专题04圆锥曲线（难点）（解析版）

专题04圆锥曲线（难点）一、单选题1．已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直线与双曲线的渐近线的位置关系即可求得结果.【解析】由题意得，的斜率为，而的渐近线为，由于直线与双曲线没有公共交点，如图，所以，即，故，即，所以，故，即.故选：C.2．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】如图所示，过点作，垂足为.先证明是等边三角形，再求出，求出的值即得解.【解析】解：如图所示，过点作，垂足为.由题得,所以.因为，所以是等边三角形.因为是的中点，所以，所以，所以.所以.所以所以抛物线的方程是.故选：C3．已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得三点共线，从而求得，由此可求得双曲线的离心率.【解析】设，线段AB的中点，则，两式相减得，所以①，设，线段CD的中点，同理得②，因为，所以，则三点共线，所以，将①②代入得：，即，所以，即，所以，故选：D.4．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得.【解析】解：设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，因为点为线段的中点，所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故.所以的最大值为.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得，，再求最值.5．已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】A【分析】设在轴上方，在轴下方，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，联立直线的方程与椭圆方程可求的坐标，同理可求的坐标，利用三点共线可得，利用离心率的范围可得，从而可判断为锐角.【解析】不失一般性，设在轴上方，在轴下方，设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，则，，，且.又.又直线的方程为，由可得，故，所以，故，同理，故，因为共线，故，整理得到即，若，，因为，，故，所以，故.故选：A.【点睛】思路点睛：与椭圆有关的角的计算，一般利用其正切来刻画，因为角的正切与直线的斜率相关，注意运算结果的准确性.6．是抛物线C：上一定点，A，B是C上异于P的两点，直线PA，PB的斜率，满足为常数，，且直线AB的斜率存在，则直线AB过定点（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，结合题意可得①，设直线AB：并联立抛物线，应用韦达定理及①求参数b关于的关系式，并将直线化为，利用其过定点求x、y，即可确定坐标.【解析】设，则，相减得，，同理得：，

为常数，，，整理有，①设直线AB：，代入抛物线方程得：，，则，代入①，得：，有，代入AB的直线方程，得：，，，直线过定点，则，解得：，即，直线AB所过定点

.故选：C.7．已知椭圆的左、右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若，且是曲线上不同的点，满足，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知条件推导出曲线C2：y2=4x．，，由AB⊥BC，推导出，由此能求出的取值范围．【解析】∵椭圆C1：+=1的左右焦点为F1，F2，∴F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l1：x=﹣1，设l2：y=t，设P（﹣1，t），（t∈R），M（x，y），则y=t，且由|MP|=|MF2|，∴（x+1）2=（x﹣1）2+y2，∴曲线C2：y2=4x．∵A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，∴，，∵AB⊥BC，∴=（x1﹣1）（x2﹣x1）+（y1﹣2）（y2﹣y1）=0，∵，，∴（﹣4）（﹣）+=0，∵y1≠2，y1≠y2，∴，整理，得，关于y1的方程有不为2的解，∴，且y2≠﹣6，∴0，且y2≠﹣6，解得y2＜﹣6，或y2≥10．故选A．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查点的轨迹方程的求法，综合性强，难度大，解题时要熟练掌握圆锥曲线的简单性质，注意函数与方程思想的合理运用．8．在平面直角坐标系中，，，，，角的平分线与P点的轨迹相交于I点．存在非零实数，使得过点A的直线与C点的轨迹相交于MN两点．若的面积为，则原点O到直线MN的距离为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由条件可知点C的轨迹为椭圆，容易验证直线MN不垂直与x轴，设，直线MN的方程为：，与椭圆方程联立，根据的面积为求出t，继而可求出结果．【解析】设点，的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，由，知G为的重心，则G的坐标为，由，知点P在角的平分线上，又角的平分线与P点的轨迹相交于I点，因此点I为的内心，如图，设角平分线交于，则，故，由为角平分线可得，而，故，故即,因此，点C的轨迹是椭圆，点C的轨迹方程为．若直线MN垂直于x轴，则，此时，不符合题意；所以直线MN不垂直于x轴，设直线MN的方程为：，，由，得：，可知：，所以，所以，解得，所以直线MN的方程为：，则原点O到直线MN的距离为：．故选：C．二、多选题9．在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中r1，r2为正常数，满足或，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（

