2022年中考数学几何变形题归类辅导专题07旋转的应用(解析版)

【中考数学几何变形题归类辅导】专题7：旋转的应用【典例引领】例题：在△ABC和△ADE中，BA=BC，DA=DE，且∠ABC=∠ADE=α，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE+∠ABE=90°.（1）如图1，当α=60°时，线段BD与CE的数量关系为，线段EA，EB，EC的数量关系为；（2）如图2当α=90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=25，请直接写出△BDE的面积【答案】（1）BD=EC,EA2=EB2+EC2;（【分析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解决问题；（2）结论：EA2=EC2+2BE2．由题意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB∽△EAC，推出DBEC=ABAC=22，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题；（3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x【解答】如图①中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，

∴△ABC，△ADE都是等边三角形，

∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，

∴∠DAB=∠EAC，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，

∵∠ACE+∠ABE=90°，

∴∠ABD+∠ABE=90°，

∴∠DBE=90°，

∴DE2=BD2+BE2，

∵EA=DE，BD=EC，

∴EA2=BE2+EC2．

故答案为BD=EC，EA2=EB2+EC2．

（2）结论：EA2=EC2+2BE2．

理由：如图②中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，

∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠DAE=∠BAC=45°，

∴∠DAB=∠EAC，

∵ADAE=22，ABAC=22，

∴ADAE=ABAC，

∴△DAB∽△EAC，

∴DBEC=ABAC=22，∠ACE=∠ABD，

∵∠ACE+∠ABE=90°，

∴∠ABD+∠ABE=90°，

∴∠DBE=90°，

∴DE2=BD2+BE2，

∵EA=2DE，BD=22EC，

∴12EA2=12EC2+BE2，

∴EA2=EC2+2BE2．

（3）如图③中，

∵∠AED=45°，D，E，C共线，

∴∠AEC=135°，

∵△ADB∽△AEC，

∴∠ADB=∠AEC=135°，

∵∠ADE=∠DBE=90°，

∴∠BDE=∠BED=45°，

∴BD=BE，

∴DE=2BD，

∵EC=2BD，

∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，

在Rt△ABC中，∵AB=BC=25，

∴AC=210，

在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，

∴x2+4x2=40，

∴x=22（负根已经舍弃），

∴AD=DE=22，【强化训练】1．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：(1)探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BD，连接CD.求证：△BCD的面积为12a2.(提示：过点D作(2)探究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BD，连接CD.请用含a(3)探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BD，连接CD.试探究用含a的式子表示△BCD【答案】（1）详见解析；（2）△BCD的面积为12a2，理由详见解析；（3）△BCD【分析】(1)如图1，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有(2)如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有(3)如图3，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=12【解答】(1)如图1，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E∴∠BED由旋转知，AB=AD，∴∠ABC∵∠A∴∠A在△ABC和△∠ACB=∠BED∠A=∠DBE∴△ABC≌∴BC∵S∴S(2)△BCD的面积为1理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，∴∠BED∵线段AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BE∴AB=BD∴∠ABC∵∠A∴∠A在△ABC和△∠ACB=∠BED∠A=∠DBE∴△ABC≌△∴BC∵S∴S(3)如图3，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥∴∠AFB=∠E∴∠FAB∵∠ABD∴∠ABF∴∠FAB∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB在△AFB和△∠AFB=∠E∠FAB=∠EBD∴△AFB≌△∴BF∵S∴△BCD的面积为12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．【答案】（1）DD′=3，A′F=4﹣；（2）；（3）．【分析】试题分析：（1）①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，只要证明△CDD′是等边三角形即可解决问题；②如图①中，连接CF，在Rt△CD′F中，求出FD′即可解决问题；（2）由△A′DF∽△A′D′C，可推出DF的长，同理可得△CDE∽△CB′A′，可求出DE的长，即可解决问题；（3）如图③中，作FG⊥CB′于G，由S△ACF=•AC•CF=•AF•CD，把问题转化为求AF•CD，只要证明∠ACF=90°，证明△CAD∽△FAC，即可解决问题；【解答】（1）①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，∴A′D′=AD=B′C=BC=4，CD′=CD=A′B′=AB=3∠A′D′C=∠ADC=90°．