投入产出数学模型

1（二）投入产出数学模型

李媛数学建模讲座

在经济活动中分析投入多少财力、物力、人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高低的主要标志。投入产出技术正是研究一个经济系统各部门间的“投入”与“产出”关系的数学模型，该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前比较成熟的经济分析方法。一、投入产出数学模型的概念投入～从事一项经济活动的消耗；产出～从事经济活动的结果；投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运用线性代数工具建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。

例：三部门投入产出表

消耗部门外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿0365061558250000102088电厂25522280828332500056163铁路2552228080028330新创造价值51044140419915

总产出1020885616328330投入产出流量

流量产出投入消耗部门最终需求总产出消费累计出口合计生产部门新创价值工资纯收入合计总投入表1：投入产出表（一般格式）

投入产出表描述了各经济部门在某个时期的投入产出情况。它的行表示某部门的产出；列表示某部门的投入。如表1中第一行x1表示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用量，(j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、政府使用、出口和社会储备等）为(j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这个时期的总产出水平。投入产出的基本平衡关系从左到右：中间需求＋最终需求＝总产出(1)从上到下：

中间消耗＋净产值＝总投入(2)由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：(3)(4)投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：(6)(5)从上到下：

中间消耗＋净产值＝总投入(2)由(4)和(6)，可得(8)

这表明就整个国民经济来讲，用于非生产的消费、积累、储备和出口等方面产品的总价值与整个国民经济净产值的总和相等。

例：三部门投入产出表

消耗部门外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿0365061558250000102088电厂25522280828332500056163铁路2552228080028330新创造价值51044140419915

总产出1020885616328330投入产出流量

二、直接消耗系数定义1

第j部门生产单位价值所消耗第i部门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗系数，记作。由定义得(9)把投入产出表中的各个中间需求换成相应的后得到的数表称为直接消耗系数表，并称n阶矩阵为直接消耗系数矩阵。例1

已知某经济系统在一个生产周期内投入产出情况如表2，试求直接消耗系数矩阵。表2某经济系统投入产出表产出投入中间消耗最终需求总产出123中间投入123100253080503040256024590175400250300净产值180150180总投入400250300解由直接消耗系数的定义，得直接消耗系数矩阵直接消耗系数具有下面重要性质：性质1

性质2

由直接消耗系数的定义，代入(3)，得(10)令，(10)式可表示为，或(11)称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。类似地把代入平衡方程(6)得到(12)写成矩阵形式为(13)其中定理1

列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。如果各部门的最终需求已知，则由定理1知，方程(11)存在惟一解。例2

设某工厂有三个车间，在某一个生产周期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求如表3，求各车间的总产值。定理2

方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆的。表3某工厂投入产出表

车间直耗系数车间ⅠⅡⅢ最终需求ⅠⅡⅢ0.250.10.10.20.20.10.10.10.2235125210解即三个车间的总产值分别为400，300，350。三、完全消耗系数

直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出如下定义。定义2

第j部门生产单位价值量直接和间

接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部门对第i部门的完全消耗系数，记作。由构成的n阶方阵称为各部门间的完全消耗系数矩阵。定理3第j部门对第i部门的完全消耗系数满足方程定理4设n个部门的直接消耗系数矩阵为

A，完全消耗系数矩阵为B，则有例3

假设某公司三个生产部门间的报告价值型投入产出表如表4，产出投入中间消耗最终需求总产出123中间投入123150006000610600250152536004001840625250030506000表4某公司三个生产部门间投入产出表求各部门间的完全消耗系数矩阵。解依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中各列，得到直接消耗系数矩阵为故所求完全消耗系数矩阵为由此例可知，完全消耗系数矩阵的值比直接消耗系数矩阵的值要大的多。四、投入产出实现模型的简单应用

投入产出法来源于一个经济系统各部门生产和消耗的实际统计资料。它同时描述了当时各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产品供应与需求的平衡关系，因而在实际中有广泛应用。

例4

某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费;生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费;创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界对地方铁路没有需求。解这是一个投入产出分析问题。设x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产值,x3为铁路总产值,则问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创造多少新价值?表8

投入产出分析表(单位：元)

消耗部门外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿0*x10.65*x20.55*x350000x1电厂0.25*x10.05*x20.1*x325000x2铁路0.25*x10.05*x20*x30x3新创造价值???

总产出x1x2x3设产出向量为，外界需求向量为，直接消耗矩阵为。则原方程为，其中E-A为列昂捷夫矩阵。投入产出矩阵为由此解得表8

投入产出分析表(单位：元)

消耗部门外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿0365061558250000102088电厂25522280828332500056163铁路2552228080028330新创造价值？？？

总产出1020885616328330表8

投入产出分析表(单位：元)

消耗部门外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿0365061558250000102088电厂25522280828332500056163铁路2552228080028330新创造价值51044140419915

总产出1020885616328330五、投入产出表的编制与若干方法论

投入产出表是投入产出分析的基础。在实际分析和规划宏观经济计划、战略时，必须首先要编制投入产出表，同时，投入产出表编制质量的好坏将直接影响到投入产出模型效果的好坏。。（一）关于部门的分类和组合问题

用投入产出分析方法研究国民经济各部门之间的经济联系，首先需要对国民经济部门进行分类，按照某种原则将国民经济划分为不同的部门。在投入产出分析中部门的划分主要考虑两个问题：

1、以什么作为部门？

2、用什么标准去划分部门？1、以什么作为部门要求各个部门在投入与产出两个方面具有同质性。它要求同一类产品不论是哪个单位生产，都归为同一部门。2、用什么标准去划分部门

假设每个部门只生产一种产品，且只用一种生产技术方式进行生产，凡是使用价值及其消耗构成相同的产品就归在同一个部门，同一部门产品可以相互替代，不同部门的产品不能相互替代。

产品部门的同质性与产品部门划分的粗细程度有密切关系，划分越细同质性越高，划分越粗，同质性就越差。

我国2002年投入产出表。3、部门划分的程度

投入产出表的分类假设与实际的可能之间是相距甚远的，因此，在实际编表过程中存在一个如何搜集资料并对现有资料进行调整的问题，也就是科学地分解、补充、分摊、推算等方法的问题。这样才能从实际出发适应投入产出表的要求。1、数据资料的搜集方向和来源不难理解编制投入产出表最困难、复杂和工作量最大的问题，是取得有关准确、可靠的数据资料。投入产出表数据资料的搜集和填写，一般有两个思路或方向：（二）数据资料的搜集、加工和整理问题

（1）按投入（纵列）方向搜集、推算和填写。亦即主要根据各部门或企业的成本、财务资料来进行。（2）按产出（横行）方向搜集、推算和填写。亦即主要根据各部门的产品分配和流通统计数据来进行。从理论上说，最好的方法是同时两个方向入手、以便于相互核对，经过调整后获得准确性更高的数据。2、编制投入产出表的直接分解法（专业人士，对我们太难）

将现有的企业统计数据调整为按“部门”计算的数据，其基本思路和方法主要是将工业企业的现行统计数据分解为两个部分：

3、编制投入产出表的间接推导法

从现有的国家、省、市、行业等投入产出表导出研究需要的投入产出表。六、应用实例“基于投入产出法的中国出口产品隐含碳测算

”背景：全球气候变暖，中国碳排放总量居世界第一，“中国威胁论”层出不穷。然而中国消耗能源的产出并非全部用于中国国内消费，中国相当部分的排放是为了发达国家的消费，替这些国家承担了排放责任