高三数学 人教A版 理科 一轮复习资料(WORD)

第一节集合的概念与运算1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表示集合的关系及运算．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且∃x0∈B，x0∉A相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集∀x，x∉∅，∅⊆A∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}1．集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.2．判断集合关系的三种方法(1)一一列举观察．(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则()A．A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2))))) B．A∩B＝∅C．A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2))))) D．A∪B＝R解析：因为B＝{x|3－2x>0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)))))，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)))))，A∪B＝{x|x<2}．故选A.答案：A2．已知集合P＝{x|x<2}，Q＝{x|x2<2}，则()A．P⊆Q B．P⊇QC．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP解析：解x2<2，得－eq\r(2)<x<eq\r(2)，∴P⊇Q.答案：B3．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,6}解析：由题意知A∪B＝{1,2,4,6}，∴(A∪B)∩C＝{1,2,4}，故选B.答案：B4．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁RA)∩B＝________.解析：因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．答案：{x|2<x<3或7≤x<10}5．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2019＝________.解析：由M＝N知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1，,log2n＝m))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝m，,log2n＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝2.))答案：－1或0考向一集合的基本概念eq\x(自主练透型)1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．6 D．9解析：当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0,1,2.故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6个元素．答案：C2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝________.解析：因为{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，则eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.答案：23．设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2<1，,3－a2≥1))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<a<3，,a≤2或a≥4，))所以1<a≤2.答案：(1,2]求解集合基本问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性.考向二集合间的基本关系eq\x(互动讲练型)(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．解析：(1)因为A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B⊆A.(2)∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.②若B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.答案：(1)D(2)(－∞，3](1)判断两集合的关系的三种常用方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．②变形：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断(如例(1))．③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(2)根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．[注意]题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论(如例(2)).[跟踪训练]1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．答案：D2．已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}．若B⊆A，则m的取值范围为________．解析：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.当m>0时，∵A＝{x|－1<x<3}．当B⊆A时，有∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≥－1，,m≤3，,－m<m.))∴0<m≤1.综上所述，m的范围为m≤1.答案：(－∞，1]考向三集合的基本运算eq\x(分层深化型)(1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(2)(2017·广东七校联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(∁UA)∩B＝()A．{x|x>2或x<0} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：(1)∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)解不等式x2－2x>0，即x(x－2)>0，得x<0或x>2，故A＝{x|x<0或x>2}．集合B是函数y＝lg(x－1)的定义域，由x－1>0，解得x>1，所以B＝{x|x>1}．易知∁UA＝{x|0≤x≤2}，所以(∁UA)∩B＝{x|0≤x≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．答案：(1)C(2)C集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集.[同类练]1．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：因为A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．答案：B2．(2017·南昌市第一次模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lgx}，集合B＝{y|y＝eq\r(x)＋1}，那么A∩(∁UB)＝()A．∅ B．(0,1]C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：由题知，A＝{x|y＝lgx}＝{x|x>0}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝eq\r(x)＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以A∩(∁UB)＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0,1)．答案：C[变式练]3．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．答案：D4．(2017·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所表示阴影部分所示的集合为()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}解析：依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因为∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．答案：D[拓展练]5．