2022年中考数学总复习热点专题突破专题六几何图形动点的最值问题

专题六几何图形动点的最值问题几何图形动点的最值问题是安徽中考的高频考点,如2017年第10题、2019年第10题等.这类题目灵活且难度大.在运动中,引起量(线段的长、角的大小等)的变化,在量的变化过程中,探究存在的最值;需要综合利用三角形、四边形、圆等知识,以及轴对称、旋转、平移等图形变换的性质.解此类题时要分析动点(线)下,哪些量变化,哪些量不变,核心是应用转化思想,即利用全等、相似、轴对称、旋转等方法将动态问题转化为静态问题,然后利用“垂线段最短”“两点之间线段最短”等知识去解决问题.目录一、利用“垂线段最短”求最值二、“一线两点”型(一个动点+两个定点)类型1同侧线段和最小值问题类型2异侧线段和最小值问题类型3同侧线段差最大值问题类型4异侧线段差最大值问题三、与圆有关的最值类型1点圆最值问题类型2线圆最值问题典例精析一、利用“垂线段最短”求最值典例1如图,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,D为斜边AB上一动点,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则线段EF的最小值为()A.45 B.C.52 D.【解析】如图,连接CD,∵DE⊥BC,DF⊥AC,∠ACB=90°,∴四边形CEDF是矩形,∴EF=CD,由垂线段最短可知当CD⊥AB时,线段CD的长最小,即EF的长最小,∵AC=3,BC=4,∴AB=AC【答案】D直线外一点P到定直线l的最短距离是这一点到l垂线段的长,如图.二、“一线两点”型(一个动点+两个定点)类型1同侧线段和最小值问题典例2(2021·贵州毕节)如图,在菱形ABCD中,BC=2,∠C=120°,Q为AB的中点,P为对角线BD上的任意一点,则AP+PQ的最小值为.

【解析】连接PC,AC,CQ.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABP=∠CBP,且BA=BC,BP=BP,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=120°,∴∠ABC=180°－120°=60°.∵AB=BC,∴△ABC是等边三角形.∵AQ=QB,∴CQ⊥AB,∴CQ=BC·sin60°=3.【答案】3将两定点同侧问题转化为两定点异侧问题,可作点B关于直线l的对称点B',连接AB'交直线l于点P,点P即为所求.类型2异侧线段和最小值问题典例3(2021·山东枣庄)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,AC=63,BD=6,P是AC上一动点,E是AB的中点,则PD+PE的最小值为()A.33 B.63 C.3 D.62【解析】连接DE.由题可得当点P在DE上时,PD+PE的最小值为DE的长.∵四边形ABCD是菱形,∴AO=CO=33,【答案】A根据两点之间线段最短,知PA+PB的最小值即为线段AB的长,连接AB交直线l于点P,点P即为所求.类型3同侧线段差最大值问题典例4如图,在等边△ABC中,AB=4,AD是BC边上的中线,E是AD的中点.若P是AC上一点,则BP－EP的最大值是.

【解析】如图,连接BE并延长交AC于点P,此时BP－EP取得最大值,最大值为BE的长,在等边△ABC中,AD是BC边上的中线,∴BD=DC=2,AD=BD·tan60°=2×3=2【答案】7根据三角形任意两边之差小于第三边,|PA－PB|≤AB,知当A,B,P三点共线时,等号成立,即|PA－PB|的最大值为线段AB的长.连接AB并延长,与直线l的交点即为点P.类型4异侧线段差最大值问题典例5如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,AC=6.若点P在∠ACB的平分线所在的直线l上,求|AP－BP|的最大值.【答案】在线段CB上取点A',使得A'C=AC,连接A'P.由题意知∠ACP=∠A'CP.在△ACP和△A'CP中,AC∴△ACP≌△A'CP(SAS),∴AP=A'P,∴|AP－BP|=|A'P－BP|.∵BC=8,AC=6,∴A'B=BC－A'C=BC－AC=2.∵在△PA'B中,BP－A'P<A'B,∴BP－A'P<2.∵当点P,A',B在同一直线上时,BP－A'P取得最大值2,∴|AP－BP|=|A'P－BP|≤2,∴|AP－BP|的最大值为2.将异侧点转化为同侧点,可作点B关于直线l的对称点B',连接AB'并延长,与直线l交于点P,点P即为所求.命题拓展考向“一点两线”型(两个动点+一个定点)

