2022年浙江省中考数学复习训练-模型七　构造隐形圆解决问题

数学模型七构造隐形圆解决问题模型1：利用圆的定义来构造辅助圆【数学建模】【模型应用】1．已知AB＝AC＝AD，∠DAC＝30°，∠BAC＝80°，求∠CBD的度数．【解析】如图，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠CBD＝eq\f(1,2)∠CAD＝15°.2．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，求∠CAD的度数．【解析】∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠ACB，点B，C，D在以A为圆心的圆周上，∴∠BDC＝eq\f(1,2)∠BAC，∠CAD＝2∠CBD，∵∠BAC＝44°，∴∠BDC＝22°，∵∠CBD＝2∠BDC，∴∠CBD＝44°，∴∠CAD＝88°.3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，求BD的长．【解析】以A为圆心，AB的长为半径作圆，延长BA交⊙A于点F，连结DF，四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BDC＝∠DBF，∴eq\o(DF,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴DF＝BC＝1，∵FB是⊙A的直径，∴∠FDB＝90°，在Rt△BDF中，BF＝2AB＝4，DF＝1，∴BD＝eq\r(BF2－DF2)＝eq\r(15).模型2：利用90°的圆周角所对弦是直径构造辅助圆【数学建模】eq\a\vs4\al(在⊙O中，AB为直径，则AB所对的圆周角∠C＝90°.)eq\a\vs4\al(若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则点C在以AB为直径的圆上．)【模型应用】1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，求线段CE的最小值．【解析】如图，∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连结CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE′＝2，∵BC＝6，∴OC＝eq\r(BC2＋OB2)＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)，则CE′＝OC－OE′＝2eq\r(10)－2.∴线段CE的最小值为2eq\r(10)－2.2．如图，直线y＝－eq\f(3,4)x＋3与x轴，y轴分别交于B，A两点，点P是线段OB上的一动点，若能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP＝90°，设点P的坐标为(m，0)，求m的取值范围．【解析】令y＝0，则－eq\f(3,4)x＋3＝0，解得x＝4，所以，点B的坐标为(4，0)，过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标横坐标为a，则OD＝a，PD＝m－a，∵∠OCP＝90°，∴△OCD∽△CPD，∴eq\f(CD,OD)＝eq\f(DP,CD)，∴CD2＝OD·DP，∴(－eq\f(3,4)a＋3)2＝a(m－a)，整理得，m＝eq\f(25,16)a＋eq\f(9,a)－eq\f(9,2)，所以，m≥2eq\r(\f(25,16)a·\f(9,a))－eq\f(9,2)＝3，∵点P是线段OB上的一动点(能与点O，B重合)，∴OC⊥AB时，点P，B重合，m最大，∴m的取值范围是3≤m≤4.模型3：利用四点构造圆【数学建模】【模型应用】1．已知：如图，直尺的宽度为2，A，B两点在直尺的一条边上，AB＝6，C，D两点在直尺的另一条边上，若∠ACB＝∠ADB＝90°，求C，D两点之间的距离．【解析】2eq\r(5)2．如图，四边形ABCD为矩形，BE平分∠ABC，交AD于点F，∠AEC＝90°.(1)求∠ACE的度数；(2)求证：BE⊥ED.【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°；又∵∠AEC＝90°，∴∠ABC＋∠AEC＝180°；∴A，B，C，E四点共圆．∵∠ABC＝90°，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝45°，∴∠ACE＝∠ABE＝45°.(2)连结BD；∵四边形ABCD是矩形，∴A，B，C，D四点共圆，并且BD是直径．又∵A，B，C，E四点共圆，∴A，B，C，D，E五点共圆．∴∠BED为直角，即BE⊥ED.3．在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，B(－6，0)，点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，求点C的坐标．【解析】设BA的中点为E，∵A(4，0)，B(－6，0)，∴AB＝10，E(－1，0).(1)过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝eq\f(1,2)AB＝5，则易知△PAB为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5eq\r(2)，以点P为圆心，PA(或PB)长为半径作⊙P，与y轴正半轴交于点C，∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA＝eq\f(1,2)∠BPA＝45°，即点C即为所求．过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝1.在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5eq\r(2)，由勾股定理得：CF＝eq\r(PC