2022年中考数学总复习考点知识梳理1.2代数式与整式

1.2代数式与整式◎借助现实情境了解代数式,能分析简单问题中的数量关系,并用代数式表示,且会求代数式的值.◎了解整数指数幂的意义和基本性质.◎理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号的法则,能进行简单的整式加法和减法运算;能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘).◎能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数).本节考点的考查多以选择题、填空题为主,试题难度为易.整式的化简求值和在合情推理中用代数式(或等式)表示数量关系(与数和式有关的规律题),多以解答题的形式进行考查,但难度不大.命题点1代数式及其求值[10年3考]1.(2014·安徽第7题)已知x2－2x－3=0,则2x2－4x的值为(B)A.－6 B.6 C.－2或6 D.－2或30【解析】代数式2x2－4x是已知条件中x2－2x的2倍,∴把x2－2x看作一个整体.∵x2－2x－3=0,∴x2－2x=3,∴2x2－4x=2(x2－2x)=2×3=6.2.(2012·安徽第5题)某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是(B)A.(a－10%)(a+15%)万元B.a(1－10%)(1+15%)万元C.(a－10%+15%)万元D.a(1－10%+15%)万元【解析】根据4月份比3月份减少10%,可得4月份产值是(1－10%)a万元,5月份比4月份增加15%,可得5月份产值是a(1－10%)(1+15%)万元.命题点2整式的运算[必考]3.(2018·安徽第3题)下列运算正确的是(D)A.(a2)3=a5 B.a4·a2=a8C.a6÷a3=a2 D.(ab)3=a3b3【解析】根据幂的乘方的运算性质可知(a2)3=a6,故A项错误;根据同底数幂的乘法的运算性质可知a4·a2=a6,故B项错误;根据同底数幂的除法的运算性质可知a6÷a3=a3,故C项错误;根据积的乘方的运算性质可知(ab)3=a3b3,故D项正确.4.(2013·安徽第4题)下列运算正确的是(B)A.2x+3y=5xy B.5m2·m3=5m5C.(a－b)2=a2－b2 D.m2·m3=m6【解析】2x和3y不是同类项,不能合并,故A项错误;单项式乘单项式,系数相乘作为系数,字母及其指数按同底数幂相乘法则进行运算,则5m2·m3=5m5,故B项正确;平方差公式(a－b)2=a2－2ab+b2,故C项错误;同底数幂相乘,底数不变,指数相加,则m2·m3=m5,故D项错误.5.(2015·安徽第14题)已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论:①若c≠0,则1a②若a=3,则b+c=9;③若a=b=c,则abc=0;④若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8.其中正确的是①③④.(把所有正确结论的序号都选上)

【解析】在a+b=ab的两边同时除以ab(ab=c≠0)即可得1a+1b=1,故①正确.把a=3代入得3+b=3b=c,可得b=32,c=92,所以b+c=6,故②错误.把a=b=c代入得2c=c2=c,所以可得c=0,故③正确.当a=b且a≠c时,由a+b=ab可得a=b=2,再代入可得c=4,所以a+b+c=8;当a=c且a≠b时,由c=a+b可得b=0,再代入可得a=b=c=0,这与a,b,c中只有两个数相等相矛盾,故a=c这种情况不存在;6.(2012·安徽第15题)计算:(a+3)(a－1)+a(a－2).解:原式=a2－a+3a－3+a2－2a=2a2－3.命题点3幂的运算性质[10年7考]7.(2021·安徽第3题)计算x2·(－x)3的结果是(D)A.x6 B.－x6 C.x5 D.－x58.(2020·安徽第2题)计算(－a)6÷a3的结果是(C)A.－a3 B.－a2 C.a3 D.a29.(2019·安徽第2题)计算a3·(－a)的结果是(D)A.a2 B.－a2 C.a4 D.－a410.(2017·安徽第2题)计算(－a3)2的结果是(A)A.a6 B.－a6 C.－a5 D.a5命题点4因式分解[10年7考]11.(2018·安徽第5题)下列因式分解正确的是(C)A.－x2+4x=－x(x+4) B.x2+xy+x=x(x+y)C.x(x－y)+y(y－x)=(x－y)2 D.x2－4x+4=(x+2)(x－2)【解析】－x2+4x=－x(x－4),故A项错误;x2+xy+x=x(x+y+1),故B项错误;x2－4x+4=(x－2)2,故D项错误;x(x－y)+y(y－x)=x(x－y)－y(x－y)=(x－y)2,故C项正确.12.(2014·安徽第4题)下列四个多项式中,能因式分解的是(B)A.a2+1 B.a2－6a+9C.x2+5y D.x2－5y13.(2020·安徽第12题)因式分解:ab2－a=a(b+1)·(b－1).