(2017·江西南昌模拟)已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m<x<5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＋n等于()A．9 B．8C．7 D．6解析：由x2－4x<0得0<x<4，所以M＝{x|0<x<4}．又因为N＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝4，则m＋n＝7.答案：C6．已知集合A＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，由已知A∩B＝∅，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥1，,a＋1≤4，))所以2≤a≤3.答案：[2,3]微专题系列[交汇创新]追踪集合中的新定义以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解、解决创新问题的能力．(1)设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)为________；(2)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.解析：(1)符合条件的理想配集有①M＝{1,3}，N＝{1,3}；②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}；③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．共3个．(2)由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：(1)3(2){0}∪[2，＋∞)解决集合中新定义问题的两个关键点(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.[跟踪训练]1．定义集合的商集运算为eq\f(A,B)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m,n)，m∈A，n∈B)))).已知集合A＝{2,4,6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)－1，k∈A))))，则集合eq\f(B,A)∪B中的元素个数为()A．6 B．7C．8 D．9解析：由题意知，B＝{0,1,2}，eq\f(B,A)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)))，则eq\f(B,A)∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)，2))，共有7个元素．答案：B2．对于集合M、N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(9,4)，x∈R))))，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，0)) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,4)))∪[0，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,4)))∪(0，＋∞)解析：依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(9,4)，x∈R))))，故A⊕B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,4)))∪[0，＋∞)．答案：C(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3 B．2C．1 D．0解析：集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.答案：B2．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝()A．(2,3] B．(－∞，1]∪(2，＋∞)C．[1,2) D．(－∞，0)∪[1，＋∞)解析：因为∁UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．答案：D3．已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a<0，解得0<a<3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.答案：B4．(2017·湖北武昌一模)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝()A．{0,1} B．{1,2}C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}解析：∵A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}＝{x|2<x<5}，A－B＝{x|x∈A且x∉B}，∴A－B＝{0,1,2,5}．故选D.答案：D5．(2017·河北衡水中学七调)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,2] D．[2，＋∞)解析：A＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以c≥2，所以c∈[2，＋∞)，故选D.答案：D6．(2017·江苏卷)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：∵B＝{a，a2＋3}，A∩B＝{1}，∴a＝1或a2＋3＝1，∵a∈R，∴a＝1.经检验，满足题意．答案：17．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝0))，则满足A∪B＝{－1,0,1}的集合B的个数是________．解析：解方程x－eq\f(1,x)＝0，得x＝1或x＝－1，所以A＝{1，－1}，又A∪B＝{－1,0,1}，所以B＝{0}或{0,1}或{0，－1}或{0,1，－1}，集合B共有4个．答案：48．设集合I＝{x|－3<x<3，x∈Z}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1,2}，则A∩(∁IB)＝________.解析：因为集合I＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1,2}，所以∁IB＝{0,1}，则A∩(∁IB)＝{1}．答案：{1}9．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B.解析：(1)∵9∈(A∩B)，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝3或a＝－3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}；当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，所以a＝5或a＝－3.(2)由(1)可知，当a＝5时，A∩B＝{－4,9}，不合题意，当a＝－3时，A∩B＝{9}．所以a＝－3.10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．解析：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[1,3]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＝1，,m＋2≥3，))得m＝3.(2)∁RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}．∵A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1.∴m>5或m<－3.故m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．1．设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}，则u＝1－x2∈(0,1]，所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．答案：(－∞，－1]∪(0,1)2．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)·(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．解析：若a>1，则集合A＝{x|x≥a或x≤1}，利用数轴可知，要使A∪B＝R，需要a－1≤1，则1<a≤2；若a＝1，则集合A＝R，满足A∪B＝R，故a＝1符合题意；若a<1，则集合A＝{x|x≤a或x≥1}，显然满足A∪B＝R，故a<1符合题意．综上所述，a的取值范围为(－∞，2]．答案：(－∞，2]3．已知集合A＝{y|y＝2x－1,0<x≤1}，B＝{x|(x－a)[x－(a＋3)]<0}．分别根据下列条件，求实数a的取值范围．(1)A∩B＝A；(2)A∩B≠∅.解析：因为集合A是函数y＝2x－1(0<x≤1)的值域，所以A＝(－1,1]，B＝(a，a＋3)．(1)A∩B＝A⇔A⊆B⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤－1，,a＋3>1，))即－2<a≤－1，故当A∩B＝A时，a的取值范围是(－2，－1]．