2022-2023学年云南省昆明市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年云南省昆明市成考专升本高

等数学一自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（50题）

1.下列反常积分收敛的是（）。

A.J严xdx

B.ji+^x2dx

ridx

C.1"

D.J,工

..■）.

Z0.（h

A.A.

B.3>hn

c.

D.‘

3.平衡积分卡控制是（）首创的。

A.戴明B.施乐公司C卡普兰和诺顿D.国际标准化组织

设函数/（1）=<1+2.Z,—°，在才=o连续，则A等于

4k、J=0

A.e2B.e2C.lD.O

5.设函数f(x)在区间［0,1］上可导，且f(x)>0,则()

A.f(D>f(0)B.f(D<f(0)C.f(l)=f(O)D.f(l)与f(0)的值不能比较

若士心收敛,则下面命脑正确的是

"i

A.lim〃.可能不存在

B.[Qi%必定不存在

C.iim%存住,但lim4WO

Illim«w=O

才一•

7，。』也等于（）.

A.2(e:-I)

C.-2(e':-I)

D.-r(e:■!)

8.

级数三（-1）23（a为大于零的常数）

"**n5

A.绝对收敛B.条件收敛

C.发散D.收敛性与a有关

sin.

x#0

/(X)=,X2'

9.设函数〃，=°；在*=0处连续，则等于（）。

A.2B.l/2C.lD.-2

10.设y=3+sinx,贝(jy=()

A.-cosxB.cosxC.l-cosxD.l+cosx

11.

设£(-1)"-&满足%>0,”=I,2,•••»且lima“=0,则该级数

n-l

A.必条件收敛

B.必绝对收敛

C.必发散

D.收敛但可能为条件收敛，也可能为绝对收敛

12.()

A.A.条件收敛

B.绝对收敛

C.发散

D.收敛性与k有关

对产微分方程s"+2»'Jv-b.利用待定系数法求其特解y•时,其形式可以设为

A.y*—A.rer

Ry・=--Ae,

(、・)，♦・：(/IJ-4li*

13.

f(2)-/(2-/t)_

设f(x)在点x=2处可导，且了'(2)=1,则lim

A—2h

B.2

C

14.1D.-1

15.单位长度扭转角0与下列哪项无关()。

A.杆的长度B.扭矩C.材料性质D.截面几何性质

函数/(n)在点xo处有定义是limfCz)存在的

16.a，。

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.以上都不对

设y=eG,则y'(O)=

设八/)=3］；］)则当工-1时

A.f(x)是比g&)高阶的无穷小

B.f(x)是比g(x)低阶的无穷小

C.f(x)与g(x)为同阶无穷小

18.D.f(x)与g(x)为等阶无穷小

19.下列说法中不能提高梁的抗弯刚度的是()。

A.增大梁的弯度B.增加梁的支座C.提高梁的强度D.增大单位面积的

抗弯截面系数

20.设丫=0)§4乂，则dy=()o

A4sin4xdx

B.:ii4\di

sm4xdx

c.

—sin4%dx

D.4

设z=yx2+siny+31M，J—=

21.砂

A.A.x2+cosy

B.x2-cosy

C.x2+cosy+l

D.x2-cosy+l

当x-0时，x是ln(l+W)的

A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小

C.等价无穷小D.低阶无穷小

23.二元函数z=x3-y3+3x?+3y2-9x的极小值点为0

A.(l,0)B.(l,2)C.(-3,0)D.(-3,2)

仪/■(X)』L"X+3KO在点x=0处连续,则加

24.。(=0(

A.3B.2C.lD.O

D.0

26.

对于任意两个事件A和B,下面结论正确的是()

A.若ABH0,则事件A、B一定独立B.若ABW0,则A、B可能独立

C.若AB=0,则A、B一定独立D.若AB=0,则A、B一定不独立

27.

直线/与工轴平行，且与曲线》=工一/相切，则切点的坐标是

A.(l,l)B(-l,l)

C.(0,-1)D.(0,1)

28.设Inx是f(x)的一个原函数，则r(x)=()o

X

X

29.设函数y=f(x)二阶可导，且f(x)<0,f(x)<0,又△y=f(x+Z\x)-f(x),

dy=f(x)Ax,则当△xX)时，有()

A.Ay>dy>0

B.A<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<Ay<0

30.方程2xZy2=l表示的二次曲面是()o

A.球面B.柱面C.旋转抛物面D.圆锥面

设。={(JGy)^x3<ij.则jjdxdy=

31.cO。

A.27rB.nC.n/2D.n/4

32.

