安庆市第中学高二上学期期末考试数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精安庆一中2019～2020学年度第一学期高二年级期末考试数学学科（理科）考试试卷一、选择题：本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1。下列四个数中数值最小的是（)A。 B.16 C。 D.【答案】D【解析】【分析】先把每一个选项的数字转化成十进制，再比较大小得解.【详解】因为，，，所以四个数中数值最小的是。故选D【点睛】本题主要考查各种进制和十进制之间的转化,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在中，“”是“”的（)A.充分不必要条件 B。必要不充分条件C.充要条件 D。既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】构造等边等角，利用三边关系等进行判断即可．【详解】当时，如图：

在上截取，则，

∵，，∴,即；

当时，如图：

在内部作，则。

根据三边关系:，所以,即．故“”是“”的充要条件．故选：C。【点睛】本题考查充要条件，涉及三角形三边关系等知识点,属于基础题．判断充要条件的方法是：

①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；

②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；

③若为真命题且为真命题,则命题是命题的充要条件；

④若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件.3。某校从高一（1)班和(2）班某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从（1）班、（2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为（）A。 B. C. D。【答案】C【解析】【分析】由题意从（1）班、(2）班的样本中各取一份,（2）班成绩更好即(2)班成绩比(1）班成绩高，用列举法列出所有可能结果，由此计算出概率．【详解】根据题意，两次取出的成绩一共有36种情况;分别为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、满足条件的有18种，故，故选【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4。已知与之间的一组数据：01231357则与的线性回归方程必过A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出x的平均值，y的平均值,回归直线方程一定过样本的中心点（，），代入可得答案．【详解】解：回归直线方程一定过样本的中心点（，）,，∴样本中心点是（1。5，4）,则y与x的线性回归方程y＝bx+a必过点（1.5，4)，故选B．【点睛】本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质:回归直线方程一定过样本的中心点(,)．5。从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是（）A。“至少有1个白球”和“都是红球”B。“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C.“恰有1个白球"和“恰有2个白球”D。“至多有1个白球”和“都是红球”【答案】C【解析】【分析】结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.【详解】对于选项A，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于选项B,“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于选项C，“恰有1个白球"表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件，符合题意;对于选项D,“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球"不是互斥事件,不符合题意.故选C。【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握，属于基础题.6。过点P(3，﹣4)作圆（x﹣1)2+y2＝2的切线，切点分别为A，B,则直线AB的方程为（）A.x+2y﹣2＝0 B.x﹣2y﹣1＝0 C.x﹣2y﹣2＝0 D。x+2y+2＝0【答案】C【解析】【分析】画出图象，以P为圆心，以PB长度为半径可得到圆P，则圆（x﹣1)2+y2＝2与圆P的公共弦所在直线即为直线AB，利用两点间的距离公式和勾股定理可求出圆P的方程，然后两个方程相减即可得到直线AB的方程.【详解】如图，圆P为以P为圆心，以PB长度为半径的圆，则圆（x﹣1）2+y2＝2与圆P的公共弦所在直线即为直线AB,在中,，则，所以圆P的方程为:，又圆C的方程为：（x﹣1）2+y2＝2，以上两个等式相减可得，，化简得，。故选:C。【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及两圆的公共弦问题，着重考查学生数形结合的思想和转化问题的能力，属中档题.7.若向量与向量的夹角的余弦值为，则A.0 B。1 C。 D.2【答案】A【解析】【分析】利用空间向量夹角余弦公式直接求解．【详解】向量0，与向量1，的夹角的余弦值为，,解得．故选A．【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力,是基础题．8.已知点在圆外，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D。【答案】B【解析】【分析】圆，配方为：，解得m的范围并可得圆心，半径，由于点在圆外,可得，即可得出结果．