∵α=60°，∴∠DCD′=60°，∴△CDD′是等边三角形，∴DD′=CD=3．②如图①中，连接CF．∵CD=CD′，CF=CF，∠CDF=∠CD′F=90°，∴△CDF≌△CD′F，∴∠DCF=∠D′CF=∠DCD′=30°．在Rt△CD′F中，∵tan∠D′CF=，∴D′F=，∴A′F=A′D′﹣D′F=4﹣．如图②中，在Rt△A′CD′中，∵∠D′=90°，∴A′C2=A′D′2+CD′2，∴A′C=5，A′D=2．∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°，∴△A′DF∽△A′D′C，∴，∴，∴DF=．同理可得△CDE∽△CB′A′，∴，∴，∴ED=，∴EF=ED+DF=．如图③中，作FG⊥CB′于G．∵四边形A′B′CD′是矩形，∴GF=CD′=CD=3．∵S△CEF=•EF•DC=•CE•FG，∴CE=EF，∵AE=EF，∴AE=EF=CE，∴∠ACF=90°．∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC，∴△CAD∽△FAC，∴，∴AC2=AD•AF，∴AF=．∵S△ACF=•AC•CF=•AF•CD，∴AC•CF=AF•CD=．3．在四边形中，点为边上的一点，点为对角线上的一点，且.（1）若四边形为正方形.①如图1，请直接写出与的数量关系___________；②将绕点逆时针旋转到图2所示的位置，连接，猜想与的数量关系并说明理由；（2）如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，请在图3中画出草图，并直接写出与的数量关系.【答案】（1）①DF=AE，②DF=AE，理由见解析；（2）DF′=AE′.【分析】试题分析：（1）①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形，则BF=AB，再证明△BEF为等腰直角三角形得到BF=BE，所以BD﹣BF=AB﹣BE，从而得到DF=AE；②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF，加上=，则根据相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以=；（2）先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD=AB，再证明△BEF∽△BAD得到，则=，接着利用旋转的性质得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以=，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性质可得=．【解答】（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BF=AB，∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，BF=BE，∴BD﹣BF=AB﹣BE，即DF=AE；故答案为DF=AE；②DF=AE．理由如下：∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，∴∠ABE=∠DBF，∵=，=，∴，∴△ABE∽△DBF，∴=，即DF=AE；（2）如图3，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=mAB，∴BD==AB，∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴，∴=，∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，∴=，∴△ABE′∽△DBF′，∴=，即DF′=AE′．4．如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依次操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．①请判断四边形EFGH的形状为，此时AE与BF的数量关系是；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围；（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．【答案】（1）△DEF为等边三角形，EF的长为4﹣4．（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．②y=2x2﹣8x+16（0＜x＜4），y的取值范围为：8≤y＜16．（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为4﹣4．【分析】（1）根据旋转的性质，易知△EFD是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理即求出EF的长；（2）①四边形EFGH的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证明AE=BF；②求出面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范围．（3）如答图2所示，经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，可能是正多边形，最大边数为8，边长为4﹣4【解答】（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则△DEF为等边三角形．在Rt△ADE与Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）∴AE=CF．设AE=CF=x，则BE=BF=4﹣x∴△BEF为等腰直角三角形．∴EF=BF=（4﹣x）．∴DE=DF=EF=（4﹣x）．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+AD2=DE2，即：x+42=[（4﹣x]2，解得：x1=8﹣4，x2=8+4（舍去）∴EF=（4﹣x）=4﹣4．DEF的形状为等边三角形，EF的长为4﹣4．（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH的形状为正方形．∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4．∵EF=EH∴△AEH≌△BFE（ASA）∴AE=BF．②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，∴BF=CG=DH=AE=x，AH=