2022高考（课标全国卷）数学押题模拟卷01

2022高考（课标全国卷）押题模拟卷01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自

己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（2021•山东泰安高三第三次调考）cos2--sin2-=（）

88

A.0B.也C.1D.一也

22

【答案】B

【解析】根据余弦的二倍角公式可得cos2工一sin2^=cos^=也，故选B.

8842

2.（2021•广东惠州市高三一模）已知集合"={0,1,2,3},N={XX2=I},则"p|N=

（）

A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{-1,1,0}

【答案】A

【解析】•源={小2=1}={_1,1},...用口77={1},故选人.

2+4/

3.（2021•陕西西安中学高三三模）在复平面上，复数^一对应的点位于（）

1+z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

2+4i（2+4z）（l-z）6+2i..

【解析】二二.、.、=-7-=3+，,对应点为（3,1）在第一象限.故选A.

1+z（l+z）（l-z）2

4.（2021•江西九江高三第三次调研）设a=In2,b=（下产,c=（近严，则下列关系

中正确的是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】Qa=ln2<lne=l,h=（^）°'>（^）°1=c>（V2）0=1.：.b>c>a.故选

D.

5.（2021•贵州安顺市高三零模）如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算

术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的。、匕分别为36、96,则输出的。=

（）

I开始）

/输入a,”

A.0B.8C.12D.24

【答案】C

【解析】第一步：初始值a=36,。=96；此时〃b；进入循环；

第二步：a=36<96,计算。=96-36=60,此时36H60,进入循环；

第三步：a=36<60,计算6=60—36=24,此时36/24,进入循环；

第四步：a=36>24,计算a=36-24=12,此时12w24,进入循环；

第五步：a=12<24,计算。=24-12=12,此时12=12,结束循环，输出a=12.

故选：C.

6.（2021•甘肃兰州高三段考）已知向量“花满足£=（4,0）出=（租,1）,且同=则£3

的夹角大小为（）

九乃加•3兀

A.—B.—C.—D.—

4324

【答案】A

【解析】•.•同=4,「.4加=4,解得:m=\,即4=（11）,

一tU-b4>/2兀

cos<a,">=丽万=下-,所以M和B的夹角大小为点.故选A.

7.（2020•湖北黄冈高三期末）已知数列｛勺｝中第15项《5=256,数列｛〃｝满足

log^!+log2Z?2+••.+log2fe14=7,且4+1=a“也,则4=（）

I

A.-B.1C.2D.4

2

试卷第2页，总16页

【答案】C

【解析】因为数列也｝满足10g24+log2b2+…+10g2%=7,所以有4也也…%=27,

又4"+1=。"所以3L=b“，于是有@■x%x&x…x4=444,…伪，所以

ana\443ai2a\

—=27,故4=2.故选C.

q

8.（2021•山东高三联考）由伦敦著名建筑事务所Sfey“Smdio设计的南非双曲线大教堂惊艳

世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一

22

段近似看成双曲线［-二=1（。＞0力＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线

a~b-

的距离为2,离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±A/3XB.y=+---xC.y=±xD.y=±2x

3

【答案】B

22

【解析】因为与一二=1(。＞0力＞0),

a方

所以下焦点为(o,—C),渐近线方程为y=±%,即ax+by=Q,

be

则下焦点到依士力=o的距离为dI------------=b=2,

yja2+b2

=2,解得2=有，即0=也,

又因为e=•—=

ah3

所以渐近线方程为：y=±^-X,故选：B

3

9.（2021•安徽金安六安一中高三质检）锐角△ABC中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,

且满足（。一。）（sinA+sin8）=（c—Z?）sinC,若。=百，则b+c的取值范围是（）

A.(3,4]c.(3,35/3]D.(3,6]

【答案】B

[解析】因为(。一0)(sinA+sin8)=(c-。)sinC

222222

由正弦定理可得a-b^c-bc＞即b+c-a^bc，

7171

所以cosA="+c--'「=',又Ae(0,,所以A二一

2hc23

bca5/3

2

由正弦定理可知sin8sinCsinAJG,所以匕=2sinB,c=2sinC,

2

-fij]=2Isinfi

则b+c=2(sinB+sinC)=2[sinB+sin+—COSJB

2)

273sinlB+^j,

2万

0<B+C<——

3

TT717171

因为△45C为锐角三角形且A二一所以0<B<-，解得Be

32

0<C<-

2

71712万

当B喉,雪时,B+官,11，

6

所以8+。,=26$巾（8+£）€（3,26].故选B.

