2022-2023学年九年级数学专家点拨-弧长和扇形

状元必读专家点拨

状元必读［明确直点号注重难篇］

一、考点突破

弧长和扇形这部分内容是近几年中考的热点，分值一般在5〜8分，多以选择题、填空

题的形式出现，有时也在综合性较强的大题中有所体现。在各类试题中，主要考查以下几方

面：（1）灵活应用弧长的计算公式解决有关的问题；（2）运用扇形面积公式进行有关计算;

（3）求圆锥的侧面积和表面积；（4）组合图形的面积计算。

二、重难点提示

重点：弧长和扇形面积的计算。

难点：圆锥的侧面积和全面积的计算。

专家.点拨［特惠级/家做力打宣］

一、弧长的计算公式

1.弧长公式：如果弧长为/,圆心角度数为〃，圆的半径为，那么弧长的计算公式为

rmr

Tso

2.注意：（1）在运用公式计算时，〃。和180。都不再写单位。

（2）题目中没有给出精确度，弧长一定用“兀”表示。

（3）在弧长公式中，已知/,”，r中的任意两个都可以求出第三个量。

（4）若圆心角的单位不全是度（如：30°1530"）,一定要先化为“度”，然后再用公式计

算。

二、扇形的面积计算公式

1.扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。

2.扇形的面积：如果设圆心角是“。的扇形面积为5,圆的半径为r,那么扇形的面积计

算公式为s==。

360

2

nitr~

3.当已知半径和圆心角的度数求扇形面积时，选用公式5=——；当已知半径和弧长求

360

扇形面积时，选用公式5='＞。

2

三、弓形面积的计算

1.定义：一条弧与它所对的弦所组成的图形叫弓形。

弧中点到弦的距离叫弓形的高。

2.弓形面积=扇形面积土三角形的面积

四、圆锥的侧面积和全面积

1.圆锥的定义：一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的几何体叫圆锥。

如图：直角边AC叫圆锥的高。

直角边BC叫圆锥的底面圆半径。斜边AB叫圆锥的母线。

显然：圆锥的高，底面圆半径和圆锥的母线满足勾股定理。

2.它的侧面展开图是一个扇形，如图：

其中，扇形的半径是圆锥的母线。

扇形的弧长是圆锥的底面圆周长。

由于扇形面积=L/R（其中/表示扇形的弧长，R表示扇形的半径）

2

所以圆锥的侧面积=4“（其中r表示圆锥的底面圆半径，/表示圆锥的母线）

3.圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面圆面积。

即s圆锥全=%+s底

状元捉•信11【限空例题剖析激话解题思维】

能力提升类

例1如图，。0|和。02外切于点C,外公切线分别切两圆于A、B,若。01的半径为

3cm,。。2的半径为1cm,求阴影部分的周长。

一点通：若求阴影部分的周长，先要求公切线AB、病、叁的长，根据弧长计算公式,

我们只要知道NA0C和ZB02C的度数就可以了。

解：过6作AO的垂线，交AOi于点D。

/.OiD=2cm,OiO2=4cm,

•・・在直角三角形DO1O2中，

.,.ZDOiC=60°o

・・・NBO2c=120。

人小2

：.AC=7T,BC=-?r,AB=26

••・阴影部分的周长为《乃+2y/3）cm。

例2如图，P、Q是半圆上的三等分点，C是直径AB延长线上的一点，若AB=6,

求图中阴影部分的面积。

一点通：题图形是不规则图形，不易直接求出，所以要将其转化为与其面积相等的规则

图形，连接OP、0Q,那么所求的阴影面积就转化为求扇形面积POQ了，再根据扇形的面

积公式很容易求出阴影面积。

解：连接PO、QO、PQ

：P、Q是半圆上的三等分点，

；.PQ〃AB

・

••qa^POQ_-q

._60^-32_3

••。阴影一）扇形POO-36（）一］万

点评：在等积转化中：可根据平移、旋转或轴对称等变换图形；可根据同底（等底）同

高（等高）的三角形面积相等进行转化。

综合运用类

例3如图，圆锥的母线长是3,底面半径是1,A是底面圆周上一点，一只小虫从A

点出发，绕侧面爬行一周，再回到A点的最短的路线长是多少？

一点通：圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到4点的最短的路

线即展开得到的扇形的弧所对的弦长，可转化为求弦长的问题.

解：将圆锥沿母线SA作侧面展开图，得扇形SA4,如图所示。

设由扇形弧长等于底面圆周长，得”=2万J,

180

...“=120°,

NASA'=120°。

连接A4',过S作SMLA4'于M,

二ZASM=60。。

.•.在Rtz^ASM中，ZSAM=30°,SA=3>.