【详解】圆，配方为：,解得．由圆的方程可得圆心,半径．点在圆外，，解得．故选：B．【点睛】本题考查了圆的方程、两点之间的距离公式、不等式的解法、配方法，考查了推理能力与计算能力，属中档题．9。曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（）A. B。 C。 D。【答案】D【解析】【分析】由曲线方程可知曲线为以为圆心,为半径的圆的的部分，又直线恒过，由数形结合可确定临界状态，分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态时的取值，进而得到结果。【详解】可化为曲线表示以为圆心，为半径的圆的的部分又直线恒过定点可得图象如下图所示：当直线为圆的切线时，可得，解得:当直线过点时，由图象可知，当与曲线有两个不同交点时,故选【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表示的图形和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态,进而利用直线与圆的知识来进行求解.10。已知双曲线1（a＞0,b＞0）的渐近线被圆C:x2+y2﹣12x＝0截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C的圆心，则该双曲线的方程为(）A。 B。C. D。【答案】B【解析】【分析】求得数显的渐近线的方程，以及圆的圆心和半径,运用直线和圆相交的弦长公式,以及点到直线的距离公式可得的关系式，由题意可得，再由的关系可得，即可求得双曲线的方程，得到答案。【详解】双曲线的渐近线方程为，圆的圆心,半径，见解析被圆截得的弦长为8，可得，解得,即，双曲线的焦点为的圆心，即，则，，可得双曲线方程为。故选B。【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用,同时考查了直线与圆的位置关系的应用，着重考查了方程思想和运算能力,属于基础题.11.已知分别为椭圆的左右焦点,为椭圆上的点，为坐标原点，且，，则该椭圆的离心率为（）A。 B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义和勾股定理计算PF1•PF2,再结合三角形的面积即可求出b的值．【详解】设PF1＝m，PF2＝n，则由椭圆的性质可得m+n＝2a，且m=3n故，由勾股定理可得m2+n2＝4c2，故故故选：B．【点睛】本题考查了椭圆的定义和简单性质，考查离心率求解，属于中档题．12.已知椭圆，三角形的三个顶点都在椭圆上,设它的三边中点分别为，且三边所在直线的斜率分别为（均不为0），为坐标原点，若直线的斜率之和为1，则（）A. B。 C. D。【答案】A【解析】【分析】设出ABC的坐标，通过平方差法转化求解斜率可得，同理可得,，然后推出结果即可.【详解】由题意知:，设，，，则：,，两式作差得，则，,同理可得，；所以，故选:A。【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力和整体代换的思想，属于中档题。二、填空题13。已知抛物线:焦点为，是抛物线上一点且点在第一象限，若,则点的坐标为__________．【答案】（3，2）【解析】【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y.【详解】设该点坐标为（x，y)根据抛物线定义可知x+2＝5，解得x＝3，代入抛物线方程求得y＝±2，∵P在第一象限，∴P(3,2）．故答案为（3，2)．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决。14.平面α的法向量=(x,1,—2),平面β的法向量=,已知α∥β,则x+y=______。【答案】【解析】分析】由α∥β，可得∥．利用向量共线定理即可得出．【详解】因为α∥β，所以u∥v.则,即故x+y=。【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15。已知菱形ABCD的边长为4，,若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率______。【答案】【解析】【分析】菱形ABCD内部,到顶点距离为1的点在以四个顶点为圆心的四个扇形内，这四个扇形合起来是一个圆，由此可求得所在区域面积．再计算出菱形面积后可得概率．【详解】故答案为：．【点睛】本题考查几何概型,解题关键是把四个扇形合成一个圆．从而可求得面积，求得概率．16。已知点是抛物线的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点,且，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为______.【答案】【解析】【分析】由点坐标可确定抛物线方程，由此得到坐标和准线方程；过作准线的垂线，垂足为,根据抛物线定义可得，可知当直线与抛物线相切时,取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标,根据双曲线定义得到实轴长,结合焦距可求得所求的离心率。【详解】是抛物线准线上一点抛物线方程为，准线方程为过作准线的垂线,垂足为，则设直线的倾斜角为，则当取得最小值时，最小，此时直线与抛物线相切设直线的方程为,代入得：，解得：或双曲线的实轴长为,焦距为双曲线的离心率故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当取得最小值时，直线与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标。三、解答题17。已知圆及直线：。(1）证明:不论取什么实数,直线与圆C总相交;（2)求直线被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程。【答案】（1)证明见解析;(2），.【解析】【分析】（1）根据直线过的定点在圆内,得出直线与圆总相交．

