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文档简介

第八节多元函数的极值一、问题的提出二、多元函数的极值和最值三、条件极值拉格朗日乘数法实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出二、多元函数的极值和最值

1、二元函数极值的定义极值点必须是函数定义域的内点.(1)例1例２例３(2)(3)2、多元函数取得极值的条件证仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意：有偏导数的函数极值点必为驻点；但驻点未必是极值点.极值可疑点：驻点或一阶偏导数不存在的点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？极值点也可能是一阶偏导不存在的点.定理2（充分条件）3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.设函数

z=

f(x,y)在闭区域

D上连续,则函数在

D上必有最大值和最小值

.

z=

f(x,y)的最值既可在

D的内点处取得,也可在

D的边界点处取得.设函数

z=

f(x,y)在闭区域

D上连续、可微,且只有有限个极值点,若最值在

D内取得,则最值点必是极值点.求出函数在

D内的所有驻点、不可求偏导的点处的函数值和在

D的边界上的最大值和最小值相互比较，这些值中最大者即为最大值，最小者即为最小值.求最值的一般方法：解如图,先求函数在D内的驻点

求实际问题中，由问题的实际意义可知函数

f(x,y)有最值，且在

D内只有唯一的驻点，则该驻点的函数值就是所求的最大值或最小值.三、条件极值拉格朗日乘数法无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．条件极值：对自变量有附加条件的极值．拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个或约束条件有多个的情况：

解则解可得即可得即课后练习：多元

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