10.（2021•云南大理高中校联考）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没

有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是或，则该射手每次射击的命中率为（）

25

试卷第4页，总16页

【答案】C

【解析】设该射手射击命中的概率为〃，两次射击命中的次数为X,则X~B（2,p）,

由题可知：尸（X=O）+P（X=1）=£,即回〃o（i_p）2+c；p（]_〃）=!|,

3

解得〃=《•故选C.

11.（2021•福建德化高三第二次质检）定义在R上的函数/（力满足〃x）=〃x+2）,

当x«3,5]时/（力=2-卜一4|,则（）

B./(sinl)>/(cosl)

D./(sin2)>/(cos2)

【答案】C

【解析】设则X+4W[3,5],所以〃工+4）=2-卜+4-4|=2-|乂

又/（x+2）=〃。所以〃x）=〃x+4）=2-国其图象如下图所示

因为（＜1、，.岑＜cosl＜sinl＜l,所以/（sinl）＜/（cos1）,B选项不正确;

因为si吟考若T，不%眇伐）所以

八八ZT.71

因为sin2=sin（万一2）,cos2=-sin2----0<2----<zr-2<—

22

所以0<sin12-1^<sin2=sin（1一2）<1

/（cos2）=/-sin2-y11=/sin（2-列>/（sin（左一2））=/（sin2）所以,D选

项不正确；故选C.

12.（2020•福建泉州高三期末）如图，正三棱柱ABC-ARC中，BCJAg、点。为AC

中点，点E为四边形BCG片内（包含边界）的动点则以下结论错误的是（）

A.DA=~（A^A~B^A+BC）

B.若DE〃平面A8BM，则动点E的轨迹的长度等于立AC

2

C.异面直线A。与BG，所成角的余弦值为亚

6

D.若点E到平面ACGA的距离等于KIEB,则动点E的轨迹为抛物线的一部分

2

【答案】A

【解析】对于选项A,Ab^\A-ByA+BC^,选项A错误；

对于选项B,过点。作AA的平行线交AG于点。.

以。为坐标原点，丽，丽，西分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系Qxyz.

设棱柱底面边长为。，侧棱长为8，则A0,0

（2）

试卷第6页，总16页

C,|-pO^所以晅鬲

I22J1122J

因为DE〃平面ABgA,则动点E的轨迹的长度等于忸闻选项B正确.

对于选项C,在选项A的基础上，在［不。,。］,80,^~a,0,。（0,0,0）,G—

k22J

所以方=值0,01，西=，］聿,当力,

<2）।（222J

,所以异面直线8G，D4所成角的

余弦值为亚，选项C正确.

6

对于选项D,设点E在底面ABC的射影为石1，作£1尸垂直于AC，垂足为F,若点E到平

面ACGA的距离等于走E8，即有E1F=^EB，又因为在ACE1尸中，

22

E1F=—E1C）得EB=E1C,其中E1C等于点E到直线CC1的距离，故点E满足抛物

2

线的定义，另外点E为四边形BCG用内（包含边界）的动点，所以动点E的轨迹为抛物线

的一部分,故D正确.

故选A.

第H卷（非选择题）

二、填空题

13.（2021.山东烟台高三第四次质检）在新高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、

化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科

参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科

方案有种.

【答案】10

【解析】选择两门理科学科，一门文科学科，有C§C；=9种；选择三门理科学科，有1种,

故共有10种.

14.（2021•山西省原平市范亭中学高三月考）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零

件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下：

零件个数1020304050607080

加工时间626875818995102108

2

设回归直线方程为y=〃x+a,若方=§，则点（。㈤在直线x-45y-20=0的

方

【答案】右下方

_10+20+30+40+50+60+70+80在

【解析】由题意可得:x=----------------------------------------------=45，

8

62+68+75+81+89+95+102+108=85,则。=9一版=85—^x45=55

故点

2

（久勿为（55,§）在直线1―45y—20=。右下方.