(2)当A∩B＝∅时，结合数轴知，a≥1或a＋3≤－1，即a≥1或a≤－4.故当A∩B≠∅时，a的取值范围是(－4,1)．4．设集合A＝{x∈R|2x2＋ax－a2＝0},1∈A，－2∉A.(1)求a的值，并写出A的所有子集；(2)若集合B＝{x∈R|x2＋(m－3)x＋m＝0}，(∁RA)∩B＝∅，求实数m的值构成的集合．解析：(1)因为1∈A，所以2×12＋a×1－a2＝0，解得a＝－1,2，当a＝2时，A＝{x∈R|2x2＋2x－4＝0}＝{1，－2}，与已知－2∉A矛盾，所以a≠2；当a＝－1时，A＝{x∈R|2x2－x－1＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，符合题意．所以A的所有子集为∅，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，{1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).(2)因为(∁RA)∩B＝∅，所以B⊆A，因为方程x2＋(m－3)x＋m＝0的判别式Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9，所以按照判别式的符号分类讨论如下：①当Δ<0即1<m<9时，集合B为空集，符合题意．②当Δ＝0即m＝1或m＝9时，若m＝1，则B＝{1}，符合题意，若m＝9，则B＝{－3}，不符合题意，舍去．③当Δ>0即m<1或m>9时，集合B有两个元素，所以B＝A，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋1＝－m－3，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×1＝m，))矛盾，舍去．所以实数m的值构成的集合为[1,9)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.1．四种命题及其关系(1)四种命题若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若綈p，则綈q；逆否命题是若綈q，则綈p.(2)四种命题间的关系2．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．1．四种命题间的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．(2)两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”或“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”．1．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R(R为△ABC外接圆半径)．若sinA>sinB，则eq\f(a,2R)>eq\f(b,2R)，即a>b，所以A>B；若A>B，则a>b，所以2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，所以“A>B”是“sinA>sinB”成立的充要条件．答案：C2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.答案：D3．“x>1”是“x2＋2x>0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.答案：A4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”5．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：3考向一四种命题及其相互关系eq\x(自主练透型)1．(2017·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.答案：A2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若eq\f(1,x)>1，则x>1”的逆否命题解析：对于A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故为假命题；对于B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若eq\f(1,x)>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则eq\f(1,x)≤1”，易知为假命题，故选B.答案：B3．(2017·河北衡水二中模拟)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数解析：将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题，因此“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，所以选C.答案：C四种命题的关系及真假判断(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.考向二充分必要条件的判定eq\x(互动讲练型)(1)(2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：(1)由2－x≥0，得x≤2；由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，因为[0,2](－∞，2]，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．(2)法一：S4＋S6>2S5等价于(S6－S5)＋(S4－S5)>0，等价于a6－a5>0，等价于d>0.法二：∵Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d，∴S4＋S6－2S5＝4a1＋6d＋6a1＋15d－2(5a1＋10d)·d，即S4＋S6>2S5等价于d>0.答案：(1)B(2)C充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假(如本例(1))．(2)集合法：若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件(如本例(2))．(3)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假(如跟踪训练3).[跟踪训练]1．(2017·兰州市高考实战模拟)设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，则a·b＝0，即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－eq\f(1,2)，∴x＝2⇒a⊥b，反之a⊥b⇒x＝2或x＝－eq\f(1,2)，∴“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件．答案：B2．设p：x2－x－20>0，q：log2(x－5)<2，则p是q的()A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：∵x2－x－20>0，∴x>5或x<－4，∴p：x>5或x<－4.∵log2(x－5)<2，∴0<x－5<4，即5<x<9，∴q：5<x<9，∵{x|5<x<9}{x|x>5或x<－4}，∴p是q的必要不充分条件，故选C.答案：C3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件解析：法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．法二：(等价转化法)x＝y⇒cosx＝cosy，而cosx＝cosy⇒/x＝y.答案：C考向三充分条件与必要条件的探求eq\x(分层深化型)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．解析：因为A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))＝{x|－1<x<3}，所以由已知x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，得AB，所以m＋1>3，即m>2.答案：(2，＋∞)根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍(如本例)，处理不当容易出现漏解或增解的现象.[同类练]1．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，则m的取值范围是________．解析：由|x－m|<1得m－1<x<m＋1，若eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)是|x－m|<1成立的充分不必要条件，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤\f(1,3),m＋1>\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1<\f(1,3),m＋1≥\f(1,2)))得－eq\f(1,2)≤m≤eq\f(4,3).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(4,3)))[变式练]2．