高中数学 测试题

第七章立体几何问题一：面体与球的组合体问题一、球与柱体的组合体球与正方体例1棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（）A． B． C． D．【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16 球与长方体例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A.eq\f(10π,3) B.4π C.eq\f(8π,3) D.eq\f(7π,3)【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为，则该正四棱锥的外接球的表面积为.球与正棱柱例3正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【牛刀小试】直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若，，，则球的表面积为（）A．B．C．D．二、球与锥体的组合体2.1球与正四面体例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()A.B.2+C.4+D.2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥例5在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是.【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．B．C．D．2.3球与正棱锥例6在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B.C.4D.【牛刀小试】已知正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为____________.2.4球与特殊的棱锥例7矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是()A.B.C.D.例8三棱锥中，，则三棱锥的外接球的半径是.三、球与球的组合体例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）A.(eq\r(2)－1)R B.(eq\r(6)－2)RC.eq\f(1,4)R D.eq\f(1,3)R四、球与几何体的各条棱相切例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（） A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm五、与三视图相结合的组合体问题例11【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A.5π B.12π C.20π D.8π【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.eq\f(16,3)πB.eq\f(19,3)πC.eq\f(19,12)πD.eq\f(4,3)π【迁移应用】1.【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于（）A．B．C．D．2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P－ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,,若四面体P－ABC的体积为,则该球的体积为（）A．B．C．D．3．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．B．C．D．4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为（）A．B．C．2D．15.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为()(A)π(B)2π(C)3π(D)4π6.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A.B.C.D.7．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为的球面上有四点且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若,则棱锥体积的最大值为．8．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．9．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知都是球表面上的点，平面，，，，，则球的表面积等于______．10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥,其中底面四边形是边长为的正方形，，且平面,则球体毛坯体积的最小值应为．11．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体中，平面，是边长为的等边三角形．若，则四面体外接球的表面积为．12.正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.13.已知正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为____________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是eq\f(32,3),则这个三棱柱的体积为.15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为．问题二立体几何中折叠问题一、平面图形的折叠 1.折叠后的形状判断【例1】如下图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折叠，能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上)①②③④⑤⑥【牛刀小试】下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（）A.B.C.D.2.折叠后的线面关系【例2】将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2)，则在空间四边形ABCD中，AD与BC的位置关系是 ()图1图2A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．异面且垂直 D．异面但不垂直【牛刀小试】将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线与是异面直线的是……………（）A．①②B．②④C．①④D．①③3.折叠后几何体的数字特征【例3】（体积问题）如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积．（1）求的表达式；（2）当为何值时，取得最大值？【牛刀小试】【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】平行四边形ABCD中，·=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD－C，且，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【例4】（空间角问题）如左图,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如右图所示),连结、、,其中.(Ⅰ)求证:平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.【牛刀小试】如图，边长为2的正方形ABCD，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于。（1)求证：⊥EF;（2）求二面角的平面角的余弦值.【例5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（）【牛刀小试】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面,“锦”表示右面,“程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的______________________.二.