【解析】ab2－a=a(b2－1)=a(b+1)(b－1).改编题因式分解:xy2+x－2xy=x(y－1)2.

【解析】原式=x(y2－2y+1)=x(y－1)2.命题点5数式规律探究[10年5考]14.(2015·安徽第13题)按一定规律排列的一列数:21,22,23,25,28,213,….若x,y,z表示这列数中的连续三个数,猜测x,y,z满足的关系式是xy=z(只要关系式对前六项是成立的即可).

【解析】观察数列可发现21×22=23,22×23=25,23×25=28,…,所以这一列数据所揭示的规律是前两个数的积等于第三个数.根据规律,若x,y,z表示这列数中的连续三个数,则x,y,z满足的关系式是xy=z.(答案不唯一)15.(2020·安徽第17题)观察以下等式:第1个等式:13×1+2第2个等式:34×1+2第3个等式:55×1+2第4个等式:76×1+2第5个等式:97×1+2……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:

118×1+(2)写出你猜想的第n个等式:

2n-1n+2×1+2n=2-解:(2)证明:因为左边=2n-1n+2×16.(2019·安徽第18题)观察以下等式:第1个等式:21第2个等式:23第3个等式:25第4个等式:27第5个等式:29……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:

211=1(2)写出你猜想的第n个等式:

22n-1=1n+1(2解:(2)证明:右边=1n+1所以猜想正确.教材知识网络(学用见P6~7)考点1根据实际问题列代数式典例1(2021·浙江温州)某地居民生活用水收费标准:每月用水量不超过17立方米,每立方米a元;超过部分每立方米(a+1.2)元.该地区某用户上月用水量为20立方米,则应缴水费为()A.20a元 B.(20a+24)元C.(17a+3.6)元 D.(20a+3.6)元【解析】应缴水费包括两部分:一部分是17立方米的水费,另一部分是超过17立方米的水费.应缴水费是17a+(20－17)(a+1.2)=(20a+3.6)元.【答案】D提分1(2021·浙江金华)某超市出售一商品,有如下四种在原标价基础上调价的方案,其中调价后售价最低的是(B)A.先打九五折,再打九五折 B.先提价50%,再打六折C.先提价30%,再降价30% D.先提价25%,再降价25%【解析】设商品原标价为a,然后分别计算每种调价方案后的售价,进行比较求解.设商品原标价为a元,A项的售价为0.95×0.95a=0.9025a;B项的售价为(1+50%)×0.6a=0.9a;C项的售价为(1+30%)(1－30%)a=0.91a;D项的售价为(1+25%)(1－25%)a=0.9375a.∵0.9a<0.9025a<0.91a<0.9375a,∴B项的调价方案调价后售价最低.考点2整式的运算(化简)及求代数式的值典例2若2a－3b=－1,则代数式4a2－6ab+3b的值为()A.－1 B.1 C.2 D.3【解析】将代数式4a2－6ab+3b变形后,整体代入可得结论.4a2－6ab+3b=2a(2a－3b)+3b=－2a+3b=－(2a－3b)=1.【答案】B整体代入思想,即先通过已知定值关系式与所求代数式的对比,找出两个式子间共同的部分,作为切入点,然后将已知定值关系式整体代入计算求值即可.(提示:有的定值关系式需通过已知等式进行转化)典例3(2021·浙江金华)已知x=16,求(3x－1)2+(1+3x)(1－3x)的值.【解析】先根据乘法运算公式化简原式,得出最简结果,然后将x的值代入求值.【答案】(3x－1)2+(1+3x)(1－3x)=9x2－6x+1+1－9x2=－6x+2.当x=16时,原式利用整式的运算法则和运算公式对式子进行化简,再把字母的取值代入化简后的式子,可以使运算更加简便;同时还应注意,最后将数字替代字母化简求值的时候,需将在代数式中省略的乘号、除号显现出来.考点3幂的运算法则与乘法公式典例4(2021·四川眉山)下列计算中,正确的是()A.a5·a3=a15 B.a5÷a3=aC.(-a2b3)4=a8b12 D.(a+b)2【解析】根据同底数幂的乘法运算法则、同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则及完全平方公式逐一进行运算,得出正确结论.a5·a3=a8,故A项错误;a5÷a3=a2,故B项错误;(－a2b3)4=a8b12,故C项正确;(a+b)2=a2+2ab+b2,故D项错误.【答案】C提分2下列运算结果是a5的是(D)A.a10÷a2 B.(a2)3 C.(－a)5 D.a3·a2提分3如图1,是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2).(1)观察图2,请你写出(a+b)2,(a－b)2,ab之间的等量关系是(a+b)2－(a－b)2=4ab;根据(1)中的结论,解决下列问题:

