见图8),将正确的和错误的方法所得的蠕变方程进行比较,见表1。当η=η(σ,t)时,在蠕变条件下σ=σ0为常数,因此求取蠕变方程的过程本质上与η=η(t)时情况是一样的。3.2直接将e2为常参数时的转化王来贵等将西原模型中黏弹性体的黏弹性模量E改成E(t)(未给出具体的函数表达式),得到了改进的西原模型,但在给出其蠕变方程时却直接引用了E为常数时的蠕变方程。丁志坤和吕爱钟将广义Kelvin模型中的黏弹性模量E改成时间的函数表达式:E2(t)=p1+p2ep3t,然后直接将E2为常数时的蠕变方程中的E2替换成2E(t),得到了非线性流变模型的蠕变方程为为了便于积分运算,假定p1=ηp3,则按照正确的方法求解得到的蠕变方程应为将式(29)中的p1替换成ηp3后,与式(30)仍存在明显的差别。因此,丁志坤和吕爱钟的方法是错误的。丁志坤和吕爱钟曾被吕爱钟等引用。陈晓平等提出了如图9所示的五元件流变模型,其中,黏弹性模量E1,E2为应力的函数:Ei=Kipa(p/pa)ni(i=1,2),然而在给出模型蠕变方程时同样犯了上述错误,不再赘述。朱明礼等通过对大理岩剪切流变试验的研究,提出了变参数的Maxwell模型(见图10)。并假设G(t)=p1tp2,η(t)=p3tp4,直接将其代入常参数条件下Maxwell模型的蠕变方程,得变参数非线性Maxwell模型的蠕变方程为这种做法显然是错误的。因为根据正确的方法,该变参数Maxwell模型的蠕变方程应为3.3转化模型赵延林等将Bingham体、村山体和Hooke体相互串联,得出了如图11所示的模型。其中,Bingham体黏滞系数的表达式为:当t<t2时,η2(σ,t)=η2c;当t≥t2时,η2(σ,t)=(σ-σs2)/[Aσn(t-t2)m+B]。赵延林等直接将η2为常数时蠕变方程中的η2替换成η2(σ,t),得到非线性流变模型的蠕变方程为而按照正确的方法所得的蠕变方程应为赵延林等用式(33)中表示衰减蠕变的部分拟合衰减蠕变试验曲线,得到了E1,σs1和η1随应力和时间变化的经验公式:这种做法显然是不合理的,因为衰减蠕变方程是在模型参数均为常数时推导出来的,而在这里,模型参数均是应力或应变和时间的函数。另外,赵延林等还用式(33)整体拟合全过程的蠕变曲线,得到η2(σ,t)的经验公式为这样的做法显然是不合理的,正确的做法应该是用式(34)去拟合。叶永和陈燕飞引用了邓荣贵等提出的非线性黏滞体,将其与Burgers模型串联得出了非线性流变模型,然后用流变模型参数为常数时的蠕变方程拟合沥青砂的蠕变试验曲线,得到了全部6个流变参数随应力变化的经验公式,其错误之处不再赘述。3.4非线性流变模量的确定罗润林等提出了如图12所示的非线性流变模型,其中黏塑性部分的黏滞系数为η1(t)=η10e-at,黏弹性部分的黏弹性模量为E2(t)=p1+p2e-p3t,再将其直接代入常参数条件下得到的蠕变方程,即得到了非线性流变模型的蠕变方程,这样的做法显然是错误的。仅对非线性黏塑性部分,按照此方法所得的蠕变方程为而按照正确方法求得的蠕变方程应为另外,对于广义Kelvin体,其情况与丁志坤和吕爱钟是一致的,其错误之处不再赘述。3.5考虑损伤的损伤评估方程d目前,建立岩石非线性损伤流变模型的一种常用方法是,在理论流变力学模型中,按Lemaitre应变等效原理,将表观应力σ(亦称Caucy应力、名义应力)改为有效应力,即σ%=σ/(1-D),采用适当的损伤演化方程D=D(t)(或D=D(ε))来确定损伤变量的变化规律,由此解出考虑损伤的蠕变方程。譬如对于黏壶,其蠕变方程为按照上述方法,考虑损伤后的蠕变方程即变为这就相当于是将流变模型的模型参数直接折减,以达到描述损伤的效果。基于此,在一些文献中,获取考虑损伤的蠕变方程的途径是:先建立损伤演化方程D=D(t)(或D=D(ε)),然后直接将常参数流变模型的蠕变方程中的流变参数p替换成p(1-D),得到考虑损伤的损伤蠕变方程。然而由于D是时间或应变的函数,这种方法所得的结果是有问题的,如徐卫亚等[37~39]的研究。4参数非线性流变模型建立的原则建立参数非线性理论流变力学模型的方式有如下3种:(1)给出非线性流变部分的本构方程,用理论流变力学模型的理论推导出整个流变模型的本构方程,从而可进一步推导出整个流变模型的蠕变方程、卸荷方程和松弛方程等。(2)给出非线性流变部分的本构方程,推导出该部分的蠕变方程,与常参数部分的蠕变方程叠加,得到整个流变模型的蠕变方程。(3)给出非线性流变部分的蠕变方程,与常参数部分的蠕变方程叠加,得到整个流变模型的蠕变方程。当非线性部分串联到一个常参数的理论流变模型上时,上述3种方法都是正确的,其中第一种方法能够得出整个流变模型的本构方程,从而可以得到整个流变模型的其他方程(蠕变、卸荷及松弛方程等);第二、三种方法没有给出整个流变模型的本构方程,尤其是第三种方法只能给出的非线性蠕变方程,因为实际上等同于是经验蠕变方程,即代数形式的流变本构方程。而理论流变模型本质上是微分型的本构关系,所以这种只能给出代数型蠕变方程的非线性流变模型就失去了理论流变模型的优点。在建立非线性流变模型时也存在着一些错误的做法:将常参数流变模型的蠕变方程中的模型参数E,η直接替换成相应的函数E(σ,t)和η(σ,t),而得到参数非线性流变模型的蠕变方程,并用常参