）A．两个椭圆 B．两个双曲线C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线【答案】BCD【分析】两圆圆心距C1C2＝4，当r1+r2＜4，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切；当r1+r2＞4，两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，分别讨论，得出结论．【解析】解：根据题意圆，半径r1，圆，半径r2，所以，设圆P的半径为r，（1）当，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，①均内切时，，此时，当时，此时P点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当时，此时点P在C1，C2的垂直平分线上．②均外切时|PC1|＝r+r1，|PC2|＝r+r2，此时．此时P点的轨迹是与①相同．③与一个内切与一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，|PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r+r2，与圆C2内切，与圆C1外切时，同理得，此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．（2）当，两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，④均内切时轨迹和①相同．⑤均外切时轨迹和①相同⑥与一个内切另一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，|PC1|＝r1﹣r，|PC2|＝r+r2，|PC1|+|PC2|＝r1+r2此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．与圆C2内切，与圆C1外切时，同理得，此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．故选：BCD．【点睛】本题考查动点的轨迹问题，圆与圆的位置关系以及椭圆与双曲线的定义的应用，解答本题的关键是根据动圆圆心与已知圆的圆心距离，的和与差与，间的关系，结合椭圆与双曲线的定义进行分析10．已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（

）A．若直线的斜率为，则B．的最小值为C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为D．若点，则周长的最小值为【答案】BC【分析】首先求出抛物线的解析式，设出MN坐标联立进行求解当时，，进而判断选项A；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为，交y轴于，结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合的周长为进而进行判断选项D即可．【解析】解：由题意得点在抛物线C：上，所以，解得，所以C：，则，设直线：，与联立得，设，，所以，，所以，当时，，故A项错误；，则，当且仅当，时等号成立，故B项正确；如图，过点M作准线的垂线，垂足为，交y轴于，取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为，则，是梯形的中位线，由抛物线的定义可得，所以，所以以MF为直径的圆与y轴相切，所以为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为，又D为MF的中点，所以点M的纵坐标为，又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为，故C项正确；过G作GH垂直于准线，垂足为H，所以的周长为，当且仅当点M的坐标为时取等号，故D项错误．故选:BC．11．已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（

）A．该双曲线的方程为 B．若，则直线的斜率为C．的最小值为25 D．面积的最小值为12【答案】ACD【分析】由题知，，进而可求得双曲线的方程判断A；设直线，由已知可知，联立直线与双曲线方程结合可判断B；利用两点之间的距离公式化简计算可判断C；利用面积公式及弦长公式可求得面积，再利用函数思想求得最值可判断D.【解析】对于A，依题意可知，，，结合，得，，所以双曲线的方程为，故A正确；对于B，易知，抛物线渐近线的斜率为，设，，直线，由直线与双曲线的右支交于两点，所以，从而，联立，得，则，，，若，则，即，解得，不满足，故B错误；对于C，由，则，，所以因为，所以，故C正确；对于D，，设，则，，令，函数在上单调递减，因此，故D正确，故选：ACD．12．已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），外接圆的圆心为H，内切圆的圆心为I，直线PI交x轴于点M，O为坐标原点．则（

）A．存在，使得成立B．的最小值为C．过点I的直线l斜率为，且与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为N，直线ON的斜率为，则D．椭圆C的离心率【答案】ABD【分析】对A，根据表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，进而判断出与共线，最后判断答案；对B，根据，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式求得答案；对C，利用“点差法”即可求得答案；对D，运用角平分线定理即可求得答案.【解析】对A，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，所以与共线，而.A正确；对B，，取线段的中点G，则HG⊥，由平面向量数量积的定义可知，，同理，所以.由基本不等式易得：，当且仅当时取“=”.B正确；对C，设，则，所以，有因为，即.C错误；对D，易知，分别是的角平分线，由角平分线定理可知：.D正确.故选：ABD.三、填空题13．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则的取值范围是___________.【答案】【分析】设，则由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理可得，设，则可得，然后根据正弦函数的性质可得其范围【解析】解：设，由椭圆的定义得①，由双曲线的定义得②，①②得，，①②得，，由余弦定理可得，所以③，设，则，解得所以，当时，最大值为时，的值为2，所以的取值范围是.故答案为：14．已知双曲线：，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取“的周长中点”，满足，同理可在线段上也取“的周长中点”.若的面积最大值为1，则________．【答案】【分析】根据题目中对周长中点的定义，可以列出图像中各线段之间的关系，将两式相加，相减，得到与双曲线定义，焦距相关的式子，结合三角形的面积公式，即可求解【解析】解：由题意作出图形，设双曲线的焦距为,根据题意可得：,①,②①②得：，即所以，所以：①②得：所以,所以,,所以当时,的面积取最大值,所以,所以,故答案为:.15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为A，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是________（1）双曲线的离心率