(2）作图分析出当直线与半径CM垂直与点M时｜AB｜最短，利用勾股定理求出此时|AB|的长，再运用两直线垂直时斜率相乘等于−1，求出此时直线的方程．【详解】解：(1)证明：直线的方程可化为，由方程组，解得所以直线过定点M(3，1)，圆C化为标准方程为,所以圆心坐标为（1，2),半径为5，因为定点M（3，1)到圆心(1,2)的距离为√，所以定点M(3，1)在圆内，故不论m取什么实数，过定点M（3，1)的直线与圆C总相交;（2)设直线与圆交于A、B两点，当直线与半径CM垂直与点M时，直线被截得的弦长|AB｜最短，此时，此时，所以直线AB的方程为,即.故直线被圆C截得的弦长的最小值为,此时的直线的方程为。【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，当直线与半径CM垂直于点M时|AB|最短是解题的关键,是中档题．18。某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分),并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中x的值,并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表);（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在的学生至少有1人被抽到的概率。【答案】（1），74，；（2）1200;（3）.【解析】【分析】（1）根据频率和为可求得第第组的频率，由此求得的值；根据频率分布直方图中平均数和中位数的估计方法可计算得到结果；（2）计算得到名学生中成绩不低于分的频率，根据样本估计总体的方法，利用总数频率可得所求人数;(3)根据分层抽样原则确定、和种分别抽取的人数，采用列举法列出所有结果，从而可知成绩在的学生没人被抽到的概率；根据对立事件概率公式可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图可得第组的频率为：估计所抽取的名学生成绩的平均数为：由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为中位数在第组中设中位数为,则有：，解得：即所求的中位数为(2)由（1)知：名学生中成绩不低于分的频率为:用样本估计总体，可以估计高三年级名学生中成绩不低于分的人数为：(3）由（1）可知，后三组中的人数分别为,，这三组中所抽取的人数分别为，,记成绩在的名学生分别为,成绩在的名学生分别为,成绩在的名学生为，则从中随机抽取人的所有可能结果为：,，,，，，，,，，，，,，,，，,，,共种其中成绩在的学生没人被抽到的可能结果为，只有种，故成绩在的学生至少有人被抽到的概率：【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、频数、估计平均数、中位数的问题，分层抽样、古典概型概率问题的求解;考查学生对于统计和概率部分知识的综合掌握情况，属于常考题型。19.已知p：，q：.其中。（1）已知,若为真,求的取值范围;(2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围。【答案】（1）；（2).【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法分别求得；（1）根据复合命题真假性可知均为真，由此可得范围;（2）由与关系可知是的充分不必要条件，由推出关系可构造不等式组,解不等式组求得结果。【详解】由得：由且得：（1）当时，为真都为真,即的取值范围为（2）是的充分不必要条件是的充分不必要条件，,解得:实数的取值范围为【点睛】本题考查根据复合命题真假性、充分条件与必要条件求解参数范围的问题，涉及到一元二次不等式的求解；关键是能够通过复合命题真假性得到两个命题的真假性，根据充分条件与必要条件得到推出关系.20。如图,在正四棱柱中，,,点E在上，且.（1）求异面直线与所成角的正切值：（2）求证：平面DBE；（3）求二面角的余弦值。【答案】（1）;（2）证明见解析；（3)。【解析】【分析】（1)根据可知即为所求异面直线所成角，根据直角三角形中的长度关系可求得结果;（2）以为原点建立空间直角坐标系，根据数量积的坐标运算可证得，,由线面垂直判定定理可证得结论;（3）由（2）知为平面的一个法向量,求得平面的法向量后，可根据向量夹角公式求得，由二面角的大小可确定最终的余弦值.【详解】（1）即为异面直线与所成角在中，，即异面直线与所成角的正切值为（2）以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系则,，，，，,，，又,平面平面（3）由（2）知:向量为平面的一个法向量设平面的法向量则，令,则，二面角为锐二面角二面角的余弦值为【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解、线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是熟练掌握空间向量法求解立体几何中角度问题的方法，属于常考题型.21.设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率