设f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导,且f(o)=f⑴,则在9,1)内曲线产f(x)

的所有切线中

A.至少有一条平行于x轴

B.至少有一条平行于y轴

C.没有一条平行于x轴

D.可能有一条平行于y轴

设2=历(丁3+y'),则dz।=

33.!*«­'>A.dx+dy

J(dz十dy)

15.0

(dj-4-d.y)

C^.

D.2(dx+dy)

34.当X—>0时，2x+x2是x的

A.A.等价无穷小B.较低阶无穷小C.较高阶无穷小D.同阶但不等价的

无穷小

35.点(-1,-2,-5)关于yOz平面的对称点是()

A.(-l,2,-5)2,5)C.(l,2,5)D.(l,-2,-5)

36.设KM-3集唔等于()

A.2x+1B.2xy+1C.x2+1D.2xy

37.函数z=x2-xy+y2+9x-6y+20有()

A.极大值f(4,1)=63B.极大值f(0,0)=20C.极大值f(-4,1)=1D.极小值

f(-4,1)=-1

38』仅若"严=()o

A-cos£+1十c

—士cos[+,十C

Bn.**

C・-rsin；+1+C

D/sin/工4c

39.曲线一八沁J

A.仅有水平渐近线

B.既有水平渐近线，又有铅直渐近线

C.仅有铅直渐近线

D.既无水平渐近线，又无铅直渐近线

40.下列关系式正确的是()

［二d*-0

A.A.J-I.r'

4k=0

B.J-i*

!

sinx5d.r=0

C.-i

sinX4d.r=0

41.函数y=f(x)在(a,b)内二阶可导，且F(x)>0,f"(x)<0,则曲线y=f(x)

在(a,b)内().

A.单调增加且为凹B.单调增加且为凸C.单调减少且为凹D.单调减少

且为凸

42.

设f(z)为连续函数，则(["力&)'为

A.fG)B./(0-f(a)

C./(x)D./(x)—/(a)

设函数/(x)与g(x)均在(a,b)可导，且满足fXx)<gXx),贝Uf(x)与g(x)的关系是

A.必有/(x)>g(x)B.必有ya)<g(x)

C.必有〃x)=g(x)D.不能确定大小

f(x)在点a有定义是limf(x)存在的

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C,充分必要条件D.无关条件

45.方程x2+2y2+3z2=l表示的二次曲面是

A.圆锥面B.旋转抛物面C.球面D.椭球面

46.设f(x)为区间［a,b］上的连续函数，则曲线y=f(x)与直线x=a,

x=b,y=0所围成的封闭图形的面积为()。

J/（久）dx

A.

B.")祖

|/（久）d夕

C.

D.不能确定

议/(%)=卜'-21+3*0在点x=o处连续，则g

47ax=0

A.3B.2C.lD.O

lim(l+—)x=

48.18xA.e

B.e-1

DU*

49.

下列命题中正确的为

A.若x0为f(x)的极值点，贝1J必有

B.若广(%)=0,则点/必为f(x)的极值点

C.若“外在(a,b)内有极大值，也有极小值，则极大值必定大于极小值

D.若f(x)在点％处可导，且点力为/(x)的极值点，则必有/1［%)=()

50.

设尸5*,则y'=

A.5XIn5B-h

C.X5，TD.5x\nx

二、填空题（20题）

51.函数y=cosx在［0,2m上满足罗尔定理，则自=.

52..；；廿万程、’=o的通解为•

x-1_y_z+3

53.过点M0（l,-2,0）且与直线3--1-1垂直的平面方程为

,1.

jrsinI十。，z<0,

设/（了）=«1,x=0.在x=0处连续，则a

（1-7）-

x>0

54.e

55.设>=<tanx）"，则y'=

56.

将积分1=改变积分顺序，则I=

57.交换二重积分次序J（）idxJx2xf（x,y）dy=

58.y'=x的通解为

设2=/,贝11生=

59.未

60.以y=Ger+C?e，为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为

61.设y=e3x知，贝()y[

62.