展开后的数字特征——表面上的最短距离问题【例6】如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，分别是两底面的直径，是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到点，求小虫爬行的最短路线的长度．【牛刀小试】如图，在长方体中，，求沿着长方体表面从到的最短路线长.【迁移应用】1.【2016学年湖南师大附中第三次检测】如图是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论错误的是（）A．点到的距离为B．与所成角是C．三棱锥的体积是D．与是异面直线2.【2016学年四川省成都七中】把正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（）度A．90B．60C．45D．303.已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC（如图），则下列命题中正确的为()A.直线AB⊥直线CD,且直线AC⊥直线BDB.直线AB⊥平面BCD，且直线AC⊥平面BDEC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED.平面ABD⊥平面BCD，且平面ACD⊥平面BDE4.【2015-2016学年广西武鸣县高中】如图所示，在四边形中，,将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是．（1）；（2）；（3）与平面所成的角为；（4）四面体的体积为．5．【2016届云南师大附中高考适应性月考】已知正三棱柱的侧面展开图是相邻边长分别为3和6的矩形，则该正三棱柱的体积是．6．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下面四个选项中正确的是(填写所有的正确选项)（1）是定值（2）点在某个球面上运动（3）存在某个位置，使（4）存在某个位置，使平面7.如图，三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=2，，M、N分别为SB、SC上的点，则△AMN周长最小值为.8.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ACB时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．9.如图1所示，正的边长为，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点。现将沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如图2）求三棱锥C-DEF的体积.10.如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．（1）求证：∥平面;（2）求证：;图2（3）求点到平面的距离.图2图图111..正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角．（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论．问题三立体几何中的最值问题一、距离最值问题1.空间中两点间距离的最值问题【例1】正方体的棱长为1，、分别在线段与上，求的最小值.【牛刀小试】在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，底面边长为，点P、Q分别在线段BD、SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（）A. B. C.2 D.12.几何体表面上的最短距离问题【例2】正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?并求之.【牛刀小试】在直三棱柱中，底面为直角三角形，，．是上一动点，则的最小值为．二、面积的最值1.旋转体中面积的最值【例3】一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为.【牛刀小试】圆柱轴截面的周长为定值，求圆柱侧面积的最大值.2.多面体中的面积最值【例4】如图中1所示，边长AC＝3，BC＝4，AB＝5的三角形简易遮阳棚，其A、B是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，试问：遮阳棚ABC与地面成多大角度时，才能保证所遮影面ABD面积最大?【牛刀小试】在三棱锥A—BCD中，ΔABC和ΔBCD都是边长为a的正三角形，求三棱锥的全面积的最大值.三、体积的最值问题【例5】如图3，已知在中，，平面ABC，于E，于F，，，当变化时，求三棱锥体积的最大值.图3【牛刀小试】在棱长为1的正方体中，点分别是线段、（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是.【迁移与应用】1．【2016届西藏日喀则一中高三10月检测】已知正三角形三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是（）A．B．C．D．2．【2015届福建省龙岩市一中高三下学期考前模拟】在长方体中，，，点为的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点，可以重合），则的最小值为（）A．B．C．D．13．【2016浙江省杭州二中】已知各棱长均为1的四面体ABCD中，E是AD的中点，P∈直线CE，则|BP|＋|DP|的最小值为（）A．1＋B．C．D．4．【2016辽宁师大附中】在长方体中，，，点为的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点、可以重合），则的最小值为（）A．B．C．D．5.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积的最大值为()（A）（B）3（C）（D）6.已知四棱锥SKIPIF1<0的三视图如图所示，则四棱锥SKIPIF1<0的四个侧面中面积最大的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为()A．(6－3eq\r(3))π B．(8－4eq\r(3))πC．(6＋3eq\r(3))π D．(8＋4eq\r(3))π8.如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a，c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________．9．【2016届辽宁省沈阳市二中高三上学期期中】如图，在棱柱的侧棱上各有一个动点，且满足，是棱上的动点，则的最大值是．10．【2016届广东省广州市荔湾区高三上学期调研】已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为．11．【2015届广东省华南师大附中高三5月三模】某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是．12．【2016辽宁省鞍山市一中】正六棱柱的底面边长为，侧棱长为1，则动点从沿表面移到点时的最短的路程是．13．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为的球面上有四点且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若,则棱锥体积的最大值为．14.棱长为2cm的正方体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？问题四：化归与转化思想解决立体几何中的探索性问题立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象力，又可以考查学生的意志力和探究意识，逐步成为近几年高考命题的热点和今后命题的趋势之一，探究性问题主要有两类：一是推理型，即探究空间中的平行与垂直关系，可以利用空间线面关系的判定与性质定理进行推理探究；二是计算型，即对几何体中的空间角与距离、几何体的体积等计算型问题的有关探究，此类问题多通过求角、求距离、体积等的基本方法把这些探究性问题转化为关于某个参数的方程，根据方程解的存在性来解决.一、空间线面关系的探索性问题1.空间平行关系的探索性问题【例1】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）设在棱上是否存在点，使得A1E∥平面ADC1？请给出证明．【牛刀小试】如图，四棱锥P—ABCD，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD足直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD; （1）求证：AB⊥PD； （2）在线段PB上是否存在一点E，使AE∥平面PCD，若存在，指出E点的位置，并加以证明，若不存在，说明理由．