3

2

由勾股定理得AM=空，

2

/.A4,=2AM=3Go

答：小虫爬行的最短路线长是3月。

点评：正确理解圆锥的侧面展开图与原来的底面圆之间的关系是解决本题的关键，理解

圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长。

例4如图，有一直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是120。的扇形

ABC,求：

（1）被剪掉的阴影部分的面积；

（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径是多少？

一点通：（1）要求阴影部分的面积，只需求圆的面积与扇形的面积之差，因此必须先由

条件求出圆、扇形的半径；（2）由扇形的弧长即所围成的圆锥的底面圆的周长可解决此问题。

解：（1）设。为圆心，连接。4,OB,OC.

■：OA=OC^OB,AB^AC,

...AABO丝A4cO。（SSS）

又NBAC=120°,

...N8AO=NC4O=60°。

.•.AABO是等边三角形。AB

2

_当

G旃"X⑸flY

_71

­~~~•0

12

••S阴影=^xl-I--

7t

7

(2)在扇形ABC中，的长为恐乃xLJT

-0设底面圆的半径为

18023

7t

贝ij2m

6

点评：解决实际问题的解题思路是：实际问题T转化为数学问题T数学模型T数学结论

T回归实际问题T实际问题的解答。

思维拓展类

例5。。的直径A6=2的，过点A的两条弦AC=41cm，AD=，求ZC4D

所夹的圆内部分的面积。

一点通：此题可将其分为圆心在NC4O内和在NC4。外两种情况进行说明，许多同学

由于考虑不全面，容易出现漏解现象。

解：(1)当圆心在NC4O内部时：如图所示，连接OC、O。，则所求面积为

2+6+3/（而）。

^&AOC+S扇形BOC+Sg。。

412

(2)当圆心在NC4O外部时：如图所示，连接OC、OD,则所求面积为

\

2

S&4OC+S扇形cooSMOD—(cm)o

12J

点评：所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须

按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论。分类必须遵循一定的原则：

每一次分类要按照同一标准进行；不重、不漏、最简。

例6如图所示，在直角扇形A8C内，分别以A8和AC为直径作半圆，两条半圆弧

相交于点。，整个图形被分成加，S2,S3,S,四部分。请同学们思考S?与S’的关系，

并证明。

一点通：本题考查不规则图形的面积，应用转化和等号代换的思想方法解决。

解：S2和S,相等。

证明：如图所示，

连接AO并延长交弧CB于点E，则点B，D，E之间的阴影部分的面积是!§2,点

2

A，O之间的阴影部分的面积是;设以A3为半径的圆的面积为5八，A，B，D之

间的空白部分面积为5。

因为；S2=s扇形s=Es,|—s；

Z0

彳§4=S扇形mg-S=-S-S

2.oAo

所以82=64

点评：转化思想在圆中的应用主要有：化“曲面”为“平面”，化不规则图形面积的求

解为规则图形面积的求解。

状元造记【万元妙招及叼总结】

1.运用从“特殊到一般”的数学思想方法探索弧长公式和扇形面积公式，即通过对特殊角

度的圆心角所对弧长的分析，推出任意角度的圆心角所对的弧长计算公式。扇形面积公式推

导方法与弧长公式的类似。

2.公式法：在有关圆周长、圆面积、弧长、扇形面积以及圆柱、圆锥侧面积的计算中，

有一些题型可以直接由相关公式求出结果，但运用公式时要注意公式中各字母的意义，避免

混淆。

高频疑点【网员热Q问题画贬

问题：如图，圆锥的底面半径为6cm,母线长12cm,C为母线的中点，一只小虫从点

A沿圆锥的表面爬行到点C,求它的最短路程。

错解：连接AC,AB，则APA6是等边三角形，又点。是P6的中点，所以ACJ.P6,

在RzAPAC中，由勾股定理得AC=6gc/?2。

错解分析：圆锥的侧面是一个曲面，而不是平面，这里错误地把它当作一个平面，应该

先把侧面展开成一个平面，再在展开图中研究最短距离。

正解：如图，将圆锥沿母线尸A剪开并展开得到扇形PA4,点8是篇，的中点，则

ZAPB=ZAPB，

由题意知金易，的长为12万，圆锥侧面展开图的圆心角为18",即NAP4=180°,所

以NAPB=90°。连接AC,在R/APAC中，AP=12，PC=6,由勾股定理得

AC=6限cm）o即小虫爬行的最短路程为6岳cm。

状元试题［其打演练，.壬状元］

（答题时间：50分钟）

一、选择题

1.以矩形A8C。的顶点A为圆心，为半径画弧与AO的延长线相交，如图所示，若

图示两个阴影部分的面积相等，则矩形两边。与匕的比值为

