直线与椭圆的位置关系课件 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质(三)1-----直线与椭圆的位置关系2-----弦长公式相交相切相离回顾1：直线与圆的位置关系有哪几种？②代数法：联立直线方程与圆方程，得到方程组，根据方程组解的个数来判断有两个相异实根，即⊿＞０，则相交；有两个相同实根，即⊿＝０，则相切；无实根，即⊿＜０，则相离．①几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．

如何判定直线与圆的位置关系？回顾2：如何求直线被圆截得的弦长？ABrd（1）几何方法利用弦心距d、半径r及弦长一半构造的直角三角形（垂径定理）（2）代数方法1.直线与椭圆的位置关系有哪几种?类比思考相交相离相切2.怎么判断它们之间的位置关系?能用几何法吗？不能！所以只能用代数法----求解直线与二次曲线有关问题的通法。因为他们不像圆一样有统一的半径。

直线与椭圆的位置关系的判定代数方法oxyoxy思考：最大的距离是多少？练习1.当K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线交点情况满足()A.没有公共点B.一个公共点C.两个公共点D.有公共点D练习3：直线y=kx+1与椭圆恒有公共点,求m的取值范围。[1，5）∪（5，+∞

）1C

已知直线y=x－

与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。x2+4y2=2解：联立方程组消去y∆>0因为所以，方程（１）有两个根，那么，相交所得的弦的弦长是多少？则原方程组有两组解….-----(1)由韦达定理再来例2：已知斜率为1的直线L过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．练习、求椭圆被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长。通径小结论

直线与椭圆位置关系的判断以及直线与椭圆相交问题的处理跟直线与圆都有很大的不同.青山青，青山是山；椭圆椭，椭圆非圆。例3：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被

平分，求此弦所在直线的方程.解：依题意,直线的斜率存在.韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造例3：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差例3：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0从而A,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，3、直线与椭圆相交问题的处理方法：联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理.

1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：弦长公式：

|AB|=

=（适用于任何曲线）

小结例3.已知椭圆与直线相交于两点，是的中点．若，斜率为（Ｏ为原点），求椭圆方程．解：由方程组消去整理得：解：由方程组消去整理得：①②解①②得所求的椭圆方程为朴实而平凡，却华贵雍容.练习2.中心在原点一个焦点为的椭圆的截直线所得弦的中点横坐标，求椭圆的方程．

分析：根据题意可设椭圆的标准方程，与直线方程连里解方程组，利用中点公式求得弦的中点的横坐标，最后解关于的方程组即可．

解：设所求椭圆的方程为由得①把直线方程代入椭圆方程，整理得设弦的两个端点为，