2.空间垂直关系的探索性问题【例2】棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱的中点.(1)求证：；(2)求在线段上是否存在点G，使⊥面DFG.？试证明你的结论.【牛刀小试】在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O．（I）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（II）求二面角A1—B1C—C1的余弦值．二、空间角的探索性问题【例3】如图,在直三棱柱的底面中，，，，且.（1）证明：平面；（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成的角等于？证明你的结论.（3）若是棱的中点,在线段上是否存在一点,使得∥平面?证明你的结论.【牛刀小试】如图，在直三棱柱中，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．【例4】如图，直四棱柱中，侧棱，底面是菱形，，，为侧棱上的动点．（1）求证：；（2）在棱上是否存在点，使得二面角的大小为？试证明你的结论.【牛刀小试】如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，．当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；⑵当的值为多少时，二面角的大小是45．三、空间距离的探索性问题【例5】如图，已知平面是等腰直角三角形，其中，且.(1)在线段上是否存在一点，使平面?(2)求线段上是否存在点，使得点到面的距离等于1？如果存在，试判断点的个数；如果不存在，请说明理由.【牛刀小试】【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2,O为AD中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段AD上是否存在点，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．【迁移运用】1．【.2016届福建省上杭县一中高三12月考】如图，平面平面，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面．（1）求证平面；（2）设，是否存在，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．2．【2016届广西武鸣县高中高三8月月考】如图，在四棱锥中，，平面，平面，，，．（Ⅰ）求棱锥的体积；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．3．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】已知正的边长为4，CD是AB边上的高，E,F分别是AC和BC边上的中点，现将沿CD翻折成直二面角A-BC-B．（1）求二面角E-DF-C的余弦值；（2）在线段BC上是否存在一点P，使APDE?如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．4．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，中，是的中点，，．将沿折起，使点与图中点重合．（1）求证：平面；（2）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；（3）在（2）条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为？证明你的结论．5．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】在四棱锥中，平面，，底面是梯形，，，．（1）求证：平面平面；（2）设为棱上一点，，试确定的值使得二面角为．6．【2016届湖南省东部株洲二中六校高三12月联考】如图，在四棱锥中，底面梯形中，，平面平面，是等边三角形，已知，，，且．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值；（3）试确定的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的3倍．7.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点，平面PAC.PA=PC=AC=2，BC=4，E,F分别是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l．（1）求证：直线l平面PAC；（2）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．8.在四棱锥中，平面，,.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值；(Ⅲ)线段上是否存在点,使平面？说明理由.9.如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.（1）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（2）10.如图，在多面体EFABCD中，底面正方形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AF平面ABCD,DE//AF，AB=DE=2,AF=1．(1)在平面ADEF内是否存在一点M，使OM//平面CDE？若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由；（2）求直线EC与平面BDE所成的角．问题五：利用空间向量解决开放性问题空间直角坐标系的建立，把空间几何体数字化了，其结构特征可以直接利用数字化的“空间坐标”进行具体的刻画，所以可以把空间几何体中的问题转化为“数”、“式”、“方程”与“函数”的相关问题，空间几何体中的开放性问题也就转化为代数中的相关问题进行解决.一、条件追溯型条件追溯型的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．【例1】四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，当的值等于多少时，能使PB⊥AC？并给出证明.【牛刀小试】如图所示PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点，与夹角的余弦值为。（Ⅰ）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标。（Ⅱ）已知点F在平面PAD内，则点F在什么为位置时，使得EF⊥平面PCB？二、结论探索型结论探索型问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．【例2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C【牛刀小试】如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(2)，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为()A．平行 B．异面C．垂直 D．以上都不对三、存在判断型存在判断型问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．【典例3】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝ADE为CD的中点．(Ⅰ)求证：B1E⊥AD1；(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．【牛刀小试】如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．【迁移运用】1.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是 ()A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直2.如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD上，记eq\f(D1P,D1B)＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是 ()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))的实数λ的有________个．