二阶常系数齐次线性方程r=o的通解为

63.y=lnx,则dy=

64设尸，则y'=

1+x

65.

函数/(x)=e:在处间断.

66刖

lim±^

67.Ix+2

68.

极限limQ+旦止+"=_______.

JC

设/(x)为连续函数，=/(1)=1,则lim/G)二1=______

11X-1

70.

设“4小，唬+暴--------■

三、计算题（20题）

7］计算jairsinxdx.

1,

72.求曲线、=了+2在点（1,3）处的切线方程.

73.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点（1,1）处的切线1的

方程.

74.求-阶线性微分方程满足初始条件yl..1=0的特解.

75.当x—0时f（x）与sin2x是等价无穷小量，则

76.研究级数二的收敛性（即何时绝对收敛，何时条件收敛，何

时发散，其中常数a>0.

求两级数的收敛区间(不考虑端点).

77.

78.求函数f(x)=x3-3x+l的单调区间和极值.

79.计算(几

80.已知某商品市场需求规律为Q=100e°25P,当p=10时，若价格上涨

1%,需求量增(减)百分之几？

81.求微分方程丫"+3/+2丫=。的通解.

82.计算［中也

83.将f(x)=e-2X展开为x的基级数.

84.设抛物线Y=Lx2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的

平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所

示).设梯形上底CD长为2x,面积为

S(x).

(1)写出S(x)的表达式;

(2)求S(x)的最大值.

图2-1

85.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为lWx2+y2W4,x>0,y>0,

其面密度

u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.

86设？=«.>)是由方程所确定的隐函数.求*

87.证明：当x>l时.x>l+lnx.

88.

设区域D为：/+V44万》0，计算JJ，nz+ydxd»

89.求函数/(，)='-=一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.

90.求微分方程y”-4y，+4y=e-2x的通解.

四、解答题(10题)

91.

求曲线y=x2、直线y=2-x与x轴所围成的平面图形的面积A

及该图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为.

92.计算上心

93.求由方程确定的y一乂工）的导数黄

911

判定级数二，-1'—的收敛性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.

94.工W+n

95.

...1-C0SX

求hm---------・

“3xsinx

设函数z（z,数由方程F（z+三,y+/）=0所确定,

证明：%空"十^3z_

96.会dy

求极限lim

XT9

97.

98.

设Z是由e^z+xz-y=0确定的隐函数，求和品言

计算JjJx?+y2(lrdy,其中£)={(x.y)|1W/+/W4}.

99.D

设丫=向|«・求y'.

100.

五、高等数学（0题）

101.

>“g=，，则f（x）=。

六、解答题（0题）

X2-4

lim---.

102.求-2

参考答案

1.D

12F

A,fi+ooxdx==1=8发散；

l-

工&=枭3I=8发散；

i4-00

rydr=ln|x|]=8发散；

D.Lpdr=~~|=0+1=1收敛.故选D.

r（

2.D

本题考查的知识点为偏导数的计算.

2=rJ,

是关于y的寨函数，因此

故应选D.

3.C

4.A

由lim+2工=lim(1+2x)r=lim(1+2x)b'2=e2,

.t*0r-*0

又因/(0)=A・/(Z)在工=0处连续.故A=c2.

5.A由f”(x)>0说明f(x)在［0,1］上是增函数，因为1>0,所以f(l)>

f(0)o故选A。

6.D

7.D

本题考查的知识点为牛顿―莱布尼茨公式和定积分的换元法。

Je2*<lx=—Jcfc'd(-2.r)

因此选D。

8.A解析：

级数£(-1广'9，

“In2

㈠丁吟,£=为〃的o级数，因此为收敛级数，由级数性质可知££

收敛，故乞(-1尸彳绝对收敛，应选A.

”17

9.C

本题考查的知识点为函数连续性的概念。

liin/(x)=lim=lim—7=1,

x—0x->03jr—*0

由于/(0)=«»

lin)/(x)=/(O)

f(x)在点x=0连续，因此「o'，故a=L应选C。

10.B

n.D解析

级数是交错级数，由题设条件可知其收敛.如L条件收敛

an

31

£(-1)1W•绝对收敛，因此选D.

