高斯算法在等差数列和高斯中的推广

高斯算法在等差数列和高斯中的推广

一、求等差数的前n项和公式的应用,培养出“本节的教育内容是通用高中课程标准实验教科书（5）中章节“等差数列前n个和”的第三节（第一课）。本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用。等差数列在现实生活中比较常见,因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题。同时,求数列前n项和也是数列研究的基本问题,通过对公式推导,可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法。二、课外练习,学生学习在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质,有了一定的准备知识,也对高斯算法有所了解,这都为倒序相加法的教学提供了基础,但高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离,如何从首尾配对法引出倒序相加法,这是学生学习的障碍。因此针对学生的认知规律,本节课将采取循序渐进、层层深入的教学方式,以问题解答的形式,通过分析、讨论、归纳、探索而获得知识,为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台,让学生去感悟倒序相加法的使用范围。三、公式推导和过程与方法(一)学习目标知识与技能:掌握等差数列前n项和公式及其获取思路;会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。过程与方法:通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法;通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平。情感态度与价值:通过公式的推导过程,展现数学中的对称美。四、这所学校是困难的重点:等差数列n项和公式的理解、推导及应。难点:灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。五、教育过程的设计(一)“倒序叠加”法“小故事”:高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目:1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:“1+2+3+…+100=5050。教师问:“你是如何算出答案的?高斯回答说:因为1+100=101;2+99=101;…50+51=101,所以101×50=5050”。这个故事告诉我们:(1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。(2)该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法,这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。其实高斯的算法用到了我们在等差数列的学习中介绍过的一条性质,那么是哪一条呢?am+an=ap+aq(m+n=p+q,且m、n、p、q∈N*)[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性。教学时,应给学生提供充裕的时间和空间,让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律。学生对高斯的算法是熟悉的,知道采用首尾配对的方法来求和,但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段,为了促进学生对这种算法的进一步理解,设计了以下三道由易到难的问题。(二)探索的学习方法准备知识:数列的前n项和:数列a1,a2,a3……an,我们称a1+a2+a3+……+an为数列的前n项和。简记为Sn=a1+a2+a3+……+an该题组织学生分组讨论,在合作中学习,并把小组发现的方法一一呈现问题1:计算Sn=1+2+3+……51[学情预设]学生可能出现以下求法方法1:原式=(1+2+3+……+50)+51方法2:原式=0+1+2+……+50+51方法3:原式=(1+2+…+25+27…+51)+26以上方法实际上是用了“化归思想”,将奇数个项问题转化为偶数个项求解。问题2:计算Sn=1+2+3+4+……+n[学情预设]学生可能出现以下求法方法1:当n为偶数时,Sn=(n+1)n/2当n为奇数时,Sn=[1+(n-1)](n-1)/2+n=(n+1)n/2综上当n为正整数时,Sn=(n+1)n/2[设计意图]这是求个项数奇偶不定的求和问题,若简单地摹仿高斯算法,将出现不能全部配对的问题,借此渗透化归思想。[设计意图]以上题目是从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和,让学生领会从特殊到一般的研究方法,旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进。问题3:在公差为d的等差数列{an}中,定义前n项和Sn=a1+a2+…+an,如何求Sn?由前面的大量铺垫,学生应容易得出如下过程:思考:若将an=a1+(n-1)d代入又可得出哪个表达式?Sn=na1+n(n-1)d/2公式2(三)u3000n项和公式例题1、如图1堆放着一堆钢管,最上层放了4根,下面每一层比上一层多放一根,共8层,这堆钢管共有多少根?设计意图:从实例引出求等差数列前n项和的问题,通过这个实例的解答,使学生了解“等差数列的前n项和公式”的几何意义,可类比梯形面积的推倒方法来记忆等差数列的前n项和公式。例题2、课本43页例题1。[设计意图]该例题是课本原题,可以锻炼学生建模的能力和处理数据信息的能力以及选用公式的能力。学生可以从首项、末项、项数出发,选用公式1;也可以从首项、公差、项数出发,选用公式2,通过两种方法的比较,引导学生在解题时注意选择适当的公式,以便于计算。(四)返回练习1课本45页小练习1,3题。(五)运用有限元学算法掌握数值规律组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法,小组之间互相补充完成课堂小结,实现对等差数列前n项和公式的再次深化。1。从特殊到一般的研究方法;2。体会倒序相加的算法,掌握等差数列的两个求和公式,领会方程(组)思想;3、用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式;(六)前n项和前n项1、课本46习题第1题(1)(3),第2题(3)(4),第5题2、探索题(1)数列{1n(n+1)}{1n(n+1)}的前n项和Sn=11×2+12×3+13×4+⋯+1n×(n+1)Sn=11×2+12×3+13×4+⋯+1n×(n+1),求Sn;(七)问题驱动的教学方法另外“等差数列前n项和”的推导不只一种方法,本节课是通过介绍高斯的算法,探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和。该方法反映了等差数列的本质,可以进一步促进学生对等差数列性质的理解,而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路——从特殊到一般。本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路。为了突破这一难点,在教学中采用了以问题驱动的教学方法,设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼方法,再试图运用这一方法解决一般问题。在教学过程中,通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究,尤其是借助图形的直观性,学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了。但是在实际的授课过程中发现,学生对于奇数列的求和熟练的程度不如偶数列,在高斯问题的基础上把由偶数列改为奇数列,同时出这道问题1:计算Sn=1+2+3+……51的目的是要求学生利用:“首尾配对法”进行计算,偶数列相比奇数列而言“配对”更为简便,在这里也为问题二需要坐下铺垫,以起到层层深入的目的。否则直接给出问题三这样在课程的刚刚进行就给学生设置了障碍,那样并不符合我们新课程标准的要求。另外例题2的演练过程中,我发现同学们对于实际问题有些无从下手,从实际问题中抽象出数学模型的意识淡薄,能力也教差,因此以后有必要在这方面多下些功夫,以提高大家的实际应用能力。这样才