是否存在实数m，使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件？解析：欲使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件，则只要{x|x<－1，或x>3}⊆eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(m,2)))))，这是不可能的．故不存在实数m使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件．[拓展练]3．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]解析：由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.答案：A微专题系列[思想方法]等价转化思想在充要条件中的应用等价转化是一种重要的数学思想，体现了“把未知问题化归到已有知识范围内可解”的求解策略，对于一个难以入手的命题，可以把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一个解题思路．设p：|4x－3|≤1；q：a≤x≤a＋1，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：设A＝{x||4x－3|≤1}，则A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1))))，B＝{x|a≤x≤a＋1}．由綈p是綈q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,2)，,a＋1≥1，))故所求实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：A本例将“綈p是綈q的必要而不充分条件”转化为“p是q的充分而不必要条件”；将p、q之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．,[跟踪训练]证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.证明：命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1，得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0，所以原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题．即若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．若非空集合M，N，则“a∈M或a∈N”是“a∈M∩N”的()A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为“a∈M∩N”可以推出“a∈M或a∈N”，但是反过来不能推出，所以“a∈M或a∈N”是“a∈M∩N”的必要不充分条件．答案：C2．已知命题：若a>2，则a2>4，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：原命题显然是真命题，其逆命题为“若a2>4，则a>2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．答案：B3．(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：由存在负数λ，使得m＝λn，可得m、n共线且反向，夹角为180°，则m·n＝－|m||n|<0，故充分性成立．由m·n<0，可得m，n的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．答案：B4．使a>0，b>0成立的一个必要不充分条件是()A．a＋b>0 B．a－b>0C．ab>1 D．eq\f(a,b)>1解析：因为a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由a>0，b>0不能推出a－b>0，ab>1，eq\f(a,b)>1.答案：A5．下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题是真命题D．“tanx＝1”是“x＝eq\f(π,4)”的充分不必要条件解析：由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x2－x－2＝0⇔x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x2－x－2＝0”推不出“x＝－1”，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，即B不正确；因为由x＝y能推得sinx＝siny，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C正确；由x＝eq\f(π,4)能推得tanx＝1，但由tanx＝1推不出x＝eq\f(π,4)，所以“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要条件，即D不正确．答案：C6．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)7．(2017·山东临沂模拟)有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，真命题．答案：②③8．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析：由x2>1得x>1或x<－1.由题意知{x|x<a}{x|x>1或x<－1}，所以a≤－1，从而a的最大值为－1.答案：－19．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解析：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．10．指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；(2)非空集合A，B中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解析：(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sinA＝sinB，反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．(3)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q⇒/p，故p是q的充分不必要条件．1．(2017·四川南山模拟)已知条件p：eq\f(1,4)<2x<16，条件q：(x＋2)(x＋a)<0，若p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围为()A．[－4，＋∞) B．(－∞，－4)C．(－∞，－4] D．(4，＋∞)解析：由eq\f(1,4)<2x<16，得－2<x<4，即p：－2<x<4.方程(x＋2)(x＋a)＝0的两个根分别为－a，－2.①若－a>－2，即a<2，则条件q：(x＋2)(x＋a)<0等价于－2<x<－a，由p是q的充分而不必要条件可得－a>4，则a<－4；②若－a＝－2，即a＝2，则(x＋2)(x＋a)<0无解，不符合题意；③若－a<－2，即a>2，则q：(x＋2)(x＋a)<0等价于－a<x<－2，不符合题意．综上可得a<－4，故选B.答案：B2．(2017·山西五校4月联考)已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为____________．解析：p对应的集合A＝{x|x<m或x>m＋3}，q对应的集合B＝{x|－4<x<1}，由p是q的必要不充分条件可知BA，∴m≥1或m＋3≤－4，即m≥1或m≤－7.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)3．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．解析：(1)否命题：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题为真命题，证明如下：∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．4．已知p：x2－7x＋12≤0，q：(x－a)(x－a－1)≤0.(1)是否存在实数a，使綈p是綈q的充分不必要条件，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数a，使p是q的充要条件，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解析：因为p：3≤x≤4，q：a≤x≤a＋1.(1)因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以綈p⇒綈q，且綈q⇒/綈p，所以q⇒p，且p⇒/q，即q是p的充分不必要条件，故{x|a≤x≤a＋1}{x|3≤x≤4}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>3，,a＋1≤4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥3，,a＋1<4，))无解，所以不存在实数a，使綈p是綈q的充分不必要条件．(2)若p是q的充要条件，则{x|a≤x≤a＋1}＝{x|3≤x≤4}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,a＋1＝4，))解得a＝3.故存在实数a＝3，使p是q的充要条件．

