高一数学上函数模型的应用实例

3.2.2函数模型的应用实例CONTENTSPART

01学习目标PART

02问题导学PART

03题型探究PART

04达标检测1234学习目标1.能利用已知函数模型求解实际问题；2.能自建确定性函数模型解决实际问题；3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性知识点一几类已知函数模型思考指数型函数与指数函数在解析式上有什么不同？答案指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的系数为1，且没有常数项.确定一个指数函数解析式只需要一个条件；指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)指数式前的系数不一定是1，而且可能还有常数项.所以确定指数型函数通常需要3个条件.问题导学几类函数模型：函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝

反比例函数模型f(x)＝

＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝

指数型函数模型f(x)＝

对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝

ax＋b(a、b为常数，a≠0)ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)axn＋b(a，b为常数，a≠0)知识点二自建函数模型思考数据拟合时，得到的函数为什么要检验？答案因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验，调整模型或改选其他函数模型.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验；(6)用函数模型解释实际问题.类型一利用已知函数模型求解实际问题例1

某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.题型探究反思及感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解.跟踪训练1

商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款.某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？解由优惠办法①得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*).由优惠办法②得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*).当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法①应付款y1＝5×40＋60＝260元；采用优惠办法②应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6元，由于y2<y1，因此应选择优惠办法②.类型二自建确定性函数模型解决实际问题∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元.反思及感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.解设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元.由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润为1.05万元.类型三拟合函数模型例3

人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

解设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1＋

r1)＝56300，可得1951年的人口增长率r1≈0.0200.同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.0221.令y0＝55196，由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55196e0.0221t，t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55196e0.0221t(t∈N)的图象.(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

解将y＝130000代入y＝55196e0.0221t，由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.反思及感悟1.已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答.2.判断所得到的数学模型是否拟合，必须使所有数据基本接近数学模型，对于一般的应用问题，不会让数学模型完全符合，只是基本符合，对此，无最优解，只有满意解.跟踪训练3

已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？解已知人口模型为y＝y0ert，其中y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年增长率.若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y＝5e0.003t.当y＝10时，解得t≈231.所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍.(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？解由此看出，此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况.达标检测1.从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为(

)A.17 B.18 C.19 D.20C2.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(

)A.分段函数 B.二次函数C.指数函数 D.对数函数A3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(

)B.y＝(0.9576)100x

A4.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：x123…y138…下面的函数关系式中，拟合效果最好的是(

)A.y＝2x－1 B.y＝x2－1C.y＝2x－1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2D5.某同学最近5年内的学习费用y千元与时间x年的关系如图所示，可选择的模拟函数模型是(

)A.y＝ax＋b