15.（2020•浙江舟山高三期末）已知sina=cosa+-,且ae,则sina=

cos2a

sinfa-^-\-----------,

I4j

…g.4772

【答案】--二匕

55

【解析】由sina=cosa+y,可知sina-cosa=g,

等式两边同时平方，结合sin?a+cos2a=1，可得1-2sinacosa=上，

试卷第8页，总16页

12(71

即sinacosa=一，又a£0,，则sina+cosa=J(sina-cosa)2+4sinacosa

25I

I.14

sina-cosa=—sina=一

解得，;

则7

sina+cosa=—cosa=一

55

由余弦二倍角公式及正弦差角公式展开化简可得

cos2a_cos2&—sin2a1显

.（J2=-V2（sina+cosa）=-------

sin|^a--I苛（sina-cosa）5

16.（2021•河北衡水高三第九次调研）在古代土木工程的计算中，需要研究一些特殊的几何

体，《九章算术》记载的堑堵（夕话"曲）就是其中之一.堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂

直于底面的三棱柱，在堑堵ABC—AgG中，AC=A5=A4,=2,E是4G的中点，M

是侧面A叫A内（含边界）的一个动点，若ZEMA,=ZCMA,则CM的最大值是.

【答案】巫

3

【解析】如图所示，作MN_1明于点N，

A8

设4V=x(O«xK2),MN=y,

MAACc

由NEMA=ZCMA易得△AMACsAAMAE,得--=--=2,

/W/lj/ijIL

所以M4=2M4「即4+y2=2j(2-x)2+y2,

整理得y2=-x24-yX-y-,

又CM2=AN2+"N2+AC2=X2+2+4=2，.

-33

当x=2时，CM取得最大值匹.

3

三、解答题(共0分)

17.(2021•四川省仁寿第一中学校高三二模)在AABC中，内角A,8,C所对的边分别为

2

,口，o3b

ci,b,ct且1+cosB=----

2ac

(1)证明：成等差数列；

9

(2)若。=5,cosB=—,求△/15c的面积.

16

筋22,2_120^2

【解析】(1)因为1+COSB=3L,所以1+巴士一L=J

2ac2ac2ac

所以2。。+。？+C2-b2=3b2，即lac+a2+c?2=4/，

所以(a+c)2=4/，所以a+c=»,

所以a,〃,c成等差数列.

Q/c行

(2)因为cos5=一,8为三角形内角，所以sin3=，1一cos?3=、一，

1616

因为川=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB,又a+c=2Z?=l(),

,,9

所以52=l()2—2ac—2ac•一,解得ac=24,

16

所以S=Lacsin6=Lx24x^=^^,

22164

所以△MC的面积为土夕.

4

n7T

18.(2021•四川广元高三第二次调研)已知直角△A6C,NA=—,ZC=-,AB=2,

26

D,E分别为AC,8C的中点，将△(以沿折起至△产国,使点P到直线的

距离为

试卷第10页，总16页

（1）求证：平面平面ABED;

（2）求二面角A-依—£的大小.

77JT

【解析】（1）由题意可知,RtZ\A3c中，NA=—，Z-C——，AJ3=2,

AC==一=26BC=-^—=4

所以，71

tan—sin—

66

又D,E分别为AC，BC的中点，则AD=CD=6，BE=CE=2.

将△CDE沿£）E折起至△PDE后，=（、'）+（"'）'

即P*=AD?+PC?，所以ADJ_PD

因为C£），£>E,即PD_L£>E，又ADcDE=D，所以PD上平面ABED.

因为PDu平面PAD，所以平面B4T>_L平面ABED.

（2）由（1）可知，PD,DA,两两垂直，故以。为坐标原点，以D4,DE，DP

A（6,o,o）,5（73,2,0）,P（0,0,句,£（0,1,0）,

则丽=（0,2,0）,而=（6,2,-石），PE=（0,1,-73）.

设平面APB的法向量为“=（X]，x，zJ,则〈一「1-

、"[PBu=V3%,+2yx-=0,

令玉=1,则Z1=1,即〃=（1,0,1）.

-..PEv=y2-上z2=0,

设平面P3E的法向量为v=（左,%/,），则〈一；厂

'[PBv=V3X2+2y2->J3Z2=0.

令Z2=l,则为=有，无2=-1，即丫=（一1,6,1）.

兀

即二面角A-PB—E为一.

2

19.(2021•甘肃省民乐县第一中学高三段考)一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球,

分别标有不同的数字2,3,4,x,现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字

之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验.记A事件为“数字之和为7”.试验数

据如下表：

摸球总次数1020306090120180240330450

“和为7”出现的频数19142426375882109150

“和为7”出现的频率0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33

(然幽0.33

(1)如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附

近.试估计”出现数字之和为7”的概率，并求x的值；

(2)在(1)的条件下，设定一种游戏规则：每次摸2球，若数字和为7,则可获得奖金7

元，否则需交5元.某人摸球3次，设其获利金额为随机变量〃元，求〃的数学期望和方差.