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“且”“或”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃(2)全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题语言表示对M中任意一个x，有p(x)成立M中存在元素x0，使p(x0)成立符号表示∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)1．含逻辑联结词命题真假判断(1)p∧q中一假即假．(2)p∨q中一真必真．(3)綈p真，p假；綈p假，p真．2．全(特)称命题的真假判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真1．命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0－1>0”的否定是()A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0C．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0－1≤0 D．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0－1≥0解析：依题意得，命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0－1>0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≤0”，选A.答案：A2．下列命题中为真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－1<sinx<1C．∃x0∈R,2x0<0 D．∃x0∈R，tanx0＝2解析：因为∀x∈R，x2≥0，故A错；∀x∈R，－1≤sinx≤1，故B错；∀x∈R,2x>0，故C错．答案：D3．命题p：∀x∈R，sinx＜1；命题q：∃x∈R，cosx≤－1，则下列结论是真命题的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∨綈q D．綈p∧綈q解析：p是假命题，q是真命题，所以B正确．答案：B4．命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为________________________．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”5．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“綈q”为假，则q为真，即x∈Z，又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3<x<－1，由题意，得x＝－2.答案：－2考向一全称命题与特称命题eq\x(自主练透型)1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则非p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤0B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1解析：命题p为全称命题，所以非p：∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.答案：B2．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为真命题的是()A．∃x0∈R，f(x0)<f(m) B．∃x0∈R，f(x0)>f(m)C．∀x∈R，f(x0)≤f(m) D．∀x∈R，f(x)≥f(m)解析：由2am＋b＝0，得m＝－eq\f(b,2a)，又a>0，∴f(m)是函数f(x)的最小值，即∀x∈R，有f(x)≥f(m)，故选D.答案：D3．若命题“∃x∈R，使得sinxcosx>m”是真命题，则m的值可以是()A．－eq\f(1,3) B．1C.eq\f(\r(3),2) D．eq\f(2,3)解析：∵sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，∴m<eq\f(1,2).故选A.答案：A1．全称(特称)命题否定的两步曲(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．[提醒]若命题p是真命题，则綈p是假命题；若命题p是假命题，则綈p是真命题．2．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真考向二含有逻辑联结词的命题的真假判断eq\x(互动讲练型)(1)(2017·贵州省适应性考试)已知命题p：∀x∈R，log2(x2＋4)≥2，命题q：y＝xeq\f(1,2)是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∨(綈q) B．p∧qC．(綈p)∨q D．(綈p)∧(綈q)(2)(2017·山东卷)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧綈qC．綈p∧q D．綈p∧綈q解析：(1)命题p：函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，即命题p是真命题，因此綈p为假命题；命题q：y＝xeq\f(1,2)在定义域上是增函数，故命题q是假命题，綈q是真命题．因此选项A是真命题，选项B是假命题，选项C是假命题，选项D是假命题，故选A.(2)p：x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，∴∃x∈R，x2－x＋1≥0成立．故命题p为真．q：a2<b2⇒a2－b2<0⇒(a＋b)(a－b)<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>0，,a－b<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b<0，,a－b>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－b，,a<b))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－b，,a>b，))故命题q为假，从而綈q为真．∴p∧綈q为真，故选B.答案：(1)A(2)B判断含有逻辑联结词命题真假的步骤[跟踪训练]1．(2017·福建龙岩二模)已知命题p：∀x>－2，x2>4，命题q：∃x∈R，cosx＝ex，则下列命题中为假命题的是()A．p∨q B．p∧qC．綈p∧q D．綈p∨綈q解析：命题p：∀x>－2，x2>4，是假命题，例如取x＝0时，不成立．命题q：∃x∈R，cosx＝ex，如图所示，是真命题(或取x＝0即可判断出真假)，则下列命题中为假命题的是p∧q.故选B.答案：B2．(2017·山东青岛模拟)已知命题p：∃x0∈R，使tanx0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．现有以下结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号)解析：∵当x＝eq\f(π,4)时，tanx＝1，∴命题p为真命题，命题綈p为假命题．由x2－3x＋2<0，解得1<x<2，∴命题q为真命题，命题綈q为假命题．∴命题“p∧q”是真命题，命题“p∧綈q”是假命题，命题“綈p∨q”是真命题，命题“綈p∨綈q”是假命题．答案：①②③④考向三利用逻辑联结词探求参数问题eq\x(分层深化型)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p∨q是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，则－eq\f(a,4)≤3，即a≥－12.因为p或q是真命题，所以a∈R，即a的取值范围是(－∞，＋∞)．答案：(－∞，＋∞)根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围；(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)；(3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围.[同类练]1．在本例条件下，若p∧q为真命题，求实数a的取值范围．解析：∵p∧q为真，∴p和q均为真，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤－4或a≥4，,a≥－12，))∴a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)．[变式练]2．在本例条件下，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．解析：由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a<－12；若p假q真，则－4<a<4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．