In

12.A

13.B

〔解析1由于f'(2)=1,贝IJ

一/(2)7(2-%)=]"(2-)-〃2)」.八2)，

…2h人--h222

14.C因此选U

15.A

16.D本题考查了判断函数极限的存在性的知识点.

极限是否存在与函数在该点有无定义无关.

［解析］y'=e2*=e=--e2"因此y，(0)=-3.

17.AIJ''

18.C

19.A

20.B

(解析］由fy=cos4x.IMlity=(cos4x)-sin4.r(40'="4sin4x.

dy==-4sin4xdx.故选B.

21.A

z="+siny+3,求生时，只需将x认定为常量，因此理

故选A.

dyay

22.D

［解析］lim-X*,.==—=«>.

ioIn(1+x)x工5x

根据无穷小阶的比较的定义可知，当XT0时，x是ln(l+f)的低阶无穷小,因此选D.

于是会=3x2+61一9•

十=0•碧=-6丁+6,

dxdydy

=0,

仔驻点(一3,0).(—3,2).(1,0),(1,2)・

对于点(-3,0),A=-18+6=-12,B=0,C=6,B2-AC=72>0,故此点为

非极值点.

对于点(-3,2),A=-12,B=0,C=-12+6=-6,B2-AC=-72<0,故此点为

极大值点.

对于点(1,0),A=12,B=0,C=6,B2-AC=-72<0,故此点为极小值

点.

对于点(1,2),A=12=0,C=-6,B2-AC=72>0,故此点为非极值点.

24.A

［解析］由于1加/(力=1而(--2*+3)=3・又知/(x)在点r=0处连续，

i-*O

的此limf(x)=/(0)=a,可知a=3.故选A.

I解析I当XT8时，sinx不存在极限，但它为有界变景，而,为无穷小盘，

X

由“有界变量与无穷小盘之积为无穷小量”的性质可知选D.

这个题表明：既要注意JE要极限的形式，又要注意其条件.

26.B

27.C

28.C

［解析］由原函数概念，Inx是/(x)的个原函数时，有/(x)=(hu)

r(x)«f£-±.

29.B

30.B

31.B

由二重积分性质可知JJdxdy=5其中办积分区域。的面积.此题

D

区域为半径等Fl的阴，其面积KQ2=n.故选B.

32.A

生_3r'dz_3』

d.rj3+y3'dy1+y?.

Vdz=3.r：d‘r3)，'dy,加=春(&r+dy).

另解如下：

由一阶微分形式不变性得dz=；---~r(3j2d,r+3y2d51)♦

所以ck=—(dr+dy).

33.C”・n/

34.D

2r+x2

lim---------=lim(2+x)=2・

i-#0Xi-tO

35.D关于yOz平面对称的两点的横坐标互为相反数，故选D。

36.B【解析】求去将丫认作常数，可得警=2町+1•因此选&

/-Q+K9L6y+20.于磅=25.y+噎=r+216.

令空=°'F=°，得融点（一4.1）.又因3=2.率=_],安=2.

已工中，dJr-d-rdydy-

故对于点（一4.1）・4=2・8=-1.。=2・宙一人。二-3VO,

37.D且A>0♦因此？=/（.r.j）在点（-4.1）处取得极小值,且极小值为/（-4.1）

38.D

sin：-+1)业=(sin:1Jr<-

39.A

40.C

本题考查的知识点为定积分的对称性.

；fsinxsdx=0

由于swx5在卜i,i］上为连续的奇函数，因此,可知应选c.

Isinx4dx=2Isinx4dx>0.

sinx」为偶函数，且当OVxVl时，sinx4>0.因此」-I可知D不正确.

1］0=8

应该指出，尤在x=0处没有定义，且，一。广，因此不满足定积分的对称性质.

产8

Ix3dx

相仿J-8为无穷区间上的广义积分，也不满足定积分的对称性质.

41.B解析:本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和

利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性.

由于在(a,b)内F(x)>0,可知f(x)在(a,b)内单调增加，又由于f"(x)<

0,可知曲线y=f(x)在(a,b)内为凹，可知应选B.

42.C

［解析］由知，在(a,6)内，g(x)的变化率大于的变化率，

由于没有g(a)与/(a)的已知条件，无法判明了(X)与g(x)的关系.