(2)若x－y=5,xy=6,则x+y=±7;

(3)设A=x-2y-34,B=x+2y－3,求(A－B)2－(A+B解:(3)∵(A－B)2－(A+B)2=－[(A+B)2－(A－B)2]=－4AB,∴原式=－4·x-2y-34·(x=－(x－3－2y)(x－3+2y)=－[(x－3)2－(2y)2]=－(x2－6x+9－4y2)=－x2+6x－9+4y2.考点4因式分解典例5(2021·陕西)因式分解x3+6x2+9x=.

【解析】先提取公因式,再利用完全平方公式分解.原式=x(x2+6x+9)=x(x+3)2.【答案】x(x+3)2用提公因式法因式分解时,如果多项式的某项就是公因式,那么提公因式后该项为“1”而不是“0”.提分4(2020·湖南益阳)下列因式分解正确的是(C)A.a(a－b)－b(a－b)=(a－b)(a+b)B.a2－9b2=(a－3b)2C.a2+4ab+4b2=(a+2b)2D.a2－ab+a=a(a－b)【解析】A项,a(a－b)－b(a－b)=(a－b)2,故此选项错误;B项,a2－9b2=(a－3b)(a+3b),故此选项错误;C项,a2+4ab+4b2=(a+2b)2,故此选项正确;D项,a2－ab+a=a(a－b+1),故此选项错误.考点5与整式有关的规律探究问题典例6观察以下等式:第1个等式:2×(12－1+1)－1=13;第2个等式:3×(22－2+1)－1=23;第3个等式:4×(32－3+1)－1=33;第4个等式:5×(42－4+1)－1=43;第5个等式:6×(52－5+1)－1=53;……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:;

(2)写出你猜想的第n个等式:(用含n的等式表示),并证明.

【答案】(1)7×(62－6+1)－1=63.(2)(n+1)(n2－n+1)－1=n3.证明:左边=(n+1)(n2－n+1)－1=n3－n2+n+n2－n+1－1=n3=右边,∴等式成立.解答此类问题时,应观察给出的几个等式,先找出等式内在的规律,再根据规律大胆猜想,并利用整式的运算性质验证猜想的正确性,得出一般性结论,最后利用一般性结论解决问题.杨辉三角链接教材:HK版教材七年级下册P82第8章数学史话1.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列,如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用下图的三角形解释二项式乘方(a+b)n展开式的系数情况,此三角形称为“杨辉三角”.(a+b)0………①(a+b)1……①①(a+b)2…①②①(a+b)3………………①③③①(a+b)4……………①④⑥④①(a+b)5…………①⑤⑩⑩⑤①…根据“杨辉三角”完成下列问题:(1)写出(a+b)6的展开式中最大的系数;(2)写出(a+b)n(n≥2)展开式中第三项的系数.(用含n的式子表示)【答案】(1)(a+b)6的展开式的系数分别为1,6,15,20,15,6,1,因此,最大的系数为20.(2)观察“杨辉三角”可得(a+b)n(n≥2)展开式中第三项的系数分别为1,3,6,10,15,…,即(a+b)n(n≥2)的展开式中第三项的系数为1+2+3+…+n－1=n(2.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列,如南宋数学家杨辉