【解析】(1)由数据表可知，当试验次数增加时，频率稳定在0.33附近，所以可以估计“出

现数字之和为7”的概率为1,

3

12

・・・］(4)=鼻=衣，・・・A事件包含两种结果,则有3+4=2+x=7,尤=5,

J4

(2)设J表示3次摸球中A事件发生的次数，则J〜8(3.；),EJ=3x；=|,

I22

£><5=3x-x-=±,

333

则〃=7J_5(3_g)=12f_15,

£〃=£。24-15)=12塔-15=-3

D&=0(12^-15)=1440^=96.

20.20.(2021•天津耀华中学高三二模)已知函数"X)=x—alnx,g(x)=-(，(。e?-

(1)若L=l,求函数/(X)的极值；

(2)设函数妆x)=f(x)-g(x),求函数〃(x)的单调区间；

(3)若在［l,e］上存在瓦，使得/(/)<g(Xo)成立，求"的取值范围.

【解析】(1)若a=1,/(x)=x-lnx,

试卷第12页，总16页

f'(x\=1--=—-,x>0,

xx

/4弓>0得兀>1,/«@<0得0<》<1,

所以〃x)在(0,1)递减，在(1,+?)递增，

所以/(x)在x=l处取得极小值1,无极大值；

(2)/z(x)=/(x)-g(x)=x-6?lnx++a

g)=l，_*=x2s；(l+叽(川乂=(1+吸”〉0

XXXX

〃'(x)的正负情况与x-(l+«)的正负情况一致，

当a>-l时，〃'(x)<0得(0,1+a),/z'(x)>0得(l+a,+oo),

/z(x)在(0,1+a)上单调递减，在(l+a,+8)上单调递增；

当a<T时，x-(l+«)>0,〃'(x)>0,〃(x)在(0,+?)上单调递增.

(3)在［l,e］上存在一点飞,使得/(Xo)<g(x。)成立，即在［l,e］上存在一点X。，使得

〃(玉))<0,即函数在［l,e］上的最小值小于零.

由(2)可知：

®l+a>e,即aNe-1时,〃(x)在［l,e］上单调递减；所以〃(x)的最小值为〃(e),由

〃(6)<0可得土二，因为上士>>”1,所以。>土二；

e-1e-1e-1

②1+aVl,即a40时,/i(x)在［l,e］上单调递增，所以网力最小值为现)，由〃⑴<0

可得a<—2；

③当l<l+a<e,即0<a<e-l时，可得力(九)最小值为/z(l+a),因为0<ln(l+a)<l,

所以，0<aln(l+a)<a,故〃(l+a)=2+a-aln(l+a)>2,此时，〃(l+a)<0不成

立，

综上讨论可得所求。的范围是：。>”出或。<一2.

e-1

22

21.(2021•广东东莞市高三摸底模拟)已知椭圆方程为二+匕=1(()<力<4)，抛物线

6b

方程为/=4hy.过抛物线的焦点作尸轴的垂线，与抛物线在第一象限的交点为力，抛物

线在点,4处的切线经过椭圆的右焦点F.

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设尸为椭圆上的动点，由尸向X轴作垂线P。，垂足为。，且直线/>。上一点M满

足/?。|=2|时。|,求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

【解析】（1）抛物线的焦点为（0力），过抛物线的焦点垂直于y轴的直线为），=从

—=4hv

由,".得点力的坐标为Qb,b）.....................2分

y=6

由1=4勿得y=Lx2，，/=±x，故"Il产L

4。lb

...抛物线在点力的切线方程为），-/>=X-2力，即x-y-/>=0.........4分

令y=0得x=力，，椭圆的右焦点F的坐标为（b,0）........5分

又由椭圆方程及0<h<4知，右焦点F的坐标为（J6-6,0）.........6分

,6-b=h'解得b=2.....................7分

椭圆方程为E+ii=i，抛物线方程为/=81，................8分

62'

（2）设点尸的坐标为（.%,为），点A■/的坐标为（x,j），则点。的坐标为（.v,0）,

且x0=x,J。=±勿.由己知知为>0.....................10分

x2y1

将其代入椭圆方程得不+5-=1.....................11分

当人=立，即6=捻时，点M的轨迹方程为x2+y2=6,其轨迹是以原点为圆心，半

径为新的圆；....................12分

j—X*y2

当0<'<立，即6<2■时，点用的轨迹方程为不+方-=1,其轨迹是焦点在y轴上

32万

的椭圆