44.D解析：

lim/(x)是f(方在点看的去心邻域g-乱㈤U(x0,好㈤内的概念，

与六处在点与处是否有定义无关.

45.D

本题考查了二次曲面的知识点。

可将原方程化为7+干+早=1,所以原方程表示的是椭球面.

~2T

46.B

本题考查的知识点为定积分的几何意义。

由定积分的几何意义可知应选Bo

常见的错误是选C。如果画个草图，则可以避免这类错误。

47.A

由于lim/(x)=lim(/-2x+3)=3,又知/(x)在点D处连续.

*-»0

因此lim/(x)=/(0)=a,可知。=3,故选A.

48.C

49.D

[解析J由极值的必要条件知D正确.[/、/***)

y=lxl在x=0处取得极值，但不可导，知A不个/：

-------------'-----------1--------------

正确.*x,

y=/在4=0处导数为0,但5=0不为它的极值

点，可知B不正确.

如右图所示，玉为函数y=f(x)的极大值点，x?为/'(x)的极小值点，且了(*2)>/(玉),

可知C不正确.

因此选D.

50.A解析：

由导致公式可知(5')'=5,ln5,故选A.

cos2n-cosO=y•(2jr—0),即0=—sin$•2"，所以sin$=0,故f=n.

51.71y

52.

J=

军法指导：本题芍代的知识点为微分方程通解的慨念•

一什方程为/=o.

dy-0,y=C.

53.3(x-l)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5)

本题考查的知识点为平面与直线的方程.

由题设条件可知应该利用点法式方程来确定所求平面方程.

所给直线1的方向向量S=(3,-1,1).若所求平面7T垂直于直线1,则

平面兀的法向量n〃s,不妨取n=s=(3,-1,1).则由平面的点法式方

程可知

3(x-l)-[y-(-2)]+(z-0)=0,

即3(x-l)-(y+2)+z=0

为所求平面方程.

或写为3x-y+z-5=0.

上述两个结果都正确，前者3(x-l)-(y+2)z=0称为平面的点法式方程,

而后者3x-y+z-5=0称为平面的一般式方程.

lim=lim(jsin—+a)=a.lim/(x)=lim"=]，

——'J*/*.A

.r*0J-Ur-O0'v

541又/(0)=1，所以/(外在彳=°连续应有。=I.

55.

2

x、▲/secx1i\

(tanr))(---------Intanx)

\xtarwxf

12.

iII----•secx•JC-Intanr

y=(tanx)7♦则lnj=—intarir.所以一yf=---------------------

工y工.

,xsec2x-tarkrlntanx、j_rsec21-tanj-lntan-r

y=y---------=-----------=z(tan-r)z

工“tanrx2tanr

=(tanx)x(---ylntanx

\xtanjrx1/

注：本题另解如下：

y=[(tanr)-7J={9=(eV1"™1/=(tyinuar.(Intam),

x——•sec2x-Intanx

=(tanr)i，~~5----------

=(tanx)+(*乎d—A-lntanx).

\xtanj-xz/

56.

*2”「4C2

d»/(i,»)cLr+dyf(

J0Jy/2J2Jy/2

本题考查了改变积分顺序的知识点O

由I=J^dxJf(x,y)dyjj/(x,y)dxdy,则D={(x»>)|04z&2»x(«y42x]，。还可有

另一种衰示方法,D={(x,y)|04342,戈4145U{(1~)|24》&4,出《工42),所以I

£dyf(I,y)dz+J2dq申/(x.y)cLr.

57.因为Ndx/fa，y)dy,所以其区域如图所示，所

以先对,的积分为盛・

58.

尹C

本题考查的知识点为：求解可分离变量的微分方程.

,y=[xd.r=3—+C.

由于y'=x,可知‘J2

求”时，认定为的嘉函数，小=>”

［解析］zX

dxax

59.

.

y0

61.3e3x

62.

y=G+CM

y=G+CM

y"=Q,特征方程为J=0,特征根为n=0(二重根)，于是

解析：二阶常系数齐次线性方程的通解为y=G+Qx.

63.(l/x)dx

64.

xex

(1+x)2

本题考查的知识点为函数商的求导运算.

