专题13圆锥曲线中的“隐圆”问题（学生版）

专题13：圆锥曲线中的“隐圆”问题<<<专题综述>>><<<专题综述>>>隐圆问题是指在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．隐圆问题近年常出现在高考命题中，这类问题具有很强的探索性，解题时往往需要综合运用动态思维、数形结合、特殊与一般等数学思想方法。常见隐圆涉及定长圆、直径圆、垂直中点圆、阿氏圆、蒙日圆，还有其他形式的伴随隐圆。本专题重点探讨阿氏圆、蒙日圆及特殊条件伴随隐圆问题。<<<专题探究>>><<<专题探究>>>题型题型一：阿氏圆阿氏圆：全名为阿波罗尼斯圆，因古希腊著名数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，故由此而得名。在平面上给定相异两点A,B，设点P在同一平面上且满足PA=λ|PB|，当λ>0且λ≠1时，点P特别地，当λ=1，点P的轨迹是线段AB的中垂线。例1(2023·湖北省武汉市模拟)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点Q、P的距离之比MQMP=λ,λ>0,λ≠1,那么点Mx2+y2=4，定点Q为x轴上一点,P-1,0且λ=2A.26 B.27 C.210 【思路点拨】本题考查与圆相关的轨迹问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，考查数形结合思想．令2MP=MQ，则2MP+例2(2022·安徽省合肥市模拟)在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方形DCC1D【思路点拨】本题考查立体几何中动点轨迹问题,需要学生利用转化与化归思想将立体几何问题转化为平面几何问题求解,题目要求三棱锥P-BCD的体积的最大值，由于△BCD面积已经是定值了,所以只需要使三棱锥P-BCD高最大即可,即点P到平面BCD的距离最大.首先可以根据题目中所给的条件分析出△APD∽△MPC,从而得到PDPC=ADMC=2,因为PDPC=2为定值，由此可以联想到阿波罗尼斯圆，则点P的轨迹是个圆,但是由于限定了点练1(2022·江苏省南京市模拟)阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，AC=6，sinC=2sinA，则△ABC的面积最大值为

．【思路点拨】本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力．△ABC，AC=6，sinC=2sinA即ca=2.根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹为圆(去掉两个点练2(2022·江苏省无锡市模拟)已知圆C：(x-2)2+y ​2=2，直线l：y=k(x+2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若PA=2【思路点拨】本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力．

设P(x,y)，由PA=2PT，求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线题型二：题型二：蒙日圆在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．如图1，设椭圆的方程为x2则椭圆两条互相垂直的切线PA、PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2蒙日圆的性质：如下图所示，延长PA、PB与蒙日圆分别交于点M、N，OP与AB交于点Q（1）M、（2）MN//（3）kOP例3(2022·浙江省宁波市期末)法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父．他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根．已知在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，离心率e=12，左、右焦点分别是(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；(2)设P是椭圆C外一动点(不在坐标轴上)，过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为-12，求【思路点拨】本题考查了椭圆的标准方程以及直线和椭圆的位置关系，是一道难题．

(1)根据已知条件求出b，c，从而求出椭圆C，从而求出蒙日圆方程；

(2)设

Px0,y0

，再求出x练3(2022·山东省青岛市模拟)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆,若椭圆C：x2a+2+y2aA.1 B.2 C.3 D.4【思路点拨】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得a的值．练4(2022·湖北省武汉市联考)法国数学家加斯帕尔⋅蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆(1)求双曲线C的标准方程;(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．【思路点拨】本题考查蒙日圆，考查直线与双曲线的综合应用，考查定值问题，属于较难题．

(1)求出a，b，即可得双曲线C的标准方程;

(2)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，联立双曲线方程，利用韦达定理和数量积的坐标运算求出当m=51k时，直线l的方程为y=k(x+51)，过定点M(-51,0).当直线l的斜率不存在时，由对称性，不妨设直线DE:y=x+3，联立直线与双曲线方程，求出直线l过定点M(-51,0)，进而可求|GH|为定值．题型三：题型三：特殊条件下的伴随圆特殊条件下的伴随圆包括：1.利用圆的性质（动点到两定点的夹角为直角）可确定隐圆.2.已知两定点A,B，动点P满足PA⋅PB为定值可3.已知两定点A,B，动点P满足|PA|2例4(2022·福建省宁德市期中)已知A，B为圆O:x2+y2=4上的两动点，|AB|=23，点P是圆C:(x+3)A.10 B.12 C.14 D.16【思路点拨】由于|PA+PB|=|2PM|,由垂径定理：|OM|=4-3=1，于是M例5(2022·江苏省南京市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2+y（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M,N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）若圆C上存在两个点P，使得PA2+PB【思路点拨】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆、圆与圆的位置关系．

(1)根据题意，由AB的坐标求出AB的方程以及斜率，进而求出圆心C到直线l的距离，利用直线与圆的位置关系和勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；

(2)根据题意，设P(x,y)，由PA2+PB2=a分析可得x2+y2-2y+3=a2，即使得PA2+PB2=a练5(2023·江西省宜春市模拟)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P使得∠APB=90​∘【思路点拨】根据两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，再找出圆上的点到原点的距离的最大值，根据圆中直角所对的弦是直径得出△ABP的外接圆半径是m，即PO=m，从而得出m的最大值．练6(2023·江苏省徐州市模拟)在平面直角坐标系xOy中，A(-12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x ​2+y 2=50上,若PA【思路点拨】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，及数形结合思想的运用，属于中档题．

利用平面向量数量积坐标运算，结合圆与圆位置关系数形结合可得．<<<专题训练>>><<<专题训练>>>1.阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点的轨迹，已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinB，acosB+bcosA=3，则A.3 B.33 C.6 D.2.19世纪法国著名数学家加斯帕尔⋅蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆(x-3)2+(y-b)2=9与椭圆xA.±3 B.±4 C.±5 D.±23.(多选)若平面上动点P到两定点A，B的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被后人称为阿波罗尼斯圆；在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(2,0)，若动点P(x,y)满足|PB|=2|PA|，其轨迹为圆O(如图所示)，则A.∠APB不可能等于90°

B.直线PB的斜率的取值范围为[-33,33]

C.当点P不在x轴上时，△PAB面积的最大值为34

D.当点P4.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点M，N的距离之比为定值λ(λ≠1,λ>0)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，M(-2,0)，N(4,0)，点P满足|PM||PN|=12.则点P的轨迹方程为

;在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且SA=3，BC=6，AC=2AB5.已知圆O：x2+y2=5，A、B为圆O上的两个动点，且AB=2，M为弦AB的中点，C22,a，D22,a+2.当A、B