等边三角形的性质与判定教学设计

13．3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定1．掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．(重点)2．能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．(难点)一、情境导入观察下面图形：师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？生：等边三角形．师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题．二、合作探究探究点一：等边三角形的性质【类型一】利用等边三角形的性质求角度如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．【类型二】利用等边三角形的性质证明线段相等如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM.解析：要证BM＝EM，根据等腰三角形的性质可知，证明△BDE为等腰三角形即可．证明：连接BD，∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×60°＝30°，∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形．又∵DM⊥BC，∴BM＝EM.方法总结：本题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一”的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法．【类型三】等边三角形的性质与全等三角形的综合运用△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？解析：先根据已知条件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠BQM＝∠ABC＝60°.解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABC＝∠C，,BM＝CN，))∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．探究点二：等边三角形的判定【类型一】等边三角形的判定等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．解析：先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.在△ABP与△ACQ中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠ABP＝∠ACQ，,BP＝CQ，))∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.【类型二】等边三角形的性质和判定的综合运用图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．解析：(1)由等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．(2)先求∠MCN＝60°，通过证明△ACE≌△MCF得出CE＝CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状．解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠MCN＝60°，∠ACN＝∠MCB.在△ACN和△MCB中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝MC，,∠ACN＝∠MCB，,NC＝BC，))∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.(2)△CEF是等边三角形．证明：∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.在△ACE和△MCF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAE＝∠CMF，,AC＝MC，,∠ACE＝∠FCM，))∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等边三角形．方法总结：等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件．三、板书设计等边三角形的性质和判定1．等边三角形的定义；2．等边三角形的性质；3．等边三角形的判定方法．本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质和判定．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识．在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，发展学生的自主探究能力．第2课时含30°角的直角三角形的性质1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)一、情境导入问题：1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．二、合作探究探究点：含30°角的直角三角形的性质【类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【类型二】与角平分线或垂直平分线性质的综合运用如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于()A．3B．2C．1.5D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(1,2)×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．【类型三】利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解析：由条件先证△AED≌△BED，得出∠BAD＝∠CAD＝∠B，求得∠B＝30°，即可得到CD＝eq\f(1,2)DB.解：CD＝eq\f(1,2)DB.理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BD，即CD＝eq\f(1,2)DB.方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．【类型四】利用含30°角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．解：如图所示，作BD⊥CA于D点．∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝20m，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×50×20＝500(m2)．已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要500a元．方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关