考生只需熟记导数运算的法则

/IZ\_

I"V2

可知/-(e<\'=(e')'(1+*)-e，(1+戈)

'1+X/(1+x)2

xex

=n+x)r

本题中有些考生还不会运用求导法则，误以为

e，,(e')'

y=---,y=------=ex

因此出现1+工(1+*)'的错误.

这是由于考生没掌握基本知识才出现的错误.

65.

66.

本题考查的知识点为重要极限公式.

67.7/5

68.eab

69.1

70.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数.

由于z=可知

Y=2">‘♦3.=2x2y.

dxdy

因此二+”=2xy2+3+2x27.

dXdv

71.

设u=arcsin=1,则

arcsinxdx=xarcsinx-idx

=zarcsinx+；/(1-x2)-Td(1"x2]

=xarcsinx+>/T-x+C.

72.曲线方程为'=3+2,点(i,3)在曲线上.

>=->,).「-2,因此所求曲线方程为-3=_2(1),或写为2x+y-5=0.

如果函数y=f(x)在点xO处的导数0(x0)存在，贝!|表明曲线y=f(x)在点

(xO,fxO))处存在切线，且切线的斜率为f，(xO).切线方程为

r(/)=/'(/)(x-x)

如果/'(%)射0,则曲线y=/(外在点(1。/(%))处的法线方程为

(«-X).

—忐0

如果/''(xC=0.则v=〃xQ为曲线v=Ax)在点(X..处的水平切线.

73.

y=x-ln工的定义域为(0,+8),y'=1-；.

当x=l时,y'=0;当x>l时,y'>0,函数)川-lnx单调增加.

当0<x<l时,y'<0,函数y=x-lnx单调减少.

曲线):x-lnx在点(1.1)处的切线方程为y-1=0,

74.由一阶线性微分方程通解公式有

y=e+”>"g(x)eidx+C)

=户(卜仲&+C)

-e'"<(,e'1"'d.*+C)=x(jx•--d*♦cj=*(x+C),

将»-I...=0代人上式.可得C=-l,因此所求特解为r=*2-x.

75.由等价无穷小量的定义可知触L

76.

【解析】记”.=(-1尸口,则iu」=士,从而知y।u.।=y上为户级数，且

nn片门彳力n

当a>l时，V2收敛，因此f(-l)"T二绝对收敛.

•»1nn

当0<aWl时，£上发散.注意到此时£(-1尸一'/为交错级数，

II=—>------------=Iu

*/»•(n+1)-

limIunI=lim—=0,

£(-□"‘/收敛’故此时条件收敛

由莱布尼茨定理可知当0<aWl时

解:

77.

由23Vl可解得11

得3

故所给级数收敛区间为

78.函数的定义域为

2

(-00,+«)./'(X)=3X-3.

令/''6)=().得驻点加=・1,扁=1.列裘得

X(-*.-!)-1(-1.1)1(1.**)

广30-0

/(-n«3/(!)«-1

Z

为极大(ft为极小值

函数/（x）的单调增区间为（-8+«）.

函数/（X）的小调减区间为［-1,1］.

〃-1）=3为机大值/（1）=-1为极小侑.

注意

如果洛（-8.-1］写成（-8.-1）,将「［.+8）写成（I.+8）.爵f-l.ll写成（-1J）也让

79.

【解析】令，=77.则x=/，dx=2tdt.当x=0时,，=0；当x=1时」=I

J^dx=J2te'dt

=2(re[:-j/dr)=2(e-e[：)=2.

__lOOe0^.<-0.25)

P!OOeoss*-=0.25/>

80.需求规律为Q=100ep225p川。)2.5・•.当P=10时

价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep225P,

2）-P”号苏△&=0-25/

（10）--2.5

?...当P=10时，价格上涨1%需求量减少

2.5%

81.

｛解析】特征方程为r'+3r+2=0.

特征根r,=-2,r2="l.

方程的通解为y=C,e口♦J二

82.

|l±Jl!_?dx=jldx+

=Inx+JInxdlnx=Inx***—(Inx)2+C,

或11+.।+In%)dlnx=p1Inx)d(1+Inx)

=y(l4In*)2+C.

83.