（2）当点异于顶点时，△的内切圆的圆心总在直线上

（3）为定值

（4）的最小值为【答案】（1）（3）（4）【分析】先依据题给条件求得双曲线的标准方程.求得双曲线的离心率判断（1）；求得△的内切圆的圆心的横坐标判断（2）；对化简整理，并求值判断（3）；求得的最小值判断（4）.【解析】双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的渐近线为，由圆与双曲线的渐近线相切，可得，解之得或（舍），则双曲线，，，（1）双曲线的离心率.判断正确；（2）为双曲线右支上（异于右顶点）一点，设△的内切圆与x轴相切于M点，则，解之得，则切点则△的内切圆的圆心横坐标为，则圆心总在直线上.判断错误；（3）设双曲线右支上的动点坐标为，则又双曲线的渐近线为则，即为定值.判断正确；（4）设双曲线右支上的动点坐标为，则由，可得由，可得不妨令，则由为双曲线右支上的动点，可得，则则，即的最小值为.判断正确.故答案为：（1）（3）（4）16．已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】首先根据已知条件找到，转化为，进而整理，然后把整体看做变量，找到其范围，求出函数的值域即可.【解析】∵直线AB过原点，所以A，B关于原点对称，即又∵，∴四边形为矩形∴则在中，∵，∴∵

∴∵A在第一象限，∴∴∴令，则有，即故答案为：【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．17．已知分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆的面积为，圆的面积为，则______________.①的取值范围是

②直线与轴垂直③若，则

④的取值范围是【答案】②③④【分析】根据双曲线渐近线的倾斜角判断①；利用双曲线的性质和切线长的定义判断②；根据平面几何的知识得后，再根据直角三角形相似求得判断③；根据得范围，再根据基本不等式求解即可.【解析】解：如图，设与圆的切点分别为，由切线的性质得的横坐标相等，，由双曲线的定义得，所以，所以，设，则，解得，即的横坐标，同理可得的横坐标也是，对于①，双曲线的渐近线方程为，倾斜角分别为，故当过且倾斜角满足时，直线与双曲线的右支交于两点，故错误；对于②，由于两点横坐标相等，故直线与轴垂直，正确；对于③，连接，由三角形的内切圆圆心是角平分线的交点得，所以，，，故，即，当时，解得，此时直线轴，，，所以，故正确；对于④，因为，所以，，所以，又因为，故，所以，所以，故正确.故答案为：②③④18．已知曲线：，抛物线：，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________①直线l：是曲线和的公切线：②曲线和的公切线有且仅有一条；③最小值为；④当轴时，最小值为.【答案】①③④【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解；对于②，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于③，利用抛物线的焦半径公式转化求的最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于④，先设动点的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可.【解析】解：选项①，对于曲线，，当时，，，故直线与曲线相切与点；联立，可得，故此时直线与切于点，故直线l：是曲线和的公切线，故①正确；对于②，设公切线分别与切于点，则曲线的切线为：，曲线的切线为，根据与表示同一条直线，则有，解得，令，则有，可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，则有，根据零点存在性定理可知，在区间上存在一个零点，即存在一条公切线故曲线和的公切线有且仅有2条，故②错误；对于③，如图所示，可得，根据抛物线的焦半径公式可得，故有：，设点的坐标为：，则有：，令，可得，再次求导可得：，故在上单调递增，又，可得：当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；故，则，故，故③正确；对于④，当轴时，设，则，则有：，记，则有，令，解得：，故当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增；故有，故，故选项④正确.故答案为：①③④.四、解答题19．已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.(1)求点的轨迹方程.(2)直线l与点的轨迹交于两点，直线的斜率与直线斜率之比为，求证以为直径的圆一定过C的左顶点.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设，由题可得，，根据斜率公式结合条件即得；（2）由题可设直线，方程，与联立可得，进而可得，然后根据斜率关系即得.（1）由题意得，，设，，，则，，即，，得，又∵点在C上，即，得，∴；（2）∵，设直线方程为，则方程为，联立，得（且），设，得，，同理设，得，，，，∴，即，∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点.20．抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．(1)求的准线方程；(2)若是直线上的一动点，过向作两条切线，切点为M，N，当点到直线的距离最大值时，求点的坐标．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标可得到抛物线的焦点坐标，即可得到答案；（2）利用（1）可得到的方程为，对其进行求导得到切线，的方程，通过计算可得到直线的方程，可知直线恒过定点，则到直线的距离达到最大值时，必有，即可得到答案（1）由椭圆可得，所以椭圆的焦点坐标为和，