4.在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．5.如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图(2)．(1)求证：A1C⊥平面BCDE(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．6.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BE＝CF．（1）当E、F在何位置时，B1F⊥D1E；（2）是否存在点E、F，使A1C⊥面C1（3）当E、F在何位置时三棱锥C1－CEF的体积取得最大值，并求此时二面角C1－EF－C的大小．7.如图，正方形ABCD的边长为2，将四条边对应的第腰三角形折起构成一个正四棱锥P-ABCD.（1）当Q为PC为中点时，证明PA//平面BDQ；（2）当等腰三角形的腰长为多少时，异面直线PA与BC所成的角为60o;（3）当侧棱与底面所成的角为60o时，求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值。8.【2015-2016学年辽宁省葫芦岛市一中期中】直三棱柱中，，分别是的中点，，为棱上的点．（1）证明：；（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．9．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】在四棱锥中，平面，，底面是梯形，，，．（1）求证：平面平面；（2）设为棱上一点，，试确定的值使得二面角为．10．【2016届浙江省慈溪中学高三上学期期中】如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，底面是菱形，，点在底面上的射影为的重心，点为线段上的点．（1）当点为的中点时，求证：平面；（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求的值．11．【2016届安徽省马鞍山二中等高三第三次联考】如图，在四棱锥中，底面，为直角，,，分别为的中点．（1）试证：平面；（2）设，且二面角的平面角大于，求的取值范围．12．【2016届宁夏吴忠中学高三上学期第四次月考】如图，四棱锥，平面⊥平面，△是边长为2的等边三角形，底面是矩形，且．（1）若点是的中点，求证：平面；（2）试问点在线段上什么位置时，二面角的大小为．13．【2016届浙江省余姚中学高三上学期期中】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点．（1）若，求证：平面平面；（2）设点是线段上的一点，，且平面．（1）求实数的值；（2）若，且平面平面，求二面角的大小．

第八章解析几何问题一与圆有关的最值问题一、与圆相关的最值问题的联系点1.1与直线的倾斜角或斜率的最值问题【例1】坐标平面内有相异两点，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是().A．B．C．D．【牛刀小试】经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为________，________.1.2与距离有关的最值问题【例2】过点的直线与圆：交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程是．【例3】【2016届湖南省长沙市一中高三上学期月考】若C：关于直线对称，则由点（a,b）向圆所作的切线长的最小值是（）A．2B．3C．4D．6【牛刀小试】【2016届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系中，圆，圆．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径的取值范围是（）A．B．C．D．1.3与面积相关的最值问题【例4】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）A.B.C.D.【例5】动圆C经过点，并且与直线相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最小值【牛刀小试】【2016河北省正定中学月考】设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为（）A．B．C．D．二、与圆相关的最值问题的常用的处理方法2.1数形结合法【例6】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．【牛刀小试】若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.2.2建立函数关系求最值例7【2014高考福建卷第9题】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（）B.C.D.2.3利用基本不等式求解最值例8【2014四川高考理第14题】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是.【迁移运用】1．【2016学年四川省雅安中学期中】已知点P（t，t），t∈R，点m是圆上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值是（）B．2C．3D．2．【2016届浙江省临海市台州中学高三上第三次统练】已知是直线上一动点，是圆C：的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为（）A．3B．C．D．23．【2016湖北宜昌一中高二上学期期中】．直线与圆相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值是A．QUOTEB．4C．D．QUOTE24．【2016届云南省师大附中高三适应性月考】已知圆C：，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则｜PC｜的最大值为（）A、B、C、2D、25.已知,,若直线与圆相切,则的取值范围是________．6.在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值是________.7．【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知AC，BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD面积的最大值为．8．【2016届广西河池高中高三上第五次月考】在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是________．9．【2016届江西省南昌市二中高三上第四次考】过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为．10．【2016届江苏省如东高中高三上学期期中】在平面直角坐标系xOy中，已知点，点B是圆上的点，点M为AB中点，若直线上存在点P，使得，则实数的取值范围为________．11．【2016届湖南师范大学附中高三上学期月考】设点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值是．12．【2016届贵州省贵阳市一中高三上学期第三次月考】已知圆关于直线成轴对称，则的取值范围是．13.已知圆，点是该圆面（包括⊙O圆周及内部）上一点，则的最小值等于．14.【2014广东揭阳一模】设点是函数图象上的任意一点，点，则的最小值为（）A.B.C.D.15.【2014苏、锡、常、镇四市调查（一）】在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为．．使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是．17.已知的三个顶点，，，其外接圆为．(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．问题二：求解离心率的范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出a、c，求解e：已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解；（2）变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用，；（3）构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值.