本考向与前面的“一线两点”型均属于“将军饮马”求最值的经典题型,但要注意两者的区别和各自的模型特征,从而快速解题.1.(2021·黑龙江绥化)在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=75°,AB=5,E为AC上的动点,F为AB上的动点,则线段FE+EB的最小值是(B)A.532 B.C.5 D.3【解析】作点B关于AC的对称点B',连接AB',B'C,B'E,过点B'作B'D⊥AB,∴∠BAB'=30°,BE=EB',∴FE+EB=B'E+EF,∴当点B',E,F共线且与AB垂直时,B'E+EF长度最小,即为B'D的长.在Rt△AB'D中,B'D=12要使△PMN周长最小,即PM+PN+MN的值最小,根据两点之间线段最短,将三条线段转化到同一条直线上即可,作点P关于OA,OB的对称点P',P″,连接P'P″交OA,OB于点M,N,点M,N即为所求.三、与圆有关的最值类型1点圆最值问题典例6(2021·芜湖三模)如图,∠BAC=60°,半径为1的☉O与∠BAC的两边相切,P为☉O上一动点,以P为圆心,PA为半径的☉P交射线AB,AC于D,E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为()A.3 B.6C.332 D.【解析】连接PA,PD,PE,作PF⊥DE于点F.∵点A,D,E在☉P上,∴PA=PD=PE.∵∠BAC=60°,∴∠DPE=120°.∵PF⊥DE,∴∠DPF=60°,DE=2DF=2PD·sin60°,当P是AO延长线与☉O的交点时,PA最大,此时PA=PD=3,∴DE长度的最大值为33.【答案】D平面内一定点D和☉O上动点E的连线中,当连线过圆心O时,线段DE有最大值和最小值.具体分以下三种情况讨论(规定OD=d,☉O半径为r):(ⅰ)若点D在☉O外时,d>r,如图1,2,当D,E,O三点共线时,线段DE出现最值,DE的最大值为d+r,DE的最小值为d－r;(ⅱ)当点D在☉O上时,d=r,如图3,当D,E,O三点共线时,线段DE出现最值,DE的最大值为2r,DE的最小值为0;(ⅲ)当点D在☉O内时,d<r,如图4,5,当D,E,O三点共线时,线段DE出现最值,DE的最大值为d+r,DE的最小值为r－d.类型2线圆最值问题典例7(2021·四川凉山州)如图,等边△ABC的边长为4,☉C的半径为3,P为AB边上一动点,过点P作☉C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为.

【解析】连接CP,CQ,过点C作CH⊥AB于点H.∵等边△ABC的边长为4,∴AB=BC=4,∠BCH=12∠【答案】3(ⅰ)如图,AB为☉O的一条定弦,C为圆上一动点.(1)如图1,若点C在优弧AB上,当CH⊥AB且CH过圆心O时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离,此时△ABC的面积最大;(2)如图2,若点C在劣弧AB上,当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离,此时△ABC的面积最大.(ⅱ)如图,☉O与直线l相离,P是☉O上的一个动点,设圆心O到直线l的距离为d,☉O的半径为r,则点P到直线l的最小距离是d－r(如图3),点P到直线l的最大距离是d+r(如图4).针对训练1.(2021·湖北鄂州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=23,BC=3.P为△ABC内一点,且满足PA2+PC2=AC2.当PB的长度最小时,△ACP的面积是(D)A.3 B.33 C.334 D【解析】如图,取AC的中点O,连接OP,BO.∵PA2+PC2=AC2,∴∠APC=90°,∴点P在以AC为直径的圆上运动.在△BPO中,BP≥BO－OP,∴当点P在线段BO上时,BP有最小值.∵O是AC的中点,∠APC=90°,∴OP=AO=CO=3.2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=23,P是△ABC内一动点,且满足∠APC=150°,连接BP,则BP的最小值为(B)A.27－4 B.231－8C.4－3 D.2【解析】如图,作△APC的外接圆☉O,连接OA,OC,OB,OP,过点O作OH⊥BC,交BC的延长线于点H.∵∠APC=150°,∴∠AOC=60°.∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴AC=OC=OA=OP=8,∠ACO=60°.在Rt△COH中,∠OCH=30°,∴OH=12OC=4,3.(2021·江苏连云港)如图,正方形ABCD内接于☉O,线段MN在对角线BD上运动.若☉O的面积为2π,MN=1,则△AMN周长的最小值是(B)A.3 B.4 C.5 D.6【解析】连接OC.由正方形的性质知C是点A关于BD的对称点,点A,O,C在同一条直线上,BD⊥AC.☉O的面积为2π,则圆的半径为2,BD=AC=22.4.(2021·黑龙江七台河)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=4,OB=6,以点O为圆心,3为半径的☉O,与OB交于点C,过点C作CD⊥OB,交AB于点D,P是OA上的动点,则PC+PD的最小值为210.

【解析】延长CO交☉O于点E,连接ED,交OA于点P,则PC+PD的值最小,为线段DE的长.∵CD⊥OB,∴∠DCB=90°.∵∠AOB=90°,∴∠DCB=∠AOB,∴CD∥OA,∴CDOA5.如图,AB是☉O的弦,C是优弧AB上一点,连接AC,BC.若☉O的半径为4,∠ACB=60°,则△ABC的面积的最大值