2.如图所示，边长为12m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A,B,C,。处各有

一棵树，且A8=6C=CD=3加。现用长4根的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上，为了

使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）

A.A处B.B处C.C处D.D处

*3.已知MBC为直角三角形。分别以直角边AC,为直径作半圆AmC和

以AB为直径作半圆AC8,如图所示，记两个月牙形阴影部分面积之和为酬，AA6C的面

积为$2，则跖和S2的大小关系为（）

A.S1<S2B,S|=S2C.S|>S2D.不能确定

4.下图为农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚，如果不考虑塑料薄

膜接头重合及埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是

A.64万nPB.72)m2C.78^m2D.80m2

二、填空题

5.已知圆锥的底面直径为4,母线长为6,则它的侧面展开图的圆心角为0

6.已知在A4BC中，AB=6,AC=8,NA=90°,把绕直线AC旋转一周

得到一个圆锥，其表面积为M，把R/AABC绕直线A3旋转一周得到另一个圆锥，其表面

积为S2,则S,:S2等于o

7.如图所示，四边形Q45c为菱形，点8，c在以点O为圆心的会上，若。4=3,

Zl=N2，则扇形OEF的面积为______________________o

B

8.如图是一单位拟建的大门示意图，上部是一段直径为10m的圆弧形，下部是矩形

ABCD,其中AB=3.7m,BC=6m,则蠢的中点到8C的距离是

_________________mo

9.如图所示，在中，ZC=90°,AC=BC=a,分别以A，B，C为圆心,

以-AC为半径画弧，三条弧与边A3所围成的阴影部分面积为

2

10.如图所示，在半径为「的。。中，AB为直径，C为篇的中点，。为加的三分之

一分点，且品的长等于两倍的名的长；连接AD并延长交。。的切线CE于点七（C为

切点），求AE的长。

11.400m标准跑道的内圈由两段长约85.96m的直线段和两个半径为36m的半圆组成,如

图1所示。这里的“400m”路程指在内圈外侧，距内圈0.3m处一圈线路的周长，这一线路通

常称作运动员的实际“跑圈”，如图2所示靠近内圈的虚线部分。不论跑内、外圈，直道（直

线段）部分的长是相同的，而弯道（半圆）的长随着半径的增加而增加，通常一条跑道的宽

是1.25m,且规定第2至第8条跑道运动员的实际跑圈是分道线外侧0.2m处（图2所示相

应虚线部分）。

（1）求相邻两条跑道的跑圈之间弯道半径的差。

（2）为了保证各条跑道上运动员实际跑圈的路程都是400m,相邻两条跑道之间，外

侧一条跑道的起点应比内侧-条跑道的起点超前多少？第8条跑道的起点要比第1条跑道的

起点超前多少（保留3个有效数字）？

小事体现性格，细节决定命运.

f等试题答案

1.D解析：由条件易知扇形的面积与矩形的面积相等，即•1■加2=。匕，由此得0=3,

4b71

应选D。

2.B解析：如图所示，若将绳子拴在A处，则羊在草地上活动区域的面积

=—^x42+—^xl2=8.25%（加2）；

24

同样地，若将绳子拴在3处，则羊在草地上活动区域的面积=12%

若将绳子拴在C处，则羊在草地上活动区域的面积=8.25加/.

若将绳子拴在。处，则羊在草地上活动区域的面积=8加2。

3.B解析：

11,11,11,

S]=S1MBe+S半0U,"C+S半圆—S半圆ACB=S14ABe+弓乃（弓AC）+-7T（—BC）——7r{-AB）

=S+-TT（AC2+BC2-AB2）=S,应选B。

282

4.A解析：所求塑料薄膜的面积应是半个圆柱的侧面积与两个半圆面积的和。半个圆柱

的侧面积=〃*2乂30=60河L而两个半圆面积之和=〃x2?=4勿J?。所以，塑料薄膜

的面积=64%疗。

5.120°解析：由题可得4万=色竺即〃=120°。

180

6.2:3解析：如图所示，当以AC为轴旋转时，S表="?+S他，AB为底面圆半径，BC

为母线长10,则S表=36乃+60万=96万。

=80万，所以

962

S表=S底+S侧=的乃+80»=144万，所以S:52=诏=§

7.3万解析：连接OB,由OC=O3=CB和NCO3=60°,同理N」BQ4=60°,则

4400=120%又由N1=N2,则//OE=NAOC=120°,所以扇形OE尸的面积为：

炉120Q

3x万x=3乃o

360

8.4.7解析：如图所示。

作/E_LAD,并延长使/。=56。

连接。4,0D,

则点。是月D所在圆的圆心。

在R/AAOE中，AE=^AD=3m,OA=5m

OE=^O^-AE2=4m,EF=Im,FG=4.7m

4—7T