二、求解离心率的范围的方法2.1借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围.【例1】已知椭圆的中心在,右焦点为，右准线为，若在上存在点，使线段的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【牛刀小试】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2.2借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.【例2】已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是.【牛刀小试】过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜,则椭圆的离心率的取值范围是 .2.3借助函数的值域求解范围【例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【牛刀小试】已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（）A.B.C.D.2.4根据椭圆或双曲线自身的性质求范围【例4】【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】设为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的最小值为（）A．B．C．D．【牛刀小试】【2016届黑龙江省大庆实验中学高三12月月考】已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【迁移运用】1.【2015湖北高考理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）．A．对任意的， B．当时，；当时，C．对任意的， D．当时，；当时，2．【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知椭圆上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．3．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（）A．（0，+）B．（，+）C．（，+）D．（，+）4．【2016届四川省成都市七中高三11月阶段测试】已知是双曲线的左、右两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N（点M，N均在第一象限），当直线与直线ON平行时，双曲线离心率取值为，则所在区间为（）A．B．C．D．5．【2016届湖南师范大学附中高三上学期月考】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．6．【2016届浙江省绍兴市一中高三上学期期中】若双曲线上不存在点使得右焦点关于直线（为双曲线的中心）的对称点在轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．7.椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|eq\o(PF1,\s\up12(→))|·|eq\o(PF2,\s\up12(→))|的最大值的取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝eq\r(a2－b2)，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A．[eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(2),2)] B．[eq\f(\r(2),2)，1]C．[eq\f(\r(3),3)，1] D．[eq\f(1,3)，eq\f(1,2)]8.已知点F1、F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A．(1，eq\r(3)) B．(eq\r(3)，2eq\r(2))C．(1＋eq\r(2)，＋∞) D．(1,1＋eq\r(2))9.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是________．10.F1、F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．11.【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知P是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，，则的最大值为．12.在平面直角坐标系中，已知点及直线，曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①其中是到直线的距离；②(1)求曲线的方程;(2)若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围.13.椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞c)的两个焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，且满足eq\o(F1M,\s\up12(→))·eq\o(F2M,\s\up12(→))＝0.(1)求椭圆的离心率e的取值范围；(2)当离心率e取得最小值时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为5eq\r(2)，求此时椭圆的方程．14.椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．(1)求eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的值；(2)若椭圆的离心率e满足eq\f(\r(3),3)≤e≤eq\f(\r(2),2)，求椭圆长轴的取值范围．问题三：椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题通过近几年各地高考试题可以发现，对圆的考查在逐渐加深，并与圆锥曲线相结合在一起命题，成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题一、圆与椭圆的结合点1.1圆的几何性质与椭圆相联系【例1】【2014高考福建卷第9题】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（）B.C.D.【牛刀小试】【2015天津高考理19已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，.（1）求直线的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.1.2利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系【例2】【2014高考北京理第19题】已知椭圆：.（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.【牛刀小试】【2015福建高考理18】已知椭圆过点，且离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．二、圆与双曲线的结合点2.1利用圆的性质解决双曲线的相关问题由于双曲线具有渐近线，故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查，进而求解双曲线的几何性质，如离心率的求解.【例3】已知点是双曲线的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点P，且点P在抛物线上，则e2=（）A． B． C． D．【牛刀小试】双曲线的右焦点为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若此圆在点处的切线的斜率为，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.2.2圆的切线与双曲线相联系【例4】已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则()A.B.C.D.与关系不确定【牛刀小试】已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．圆的方程是．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：．