又因为的焦点在轴正半轴上，所以的焦点坐标为，从而的准线方程为；（2）由（1）知的方程为，即，则，

设，切点，，从而切线方程为，即，

同理切线方程为，

分别代入有，从而和均满足直线方程，所以直线的方程为，即，

又因为在直线上，所以，

所以直线的方程为，从而直线恒过定点，

当到直线的距离达到最大值时，必有，因为，所以，所以，从而此时的坐标为21．从①点关于轴的对称点与、三点共线；②这两个条件中选一个，补充在下面的问题中，并作答．已知为平面直角坐标系的坐标原点，，为坐标平面内一动点，且．(1)求动点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，过点作直线交曲线于、两点，轴上是否存在一定点，使得______？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)条件选择见解析，存在满足题意【分析】（1）设点，根据条件可得出关于、的等式，化简可得出点的轨迹方程；（2）选①，分析可知直线的斜率存在，分两种情况讨论：时，直接验证；时，设直线的方程为，设、，将该直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，写出直线的方程，求出直线所过定点的坐标，综合可得出结论；选②，假设存在满足题意，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设、，将该直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，根据可得出关于的等式，求出的值，即可得出结论.（1）解：设，又、，则，，由，得，化简得，点的轨迹方程为．（2）解：若选①，若直线轴，则该直线与曲线只有一个交点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在．当时，与重合，此时对轴上任意一点，、、三点共线．当时，设直线的方程为，设、，联立得，，则，由韦达定理可得，，则直线的斜率，所以，直线的方程为，化简得，所以，直线过定点，存在满足题意．综上，满足题意的点的坐标为；若选②，假设存在满足题意，若直线轴，则该直线与曲线只有一个交点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设、，联立得，，则，由韦达定理可得，，，所以，，即对任意的恒成立，则.所以，存在满足题意．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.22．已知点A、F分别为双曲线C：的左顶点和右焦点，且点A、F到直线的距离相等．(1)求双曲线C的离心率；(2)设M为双曲线C上的点，且点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为．①求双曲线C的方程；②设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P、Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求值．【答案】(1)2(2)①；②1【分析】（1）根据已知条件列出等式，化简可以得到双曲线C的离心率；（2）①由（1）可得，设，代入双曲线方程，由根据点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为列出等式，结合可求出a的值，从而求得双曲线C的方程；②由①得，设直线l的方程为，，，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示PQ中点坐标，得到线段PQ的垂直平分线的方程，用m表示与，从而得到的值．（1）点A、F到直线的距离相等，得，即，所以c＝2a，所以，即双曲线C的离心率为2．（2）①由（1）c＝2a，所以，所以双曲线C：，渐近线方程为．设，则，即．因为点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为，所以，即，所以，解得a＝1．所以双曲线C的方程为．②由①得F（2，0），设直线l的方程为x＝my＋2，，，，则由得．所以．设线段PQ中点E为，则，，所以线段PQ的垂直平分线的方程为．令y＝0，则，即．所以．由，得，所以，所以，即的值为1．23．已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.①求证：直线恒过定点；②设和的面积分别为，求的最大值.【答案】(1)；(2)①证明见解析；②.【分析】（1）由离心率、焦点三角形最大面积及椭圆参数关系列方程组求椭圆参数，即可得方程；（2）①设为，与椭圆方程联立，根据已知条件，应用韦达定理、两点斜率公式化简求得，即可证结论；②由面积公式与韦达定理化简后转化为函数求最值.（1）由题意，解得，所以椭圆C的方程为．（2）①依题意，设，若直线的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．所以直线斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C联立，整理得：，所以，且因为是椭圆上一点，即，所以，则，即因为，所以，此时，故直线恒过x轴上一定点．②由①得：，所以，而，当时的最大值为．24．已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，求的值；(3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由题意列出关于的方程，解方程求出，即可得出答案.（2）由（1）得到直线AB的方程与椭圆方程联立得到关于的一元二次方程，设，，由韦达定理代入求出，设O点到直线AB的距离为d，求出d，由面积公式即可求出答案.（3）设，，设，由题目条件表示结合定比分点公式由表示，设同理用表示，代入，可求得答案.（1）由题意，得解得∴，故的方程为．（2）由（1）知，∴直线AB的方程为，由即，设，，则，，∴．设O点到直线AB的距离为d，则．∴．（3）设AB直线方程，设，，，，由由定比分点坐标公式：，由于A，C满足椭圆方程，故得两式作差得③，将①②代