【解析)由于e'=y・(-8<x<+8).可得

«*—•»0n1•

3(-2x)"：(-1)2//_______>

e=>=>--------------(-8<x<48)

J/i!£n!

84.

由F"T'解得X=±1,则A、8两点坐标分别为

和8(1.0),48=2.

(1)S(x)=y(2+2x)(l-x2)=(l+x)(l-*2).

(2)5'(工)=-3--2工+1.令5'(*)=0,即(3彳-1)(»1)=0,得航=",蜘=-1(舍去).

S*(x)|1=(-6x-2)I广-4<0,则S(g)崂为极大值.根据实际问题,S旁为最大值

85.由二重积分物理意义知

m=卜(x,y)d(r=J(x2+y1)dxdy=Jdflj/dr-

86.

利用隐函数求偏导数公式，记

f(x.v.s)=x1+yi-e',

则

F>2x,F：=-ef

dzF：2x

—二—-----.

dxF：/

87.

设/(x)=*・”lnx,则/(工)的定义域为(0.48).

/*(*)=I"—.

令yJO得x=l.

当X>l时，(M)=l-y>0.可知/(x)单调增加.

由于〃l)=o,可知当X>l时J(x)»■⑴=0,从而x-l-lnx>o,即

I-4-Inr.

88.

解利用极坐标，区域D可以表示为

j^x2+y2dxdy=|dO^r^dr

=J：R：曲

8

7苧=

解利用极坐标，区域D可以表示为

0<^<7t,0<r<2,

042+「dxdy=|曲jr2dr

=£PI>

=J：I■出=F-

89.

f(x)的定义域为(-8,0)U(0,+8).

/'(*)=2/4O=2-4

Tr

令/'(M)=0得X=-1；令"(x)=0.得x=：2

列表:

X(-B.-1)-1(-1.0)0(。⑶（处+8）

f

y-0..

y-♦-0

/（-D=3拐点

y\uZu没定义ZnZu

为极小值（苏.0）

函数/（X）的单调减少区间为（-8,-l）；单调增加区间为（-1.0）u（0.+8）；极小值为

/（-D=3.

曲线y=f（x）的凹区间为（-8.0）。（苏.+8）:凸区间为（0.公）：拐点为（公.0）.

说明

由于，（工）在点工=0处没有定义.因此，（口的单调增加区间为（-1.0）。（0.+8）.不

能写为（0.+8）!

90.解：原方程对应的齐次方程为yn-4y'+4y=0,

特征方程及特征根为，-4r+4=0,n.j=2,

I

齐次方程的通解为r=(Cl+C,)e*.

在自由项/(x)=e，中,a=-2不是特征根，所以设/=代入原方程,有

故原方程通解为y=(G+G)e”+土e.

16

91.

解平面图形见右图

A=J：(2-x)dx=；N+(

=押4-2)一(2一册

y=2T

4可另求如下：由y=f,有x=6；由y=2-x,有x=2-y,故

22fl'125

A=J：(2-y-Q)dy=2y--,

23J。236

z可：(2-y)2d(22

匕='兀(2-y)dy-j'onydy=--y)~y

ZIo

3--八冗7九兀11

=--j(2->)y=--^U5)——==7■加•

2326

解平面图形见右图2月k"

A=J：x&+J：Q-x)dx=，3+(

=丑(4-2)-(2-外右

A可另求如下：由y=f,有x=6；由y=2-x,有x=2-y,故

22H'125

A=J：(2-y-W)dy=2y--,

23J。236

匕=J%(2_y)?dy_J：咖y=_冗J：(2-y)2d(2-y)-9?

LIo

八元7孔兀11

=--j(2-y)3-y=-yC-5)——=---x=—.

2326

92.

fdx=[dinx=]

nInx+C.

)xlnxJInx

本题考查的知识点为不定积分的换元积分运算.

|)(lnx)—dx

注意J分，通常弓I入变换t=lnx.

(市=—dx.

本例求J"E"，可以令81nx,则％

f1,fdt.„

—：----d久=——=Ini+C

JxlnxJt

=lnInx+C.

也可以不写出新变元，利用凑微分法计算：

本题中出现的主要问题是不定积分运算丢掉任意常数c.

93.

将所给方程两端关于X求导

/y'+cosj-2=0

一手

解：/=—----满足⑴葭x>（H）lim^