高中数学选修4-4-简单曲线的极坐标方程

1.3简单曲线的极坐标方程2021/5/913、极坐标与直角坐标的互化公式复习1、极坐标系的四要素2、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。2021/5/92曲线的极坐标方程一定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f(,)=0；（２）以方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。则曲线Ｃ的方程是f(,)=0

。2021/5/93

二求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样①建系（适当的极坐标系）②设点（设M（

，

)为要求方程的曲线上任意一点）③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）

④将等式坐标化⑤化简（此方程f(,)=0即为曲线的方程）2021/5/94例1.半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，极坐标方程：xC(a,0)OMA(,)

＝2acos2021/5/95OC(a,0)AxM(,)2021/5/96例2.已知圆O的半径为r，极坐标方程？xOrM

＝a2021/5/972021/5/98例3.半径为a的圆的圆心坐标为(a,/2)(a>0)求圆的极坐标方程。OxMA

＝2asin2021/5/99例4.如图，半径为a的圆的圆心坐标为

a>0)，圆的极坐标方程？xOMA(,)2021/5/910例5.如图，Ｃ(

1,

1)，半径为r圆的极坐标方程？2021/5/911解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点,如下图所示,在△OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ.根据余弦定理,得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1),即r2=ρ12+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1).也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ12-r2)=0.

即：

2+

1

2-2

1cos(-

1)=r2这就是圆在极坐标系中的一般方程.2021/5/912(1)中心在极点，半径为a；

(2)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；

(3)中心在(a,/2)，半径为a；

(4)中心在(a,

1)，半径为a；(5)中心在Ｃ(

1,

1)，半径为r。

＝a

＝2acos

＝2asin

2+

1

2-2

1cos(-

1)=r2圆的几种极坐标方程2021/5/913你可以用极坐标方程直接来求吗？2021/5/9142021/5/915练习21.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是()2021/5/916（）A、双曲线B、椭圆

C、抛物线D、圆D2021/5/9172021/5/918（）C2021/5/9192021/5/920思考：在平面直角坐标系中过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为;过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为x=3y=3四直线的极坐标方程：2021/5/921例1：⑴求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。oMx﹚2021/5/922（2）求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。（3）求过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程。和2021/5/923

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为或2021/5/924例2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。（学生们先自己尝试做）解：如图，建立极坐标系，设点ox﹚AM在中有即可以验证，点A的坐标也满足上式。为直线L上除点A外的任意一点，连接OM交流做题心得归纳解题步骤：2021/5/925求直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；2、设点是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。2021/5/926

练习1求过点A(a,/2)(a>0)，且平行于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，建立极坐标系，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OM在中有即可以验证，点A的坐标也满足上式。Mox﹚Asin

＝aIOMIsin∠AMO=IOAI2021/5/927课堂练习2设点A的极坐标为，直线过点解：如图，建立极坐标系，设点为直线上异于A点的任意一点，连接OM，在中，由正弦定理得即显然A点也满足上方程A且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。化简得﹚oMxA﹚2021/5/928例3：设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。oxMP﹚﹚A解：如图，设点的任意一点，连接OM，则为直线上除点P外由点P的极坐标知设直线L与极轴交于点A。则在中由正弦定理得显然点P的坐标也是上式的解。即2021/5/929练习3求过点P(4,/3)且与极轴夹角为/6的直线的方程。2021/5/930直线的几种极坐标方程1、过极点，倾斜角为

2、过点垂直于极轴4、过点，且与极轴成的角度3、过点A(a,/2)(a>0)平行