2022海淀区数学九年级上册期末试题

2021〜2022学年海淀区九上期末

数学试卷

2022.01

学校姓名准考证号

1.本调研卷共8页，满分100分，时间120分钟。

注

意2.在调研卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

事3.调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。

项

4.在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。

第一部分选择题

一、选择题(共16分，每题2分)

第L8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.在平面直角坐标系X。)，中，下列函数的图象经过点(0,0)的是

(A)y=x+l(B)y=d(C)y=(x-4)2(D)y=-

X

2.下列各曲线是在平面直角坐标系x。)，中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是

1]去

N.y\\rr/rjTv-rXi

-十^十T：:

i-..…i-….i.一Jii.一一JL...1-:一i

(A)(B)(C)(D)

3.抛物线y=(x-2)2+1的顶点坐标是

(A)(2,1)(B)(1,2)(C)(-2,1)(D)(1,-2)

4.在aABC中，CA=CB,点。为AB中点以点C为圆心，C。长为半径作。C,则。C与AB

的位置关系是C

(A)相交(B)相切

(C)相离(D)不确定

O

5.小明将图案JF"绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度a,，设计欣___________

出一个外轮廓为正六边形的图案(如图)，则口可以为

(A)30°(B)60°

(C)90°(D)120°O

6.把长为2m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积.设较长

一段的长为xm,依题意，可列方程为

(A)x2=2(2-x)(B)x2=2(2+x)(C)(2-x)2=2x(D)x2=2-x

7.如图，A,B,C是某社区的三栋楼，若在AC中点。处建

一个5G基站，其覆盖半径为300m,则这三栋楼中在该

5G基站覆盖范围内的是

(A)A,B,C都不在(B)只有B

(C)只有A,C(D)A,B,C

8.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示:

抛掷次数m5001000150020002500300040005000

“正面向上”的次数〃26551279310341306155820832598

“正面向上”的频率巴

0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520

m

下面有3个推断:

①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512,所以“正面向上”的概率是0.512；

②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以

估计“正面向上”的概率是0.520；

③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一

定是1558次.

其中所有合理推断的序号是

(A)②(B)①③(C)②③(D)①②③

第二部分非选择题

二、填空题(共16分，每题2分)

9.已知某函数当x>0时，y随x的增大而减小，则这个函数解析式可以为.

10.在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出

1个球，则取出红球的概率是.

11.若点A(-l，x),8(2,力)在抛物线y=2f上，则%,为的大小关系为:%%(填“>”，

“=”或

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(-2,0),点8(0,1).

将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC,则点C的坐标

为.

13.若关于x的方程/一2、+%=0有两个不相等的实数根，则Z的取值范围是

14.如图，PA,PB分别切。。于点A,B,Q是优弧AB上一点，若

ZP=40°,则NQ的度数是.

15.小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形1------、

盒子中.为区别口味，他打算制作“**饼干”字样的矩形

/、

标签粘贴在盒子侧面.为了获得较好的视觉效果，粘贴后标;飞与丁

签上边缘所在弧所对的圆心角为90。(如图).已知该款圆L--------、、

柱形盒子底面半径为6cm,则标签长度/应为cm.

(兀取3.1)

16.给定二元数对(p,q),其中p=O或1,q=0或1.三种转换器A,B,C对(p,q)的转换

规则如下：

规则

a.转换器A当输入(1,1)时，输出结果为1；其余输出结果均为0.

转换器B当输入(0,0)时，输出结果为0；其余输出结果均为1.

转换器C当输入(1,1)时，输出结果为0；其余输出结果均为1.

b.在组合使用转换器时，A,B,C可以重复使用.

\/

(1)在图1所示的“A—B—C”组合转换器中，若输入(1,0),则输出结果为

(1,0)

(2)在图2所示的“①一C一②"组合转换器中，若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0,

则该组合转换器为“―-C-"(写出一种组合即可).

(p，q)

图2

三、解答题(共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题

6分，第27-28题，每题7分)

解答应写出文字说明'演算步骤或证明过程.

17.解方程：X2-6X+8=0.

18.已知a是方程2/-7*-1=0的一个根，求代数式a(2a-7)+5的值.

19.在平面直角坐标系xO.y中，抛物线y=a(x-3)2-1经过点(2,1).

(1)求该抛物线的表达式；

(2)将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点.

