2023-2024学年天津市河东区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市河东区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．下列交通标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝40°，则∠C的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．80°3．已知三角形两边的长分别是1和5，则此三角形第三边的长可能是（）A．4 B．5 C．6 D．74．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（）​A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．176．一个多边形的每一个外角都是45°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．97．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．48．一个凸多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°，则这个多边形是（）A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形9．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对10．将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）A． B． C． D．11．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是（）A．35° B．40° C．50° D．55°12．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC、BM是AC边的中线，有AD⊥BM；垂足为点E交BC于点D．且AH平分∠BAC交BM于N．交BC于H．连接DM．则下列结论：①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC；错误的有（）个．A．0 B．1 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，共18分）13．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为．14．在平面直角坐标系中，点M（a，3）与点N（5，b）关于y轴对称，则a﹣b＝．15．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为．16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝．17．如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为12．则△AEF的面积是．​18．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，∠1＝72°，∠2＝26°，则∠A＝．三、解答题（本大题共6小题，共46分）19．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点A1，B1，C1的坐标；（3）求△ABC的面积．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．（1）求∠DAC的度数；（2）求∠E的度数．21．如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BF＝CE，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF．22．如图所示，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC＝AE，AD＝AB，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若∠BAD＝20°，求∠CDE的度数．23．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）证明：△BCE≌△CAD；（2）若AD＝25cm，BE＝8cm，求DE的长．24．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．（1）【阅读理解】如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：；中线BD的取值范围是．（2）【理解与应用】如图2，在△ABC中，∠B＝90°，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN．试猜想线段AM、CN、MN三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）【问题解决】如图3，在△ABC中，点D是AC的中点，AB＝MB，BC＝BN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．下列交通标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】结合选项根据轴对称图形的概念求解即可．解：A、不是轴对称图形，本选项错误；B、是轴对称图形，本选项正确；C、不是轴对称图形，本选项错误；D、不是轴对称图形，本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝40°，则∠C的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．80°【分析】根据三角形的内角和定理可直接求解．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝75°，∠B＝40°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣40°＝65°，故选：A．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．3．已知三角形两边的长分别是1和5，则此三角形第三边的长可能是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断．解：设三角形的第三边为m．由题意：5﹣1＜m＜5+1，即4＜m＜6，故选：B．【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（）​A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【分析】根据全等三角形的判定可得答案．解：由作图可知，OC＝O'C'＝OD＝O'D'，CD＝C'D'，∴△COD≌△C'O'D'（SSS）．故答案为：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定以及作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．17【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．6．一个多边形的每一个外角都是45°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】任意多边形的外角和为360°，用360°除以45°即为多边形的边数．解：360°÷45°＝8．故选：C．【点评】本题主要考查的是多边形的外角和的应用，明确正多边形的每个外角的度数×边数＝360°是解题的关键．7．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5，故选：C．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．8．一个凸多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°，则这个多边形是（）A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形【分析】设这个多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和定理列出方程，然后求解即可．解：设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n﹣2），依题意得：180（n﹣2）＝360×3+180，解得n＝9．∴这个多边形是九边形．故选：A．【点评】本题考查根据多边形的内角和和外角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．9．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【分析】共有四对．分别为△ADO≌△AEO，△ADC≌△AEB，△ABO≌△ACO，△BOD≌△COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∠DAO＝∠EAO∵AO＝AO∴△ADO≌△AEO；（AAS）∴OD＝OE，AD＝AE∵∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°∴△BOD≌△COE；（ASA）∴BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C∵AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90°∴△ADC≌△AEB；（ASA）∵AD＝AE，BD＝CE∴AB＝AC∵OB＝OC，AO＝AO∴△ABO≌△ACO．（SSS）所以共有四对全等三角形．故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10．将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）A． B． C． D．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．解：由于得到的图形的中间是正方形，且顶点在原来的正方形的对角线上，故选：A．【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．11．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是（）A．35° B．40° C．50° D．55°【分析】根据三角形的外角性质解答即可．