三、圆与抛物线的结合点3.1圆的性质与抛物线相结合【例5】一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧，它的口宽是的4，杯深20，在杯内放一玻璃球，当玻璃球的半径r最大取时，才能使玻璃球触及杯底．【牛刀小试】已知圆的圆心为抛物线的焦点，直线与圆相切，则该圆的方程为（）A.B.C.D.3.2抛物线的性质与圆的相联系【例6】已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.【牛刀小试】已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.【迁移应用】1．【2015-2016学年福建省三明一中月考】以椭圆的左右焦点，为直径的圆若和椭圆有交点，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．【2015-2016学年湖南湘潭一中月考】设是椭圆上一点，分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为（）A．9，12B．8，11C．8，12D．10，123．【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．4．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】如图，已知椭圆，双曲线，若以的长轴为直径的圆与的一条渐近线交于A、B两点，且与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则的离心率为（）A．B．5C．D．5．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】已知抛物线，点Q是圆上任意一点，记抛物线上任意一点到直线的距离为，则的最小值为（）A．5B．4C．3D．26.过双曲线的左焦点作圆的两条切线，切点分别为、，双曲线左顶点为，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．【2016届山东省枣庄八中高三上12月月考】已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），且长轴长等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若•=﹣，求k的值．8．【2016届浙江省临海市台州中学高三上第三次统练】已知抛物线：，过焦点F的直线与抛物线交于两点（在第一象限）．（1）当时，求直线的方程；（2）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点，设到的距离为，求的取值范围．9．【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且，判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．10.如图，已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最小值，并求此时圆T的方程;（=3\*ROMANⅢ）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点.试问；是否存在使最大的点P，若存在求出P点的坐标，若不存在说明理由.11.【2014高考辽宁理第20题】圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.12.如图所示，已知、、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆中心，且，．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存点，使得？若存在，有几个（不必求出点的坐标），若不存在，请说明理由；（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条线，切点分别为、，若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值13【2015山东高考理20】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以为半径的圆与以为圆心以为半径的圆相交，且交点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（）设椭圆，为椭圆上任意一点.过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.（i）求的值；（）求△面积的最大值.问题四圆锥曲线的最值、范围问题一、利用圆锥曲线定义求最值借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．【例1】已知是椭圆内的两个点，是椭圆上的动点，求的最大值和最小值．【牛刀小试】【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．二、单变量最值问题转化为函数最值建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题，是常规方法，关键是选择恰当的变量为自变量．【例2】【河北省邯郸市2015届高三上学期摸底考试，理21】已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足(O为坐标原点)，求实数的取值范围。【牛刀小试】已知椭圆C的中心在原点，焦点F在轴上，离心率，点在椭圆C上.（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为的直线交椭圆与、两点，且、、成等差数列，点M（1,1），求的最大值.三、二元变量最值问题转化为二次函数最值利用点在二次曲线上，将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理．【例2】【天津一中2015高三年级月考数学试卷，理13】若点O、F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最大值为【牛刀小试】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知点，则的取值范围是.四、双参数最值问题该类问题往往有三种类型：①建立两个参数之间的等量关系和不等式关系，通过整体消元得到参数的取值范围；②建立两个参数的等量关系，通过分离参数，借助一边变量的范围，确定另一个参数的取值范围；③建立两个参数的等量关系，通过选取一个参数为自变量，令一个变量为参数（主元思想），从而确定参数的取值范围．【例3】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数的取值范围.【牛刀小试】已知圆，若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围.【迁移运用】1．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】已知抛物线，点Q是圆上任意一点，记抛物线上任意一点到直线的距离为，则的最小值为（）A．5B．4C．3D．22．【2016届重庆市巴蜀中学高三10月月考】已知为椭圆C：的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，的最大值、最小值分别为（）A．9,7B．8,7C．9,8D．17,83．【2015河南顶级名校高三入学考试】抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）4．【2016届重庆市南开中学高三12月月考】设点是椭圆上两点，若过点且斜率分别为的两直线交于点，且直线与直线的斜率之积为，，则的最小值为．5．【2016山西省太原市五中月考】已知为椭圆上的一个点，，分别为圆和圆上的点，则的最小值为．6．【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】已知直线与抛物线交于A，B两点，点P为直线l上一动点，M，N是抛物线C上两个动点，若，，则△PMN的面积的最大值为.7．【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】已知两个动点、和一个定点均在抛物线上（、与不重合）.设为抛物线的焦点，为其对称轴上一点，若，且、、成等差数列.（Ⅰ）求的坐标（可用、和表示）；（Ⅱ）若，，、两点在抛物线的准线上的射影分别为、，求四边形面积的取值范围.8．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，．经过点的直线与椭圆交于，两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记与的面积分别为和，求的最大值．