20.如图，在RtZsABC中，乙4c8=90。，NBAC=30。，将线段C4绕点C逆时针旋转60。，得到线

段C£),连接AO,BD.

(1)依题意补全图形；

(2)若BC=1,求线段8。的长.

CB

21.“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积.这

个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的.如果

借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：

已知：00(纸片)，其半径为r.

求作：一个正方形，使其面积等于00的面积.

作法：①如图1,取。。的直径45,作射线过点A作45的垂线/；

②如图2,以点A为圆心，Q4为半径画弧交直线/于点C；

③将纸片。。沿着直线/向右无滑动地滚动半周，使点A,8分别落在对应的A,8'处;

④取CB'的中点以点M为圆心，为半径画半圆，交射线84于点E；

⑤以隹为边作正方形AEFG.

正方形的G即为所求.

图1图2

根据上述作图步骤，完成下列填空：

(1)由①可知，直线/为。0的切线，其依据是.

(2)由②③可知，AC=r,=则MC=,MA=(用含

，•的代数式表示).

(3)连接ME,在RtAWE中，根据402+他2=上加2,可计算得A£2=(用含

r的代数式表示).

由此可得S正方形AEFG=S0a.

22.已知关于x的一元二次方程公+(2-w)x+1-胆=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若“<0,且此方程的两个实数根的差为3,求机的值.

23.如图，ZiABC内接于。。，高A。经过圆心0.A

(1)求证：AB=AC-,

(2)若5c=8,。。的半径为5,求AABC的面积.

24.邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象.为宣传2022年北京冬奥会，中国邮政发

某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对•的同学可以随机抽取邮票作为奖品.

(1)在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬

季两项”的概率是;

(2)在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树

状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率.

25.如图，AB为。。的直径，弦C0LA8于£,连接AC,过A作交。。于点F,

连接。凡过3作BG_LDF,交。尸的延长线于点G.

(1)求证：BG是。。的切线；

(2)若N£)E4=30。，DF=4,求FG的长.

26.在平面直角坐标系M力中，点(4,3)在抛物线了=62+版+35>0)上.

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)已知帆>0,当2-m<x42+2m时，y的取值范围是-14y43,求a,加的值；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数〃，当〃—2<x<〃时，y的取值范围是3〃-3<y<3〃+5,

若存在，直接写出”的值；若不存在，请说明理由.

27.如图，在△ABC中，ABAC=90°,AB^AC=\,延长CB,并将射线CB绕点C逆时针旋转

90。得到射线/,。为射线/上一动点，点E在线段CB的延长线上，且BE=CD,连接。E,

过点A作AM于M.

(1)依题意补全图1,并用等式表示线段。M与ME之间的数量关系，并证明；

(2)取BE的中点N,连接4M添加一个条件：CQ的长为,使得AN=」£>E成立,

2

并证明.

图1备用图

28.在平面直角坐标系xQv中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d.对

点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P,Q两点间的距离有最大值,

且最大值恰好为2d,则称点P为图形W的“倍点”.

(1)如图1,图形W是半径为1的。0.

①图形W上任意两点间的距离的最大值d为;

②在点6(0,2),8(3,3),6(-3,0)中，。。的“倍点”是；

(2)如图2,图形W是中心在原点的正方形4BCD,已知点&一1,1),若点E(t,3)是正方

形ABCD的“倍点”，求/的值；

(3)图形W是长为2的线段MMT为的中点，若在半径为6的。。上存在MN的“倍

点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积.

1

1O

图1图2

2021〜2022学年海淀区九上期末

参考答案及评分标准

2022.1

第一部分选择题

一'选择题(共16分，每题2分)

题号12345678

答案BCABBADC

第二部分非选择题

二、填空题(共16分，每题2分)

9.不唯一，例如y=y=l—f等0|

11.<12.(2,2)

13.k<\14.70°

15.9.316.(1)1,(2)不唯一，A/A或B/A均可

三、解答题(共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题

6分，第27-28题，每题7分)

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.(本题满分5分)

解：X2-6X+9=\

(x-3)2=1

x-3=±l

X]=4,=2•

18.(本题满分5分)

解：a(2a-7)+5=2a2—7a+5.

•/4是方程2/-7x-l=0的根，

，2a2-la-\=O.

：.2a2-74=1.

原式=6.

19.（本题满分5分）

（1）解：；抛物线y=a（x-3『-1经过点（2,1）,

a-1=1.

解得：a=2.

该抛物线的表达式为y=2（x-3）z-l.