解：∵∠BAC＝80°，∴∠ABC+∠BCA＝180°﹣80°＝100°，∴∠BAC的外角＝100°，∵∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，∴AE是∠BAC的外角平分线，∴∠CAE＝50°，故选：C．【点评】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质得出∠BAC的外角＝100°解答．12．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC、BM是AC边的中线，有AD⊥BM；垂足为点E交BC于点D．且AH平分∠BAC交BM于N．交BC于H．连接DM．则下列结论：①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC；错误的有（）个．A．0 B．1 C．3 D．4【分析】作KC⊥CA交AD的延长线于K．通过证明△BHN≌△AHD，△ABM≌△CAK，△CDM≌△CDK即可解决问题．解：如图，作KC⊥CA交AD的延长线于K．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH平分∠BAC，∴AH⊥BC，BH＝CH，∴AH＝BH＝CH，∵AD⊥BM，∴∠BHN＝∠AEN＝∠AHD＝90°，∵∠BNH＝∠ANE，∴∠HBN＝∠DAH，∴△BHN≌△AHD（ASA），∴HN＝DH，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，故②③正确，∵∠BAM＝∠ACK＝90°，∴∠BAE+∠CAK＝90°，∴∠BAE+∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠CAK，∵AB＝AC，∴△ABM≌△CAK（ASA），∴∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM，∵∠DCM＝∠DCK＝45°，CD＝CD，∴△CDM≌△CDK（SAS），∴∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD，∴∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，故①④正确．故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共6小题，共18分）13．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为12．【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．14．在平面直角坐标系中，点M（a，3）与点N（5，b）关于y轴对称，则a﹣b＝﹣8．【分析】根据两个点关于y轴对称时，它们的横坐标符号相反，纵坐标不变，可以直接得到答案．解：∵点M（a，3）与点N（5，b）关于y轴对称，∴a＝﹣5，b＝3，∴a﹣b＝﹣5﹣3＝﹣8，故答案为：﹣8．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，两个点y轴对称时，它们的横坐标符号相反，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点是P'（﹣x，y）．15．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为2．【分析】根据全等三角形的性质得到DB＝AC＝7，结合图形计算即可．解：∵△ABC≌△DCB，∴DB＝AC＝7，∴DE＝BD﹣BE＝7﹣5＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【分析】根据三角形外角的性质可知∠B+∠C＝∠2，∠A+∠E＝∠1，再根据三角形内角和定理即可得出结论．解：如图，∵∠2是△OBC的外角，∴∠B+∠C＝∠2，∵∠1是△AEF的外角，∴∠A+∠E＝∠1，∵∠1+∠2+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故答案为：180°．【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键．17．如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为12．则△AEF的面积是3．​【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．解：∵点D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×12＝6，∵点E是BD的中点，∴S△ADE＝S△ABD＝×6＝3，S△CDE＝S△BCD＝×6＝3，∴S△ACE＝S△ADE+S△CDE＝3+3＝6，∵点F是CE的中点，∴S△AEF＝S△ACE＝×6＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．18．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，∠1＝72°，∠2＝26°，则∠A＝23°．【分析】延长BD、CE相交于A′，根据翻折变换的性质求出∠3，∠4，再根据三角形的内角和等于180°列式进行计算即可得解．解：如图，延长BD、CE相交于A，∵∠1＝72°，∠2＝26°，根据翻折的性质，∠3＝（180°﹣∠1）＝（180°﹣72°）＝54°，∠4＝（180°﹣∠2）＝（180°﹣26°）＝77°，在△ADE中，∠A＝∠DEC﹣∠ADE＝∠4﹣∠3＝77°﹣54°＝23°．故答案为：23°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质求出∠3和∠4的度数是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共46分）19．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点A1，B1，C1的坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）根据对称性即可在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）结合（1）即可写出点A1，B1，C1的坐标；（3）根据网格利用割补法即可求△ABC的面积．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）；（3）△ABC的面积为：3×5﹣2×5﹣1×3﹣2×3＝．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．（1）求∠DAC的度数；（2）求∠E的度数．【分析】（1）利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）进而得出∠ADC的度数，再利用三角形内角和定理和外角性质得出即可．解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝BAC＝30°，（2）∵∠BAD＝BAC＝30°，∴∠ADC＝35°+30°＝65°，∵∠EPD＝90°，∴∠E的度数为：90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质和三角形外角的性质，根据已知得出∠BAD度数是解题关键．21．如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BF＝CE，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF．【分析】首先根据平行线的性质可得∠E＝∠B，进而求得BC＝EF，再加上∠1＝∠2，可利用AAS证明△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵BF＝CE，∴BF﹣FC＝CE﹣CF，即BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠E＝∠B，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．22．如图所示，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC＝AE，AD＝AB，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若∠BAD＝20°，求∠CDE的度数．【分析】（1）根据题目中的条件，根据SAS可以证明结论成立；（2）根据（1）中全等三角形的性质和三角形内角和的知识可以求得∠CDE的度数．【解答】证明：（1）在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠E＝∠C，∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠CAE，∠BAD＝20°，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，∵∠E＝∠C，∠AOE＝∠DOC，∴∠CAE＝∠CDE，∴∠CDE＝20°．【点评】本题考查全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质解答．23．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）证明：△BCE≌△CAD；（2）若AD＝25cm，BE＝8cm，求DE的长．【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC＝∠ACB＝∠ADC，根据等式性质求出∠ACD＝∠CBE，根据AAS证明△BCE≌△CAD；（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD＝CE，BE＝CD，利用DE＝CE﹣CD，即可解答．解：（1）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠BEC＝∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS）；（2）∵△BCE≌△CAD，∴AD＝CE，BE＝CD，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE＝25﹣8＝17（cm）．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．24．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．（1）【阅读理解】如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：SAS；中线BD的取值范围是1＜BD＜9．（2）【理解与应用】如图2，在△ABC中，∠B＝90°，