9．【2015四川巴蜀联盟】如图，点M（）在椭圆（a＞b＞0）上，且点M到两焦点的距离之和为4.（1）求椭圆方程；（2）设与MO（O为坐标原点）垂直的直线交椭圆于A、B（A、B不重合），求的取值范围.10【2015浙江综合调研】已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线与圆相切，求证：（为坐标原点）；（Ⅲ）以线段为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围．11.【2015届四川成都实验外国语学校高三月考】设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，点Q（2，）在椭圆上.（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且，求△OAB的面积的取值范围.（3）过M（）的直线:与过N（）的直线:的交点P（）在椭圆E上，直线MN与椭圆E的两准线分别交于G，H两点，求·的值.12.【2015届辽宁省大连市第二十中学月考】平面内动点P（x，y）与两定点A（-2,0）,B（2,0）连线的斜率之积等于，若点P的轨迹为曲线E，过点Q作斜率不为零的直线交曲线E于点．（1）求曲线E的方程；（2）求证：；（3）求面积的最大值．13.【2015河南八校】已知抛物线，过点P(0，2)作直线l，交抛曲线于A,B两点，O为坐标原点，（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）求三角形AOB面积的最小值.14．【2015湖北孝感高中十月月考】设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且．（1）求椭圆的离心率；（2）若过三点的圆与直线相切，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于，求实数的取值范围．15.【2015届福建高三9月月考】如图，设椭圆的左右焦点为，上顶点为，点关于对称，且（1）求椭圆的离心率；（2）已知是过三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值．

问题五：圆锥曲线的定值、定点问题一、定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．【例1】已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.(1)求实数的取值范围;(2)在x轴上是否存在一个定点M，使得为定值?若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由.【牛刀小试】【2015全国卷高考I理20】在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点.（1）当时，分别求在点和处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.二、定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【例2】【河北省唐山市2015高三年级摸底考试】椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点.当m＝0时，(1)求C的方程；(2)证明：为定值.【小试牛刀】【2015全国卷高考II理20】已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点,延长线段与交于点，四边形能否平行四边行？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.【迁移运用】1．【2016届云南师范大学附属中学高三月考】如图，过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M，N两点，当平行于x轴和垂直于x轴时，被椭圆所截得的线段长均为.（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点A不同的定点B，使得对任意过点的动直线都满足？若存在，求出定点B的坐标，若不存在，请说明理由.2．【2016届重庆市第一中学高三12月月考】已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．3．【2016上海复旦大学附中届高三上期中】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，探究：直线是否过定点，并说明理由.4．【2016届浙江省绍兴市一中高三上学期期中】已知椭圆：的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．（1）求椭圆的方程；（2）如图，设椭圆的上、下顶点分别为，，是椭圆上异于，的任意一点，直线，分别交轴于点，，若直线与过点，的圆相切，切点为，证明：线段的长为定值．5.【2015四川高考理20】如图所示，椭圆：的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.6.已知椭圆的离心率为，且过点(1)求椭圆的标准方程：(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若（i）求的最值：（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值.7.已知椭圆，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（I）求椭圆的方程；（II）过点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点E，判断是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.8.已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点,且直线交椭圆于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点,且,当变化时,的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由.9.已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）如下图，、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，求证：为定值.10.已知椭圆过点,离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线、分别交直线于、两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证:为定值.问题六：圆锥曲线的存在、探索问题圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立。由于题目多变，解法不一，我们在平时的教学中对这类题目训练较少，因而学生遇到这类题目时，往往感到无从下手，本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．一、是否存在值【例1】已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与坐标原点距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.【牛刀小试】【2015四川高考文20】如图所示，椭圆：的离心率是，点在短轴上，且.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.二、是否存在点【例2】在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点，使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由【牛刀小试】【2015北京高考理19】已知椭圆的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点.（1）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表）；（2）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点.问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.三、是否存在直线【例3】【2015届四川巴蜀好教育联盟12月大联考】设F1，F2分别是椭圆的左右焦