（2）I.

20.（本题满分5分）

（1）如图所示：A

(2)解：,/ZACB=90°,ZBAC=30°,BC=1,

AB=2BC=2.

AC^y/AB2-BC2.

,/线段CA绕点C逆时针旋转60。得到线段CD,

：.CA=C。且NACO=60°.

△AC。是等边三角形.

/.AO=AC=G，ZDAC=60°.

：.ZDAB=ZDAC+ZC4B=90°.

在RtZ\48£)中，BD=>JAB2+AD2=-Jl.

21.（本题满分5分）

（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;

⑵（兀+3

22，

（3）兀产.

22.（本题满分6分）

（1）证明：依题意，得

△=（2一相『一4（1一根）=〃，-4机+4-4+4/%=加2・

Vm2>0,

JA>0.

・•・该方程总有两个实数根.

（2）解：解方程，得玉=-1,x2=m—\.

*/77?<O,

••-1>ITI—1•

•••该方程的两个实数根的差为3,

—1—（77Z-1）=3.

机=—3・

23.(本题满分5分)

(1)证明：在。。中，

:ODLBC于D,

：.BD=CD.

：.AO垂直平分BC.

,AB=AC.

(2)解:连接0B,

'：8c=8,又由(1)得BD=CD,

BD=-BC=4.

2

,:OA=OB=5,

：.OD=yJOB2-BD2=3.

：.AD=AO+OD=8.

：.ZVIBC的面积A£>=32.

24.（本题满分6分）

(1)1

4

（2）解：直接使用图中的序号代表四枚邮票.

方法一：由题意画出树状图

第一枚

第二枚

由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，即①②，①③，①④，②①，②③，②④,

③①，③②，③④，④①，④②，④③，并且它们出现的可能性相等.其中，恰好抽到“高山滑雪”

和“自由式滑雪”（记为事件A）的结果有2种，即②④或④②.

,21

•*-P(A)=—=—

V7126

方法二：由题意列表

二枚

①②③④

©①②①③①④

②②①②③②④

③③①③②③④

©④①④②④③

由表可知，所有可能出现的结果共有12种，即①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①,

③②，③④，④①，④②，④③，并且它们出现的可能性相等.其中，恰好抽到“高山滑雪”和“自

由式滑雪”（记为事件A）的结果有2种，即②④或④②.

21

25.（本题满分6分）

（1）证明：

,/C,A,D,F在。。上，NCA尸=90。,

?.ND=/C4F=90°.

ABLCE,BGLDF,

・・・ZBED=ZG=90°.

，四边形BEDG中，NA8G=90。.

J半径03_L3G.

，BG是。。的切线.

(2)解：连接CR

■:ZCAF=90°,

・・・CF是。。的直径.

・•・OC=OF.

•;直径A8J_C£)于E,

・•・CE=DE.

・・・。石是/的中位线.

:.OE=-DF=2.

2

•・•AD=ADfZAFD=30°f

：.ZACD=ZAF/>30°.

JZCAE=900-ZACE=60°.

*/0A=0C,

・・・△AOC是等边三角形.

CE1AB,

・・・E为A。中点，

JOA=2OE=4fOB=4.

：.BE=BO+OE=6.

♦・・/BED=/D=NG=90。,

・・・四边形BEDG是矩形.

:.DG=BE=6.

：.FG=DG-DF=2.

26.(本题满分6分)

(1)解：依题意,

抛物线y="2+云+3过点(0,3),(4,3),

・•・该抛物线的对称轴为直线x=2.

(2)解：：抛物线丁=加+陵+3对称轴为直线x=2,

*,•一~—=2,即〃=—4a①.

2a

*.*/H>0,

/.2—m<2<2+2m.

•・・67>O,抛物线开口向上，

当x=2时，函数值在2-+上取得最小值一1.

即4n+2Z?+3=—1②.

联立①@»解得4=1,b=-4.

:.抛物线的表达式为y=式-4%+3,BPy=(x-2)2-1.

:m>0,

当2-m〈x<2时，y随工的增大而减小，当x=2-时取得最大值，

当2<x<2+2”时，y随x的增大而增大，当％=2+2机时取得最大值，

•・•对称轴为无=2,

；・1=2-机与x=2+加时的函数值相等.

•/2v2+/篦v2+2m,

・・・当x=2+2加时的函数值大于当％=2+机时的函数值，即％=2-帆时的函数值.