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文档简介

问题：已知在区间[a,b]上存在唯一解，求第三章

常微分方程的差分方法

即求其近似值§1

欧拉（Euler）法一、Euler公式初值问题，即―――――――近似关系式

格式或折线法的公式

折线法二、隐式格式得

―――――――近似关系式

隐式格式考察方程三、两步格式得

则―――――――近似关系式

两步格式考察方程四、梯形格式

将方程的两端在区间上积分得，

――――――近似关系式

－－－－－－梯形格式格式

将方程的两端在区间上积分得，

――――――近似关系式

－－－－－－格式两端在上求积分，并用求积公式计算积分值，则有――――――近似关系式

其中――――――格式

五、改进的欧拉公式预报

校正－－－－－－嵌套形式－－－－－平均化形式六、方法的分类

其中

法的基本思想

―――――显示格式―――――

隐示格式

线性多步法的一般形式定义1称某个差分格式具有m阶精

度（代数精度），如果它的近似关系

式对于次数的多项式均能准确成立，而对于m+1次式不能准确成立.七、方法的精度分析构造差分方法的基本思想：

1.差商代替导数

2.数值积分

3.预报校正系统(改进)

4.代数精度§5

收敛性与稳定性

一、收敛性

1．定义：对于任何固定的，当步长，有，则称此方法收敛.

2．格式的收敛性这个问题的精确解为－－－－－－模型方程可见格式解此模型方程是收敛的.考察格式的收敛性.此微分方程的格式为从而数值解如果一种差分方法在某节点xn上的值yn有大小为δ的扰动时，于其后的各节点上的值ym产生的偏差都不大于δ，则称这种方法是稳定的.为简单起见，通常只针对模型方程来讨论.二、稳定性先考察显式Euler格式的稳定性.模型方程的Euler公式为即设节点值上有大小为的扰动，此误差的传播使节点值产生大小为的扰动值，若格式的计算过程不再引进新的误差，则所以要使必有此时方法是稳定的.这表明方法是条件稳定的.误差方程

再考察用隐式Euler格式，对模型方程的计算公式为由于,则恒有,故恒有因此，隐式Euler格式是绝对稳定的（无条件稳定的）（对任何h>0）.设节点值上有大小为的扰动，此误差的传播使节点值

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