[拓展练]3．已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2 B．m≤－2C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2解析：依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,m≤－2或m≥2，))即m≥2.答案：A微专题系列[思想方法]分类讨论思想求解命题中的参数(2017·湖南长沙质检)已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：若p为真命题，则由关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集为{x|x<0}，知0<a<1；若q为真命题，则由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a>0的解集为R，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－4a2<0，))解得a>eq\f(1,2).因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0或a≥1，,a>\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a≤\f(1,2)，))解得a≥1或0<a≤eq\f(1,2)，故实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)1．解答本例时运用了分类讨论思想，由条件可知p、q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两类讨论．2．分类讨论的一般步骤：(1)确定讨论对象和确定研究的全域；(2)进行科学分类(按照某一确定的标准在比较的基础上分类)，“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果，分类时，应不重复，不遗漏；(3)逐类讨论；(4)归纳小结，整合得出结论．[跟踪训练]1．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝a2＋8a≤0，))解得－8≤a<0.综上，－8≤a≤0.答案：[－8,0]2．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为________．解析：p为真：Δ＝4a2－16<0，解得－2<a<2；q为真：3－2a>1，解得a<1.∵p或q为真，p且q为假，∴p，q一真一假．当p真q假时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<a<2，,a≥1))⇒1≤a<2；当p假q真时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2或a≤－2，,a<1))⇒a≤－2.∴a的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．答案：(－∞，－2]∪[1,2)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为()A．∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)D．∃x0∈M，f(－x0)＝f(x0)解析：命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”，即“∀x∈M，f(－x)＝f(x)”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．答案：A2．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()A．p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：因为3x＋1>1，所以log2(3x＋1)>0恒成立，则命题p是假命题；又綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.答案：B3．(2017·江西红色七校联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x<0，,m－x2，x≥0，))给出下列两个命题：命题p：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解，命题q：若m＝eq\f(1,9)，则f(f(－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)解析：因为3x>0，当m<0时，m－x2<0，所以命题p为假命题；当m＝eq\f(1,9)时，因为f(－1)＝3－1＝eq\f(1,3)，所以f(f(－1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1,9)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝0，所以命题q为真命题，逐项检验可知，只有(綈p)∧q为真命题，故选B.答案：B4．已知命题p：∀x∈R,2x<3x，命题q：∃x∈R，x2＝2－x，若命题(綈p)∧q为真命题，则x的值为()A．1 B．－1C．2 D．－2解析：∵綈p：∃x∈R,2x≥3x，要使(綈p)∧q为真，∴綈p与q同时为真．由2x≥3x得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x≥1，∴x≤0，由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，∴x＝1或x＝－2，又x≤0，∴x＝－2.答案：D5．已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋eq\f(1,2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－1,3)C．(－3，＋∞) D．(－3,1)解析：原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋eq\f(1,2)>0，由题意知，其为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×eq\f(1,2)<0.则－2<a－1<2，则－1<a<3.故选B.答案：B6．命题p的否定是“对所有正数x，eq\r(x)>x＋1”，则命题p是________________．解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．答案：∃x0∈(0，＋∞)，eq\r(x0)≤x0＋17．命题“∀x∈R，∃m∈Z，m2－m<x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于∀x∈R，x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，因此只需m2－m<eq\f(3,4)，即－eq\f(1,2)<m<eq\f(3,2)，所以当m＝0或m＝1时，∀x∈R，m2－m<x2＋x＋1成立，因此命题是真命题．答案：真8．已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lgx0；命题q：∀x∈R，－x2＋x－1<0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“p∨(綈q)”是假命题．其中所有正确结论的序号为________．解析：对于命题p，取x＝10，则有10－2>lg10成立，故命题p为真命题；对于命题q，方程－x2＋x－1＝0，即x2－x＋1＝0，Δ＝1－4×1<0，故方程无解，所以命题q为真命题，综上“p∧q”是真命题，“p∧(綈q)”是假命题，“(綈p)∨q”是真命题，“p∨(綈q)”是真命题，即正确的结论为①②③.答案：①②③9．命题p：∀x∈(1，＋∞)，函数f(x)＝|log2x|的值域为[0，＋∞)．命题q：∃m≥0，使得y＝sinmx的周期小于eq\f(π,2).试判断p∨q，p∧q，綈p的真假性．解析：对于命题p，当f(x)＝|log2x|＝0时，log2x＝0，即x＝1,1∉(1，＋∞)，故命题p为假命题．对于命题q，y＝sinmx的周期T＝eq\f(2π,|m|)<eq\f(π,2)，即|m|>4，故m<－4或m>4，故存在m≥0，使得命题q成立，故命题q为真命题．所以p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为真命题．10．已知命题p：存在一个实数x，使ax2＋ax＋1＜0，当a∈A时，非p为真命题，求集合A.解析：非p为真，即“∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0”为真．若a＝0，则1≥0成立，即a＝0时非p为真；若a≠0，则非p为真⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝a2－4a≤0))⇔0＜a≤4.综上知，所求集合A＝{a|0≤a≤4}．1．(2017·广东深圳三校联考)已知命题p：不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a∈(0,4)，命题q：“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条