第二章 7 函数的连续性

二、函数的间断点一、函数连续性的定义§2.8函数的连续性

第二章现实世界中很多变量是连续不断的.如气温、时间、物体的运动等等，都是连续变化的.这种现象反映在数学上就是连续性，函数的连续性是微积分的又一重要概念！可见,函数在点定义:在的某邻域内有定义

,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;一、函数连续性的定义若在某开区间内每一点都连续,则称它在该开区间内连续

,或称它为该开区间内的连续函数.continue例如,在上连续.(有理整函数)又如,

有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有对自变量x0的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点x0连续有下列等价命题:函数y=

f(x)在点x0

连续的两种等价定义:假设函数f(x)在点x0的某临域内有定义.的充要条件是的充要条件是问题：什么样的函数y=

f(x)在点x0

连续？例1.

证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.这说明，对于连续函数，极限符号与函数符号可以交换.例如注意：对于非连续函数，极限符号与函数符号不一定可以交换.若函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,而且则称函数f(x)在在点x=a右连续，在点

x=b左连续,或称它为该区间上的连续函数.闭区间[a,b]上连续.在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义

,则这样的点下列情形之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为函数f(x)的间断点

.在无定义;二、函数的间断点间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在

,称若其中有一个为振荡

,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点

.为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:显然为其可去间断点

.(4)(5)为其跳跃间断点

.1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:在x=0连续函数.答案:

x=1是第一类可去间断点,练习题

3确定函数间断点的类型.解:

间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式一、连续函数的运算法则二、初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第二章定理2.

连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续定理1.

在某点连续的有限个函数经有限次和,差,连续的函数.(利用极限的四则运算法则证明)积,商(分母不为0)

运算的结果,仍是一个在该点例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.单调递增(递减)也连续一、连续函数的运算法则在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.又如,定理3.

（连续函数的复合函数是连续的）若函数在点x0连续，且函数在点u0连续，则复合函数在点x0连续，即定理3可修改为下面求复合函数极限的定理定理4

（复合函数求极限）若函数在点x0有极限，即又函数f(x)点a连续，则复合函数在点x0的但或者在点x0无定义(即x0是可去间断点)

极限存在，为若函数f(x)连续，则∣f(x)∣一定连续.反之，若∣f(x)∣连续，函数f(x)不一定连续.

x

为有理数

x

为无理数例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,补例

.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而例1.

求解:原式例2.求解:令则原式说明:当时,有利用连续函数的复合函数的连续性求极限例3.

求解:原式说明:

若则有例4.

求解:

原式=例5.

设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点

.在点x=1

不连续,

思考与练习续?反例

x

为有理数

x

为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?提示:“