斐波那契数列与黄金分割

斐波那契数列与黄金分割1

意大利的数学家列昂那多·斐波那契在1202年研究兔子产崽问题时发现了此数列．设一对大兔子每月生一对小兔子，每对新生兔在出生一个月后又下崽，假若兔子都不死亡．问：一对兔子，一年能繁殖成多少对兔子？（取自斐波那契的《算盘书》（1202年））一、斐波那契数列2

题中本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子．求的是大兔子与小兔子的总和．

列表考察兔子的逐月繁殖情况月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ大兔对数1123581321345589144小兔对数01123581321345589

到十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对3月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ大兔对数1123581321345589144小兔对数01123581321345589从上表看出：①每月小兔对数=上月大兔对数。②每月大兔对数等于上个月大兔对数与小兔对数之和．综合①②两点，我们就有：每月大兔对数等于前两个月大兔对数之和．

如果用un

表示第n

月的大兔对数，则有un=un-1+un-2,n>2每月大兔对数un

排成数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，•••此数列称为斐波那契数列．4此数列有下述递推公式：

u1=1，u2=1，un=un-1+un-2

，n>2．斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，•••上述数列中的每一个数称为斐波那契数．用数学归纳法，可推得斐波那契数列的通项公式：5斐波那契数列前一项与后面一项的比的极限：这个数正是有名的黄金分割数．6数学的各个领域常常奇妙而出乎意料地联系在一起．斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命．发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现．7自然界中的斐波那契数花瓣数中的斐波那契数大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数．例如，兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣．8向日葵花盘内葵花子排列的螺线数．9向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数．10证券投资的艾略特“波浪理论”

1934年美国经济学家艾略特在通过大量资料分析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并提出了颇有影响的“波浪理论”．该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变化的图象）上的8（或5）个波组成，其中5上3下（或3上2下），如图，无论从小波还是从大波波形上看，均如此．注意这儿的2、3、5、8均系斐波那契数列中的数．

同时，每次股指的增长幅度常循斐波那契数列中数字规律完成．比如：如果某日股指上升8点，则股指下一次攀升点数为13；若股指回调，其幅度应在5点左右．5、8、13为斐氏数列的相邻三项．11二、黄金分割著名天文学家开普勒说：几何学里有两个宝库，一个是毕达哥拉斯定理，一个是黄金分割．前者可以比作金矿，后者可以比作珍贵的钻石矿．12两千年前，希腊数学家考虑如下问题：设线段AB

，在AB

上找一点C

，使得令于是有可化为一元二次方程该方程的根为13于是其倒数即C

点约在AB

长度的0.618

的位置上．希腊数学家把这个几何问题里的点C

叫作黄金分割点，这个比值

称为黄金分割数．14以AB

，AC

为边作矩形，这个矩形称为黄金矩形．国旗所在的矩形是黄金矩形．15矩形长×宽宽与长之比18×55:8=0.625213×88:13=0.615321×1313:21=0.619434×2121:34=0.618所选的四个矩形的长与宽，它们的比都接近于0.618，即都接近黄金矩形．19世纪中叶，德国心理学家费希纳曾经做过一次试验．他召开一次“矩形展览会”，会上展出了他精心制作的各种矩形，要求参观者投票选择各自认为最美的矩形．结果以下四种矩形入选：16美丽的五角星，五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的．17黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割．

0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了恰到好处的“合谐”．18随着人类对自然界（动物、植物、宇宙、人类自身）的认识的日益深入，人类关于“黄金分割比”这一神奇比例的了解也越来越丰富，人们发现自然界中这一神奇比例几乎无所不在。从低等的动植物到高等的人类，从数学到天文现象中，几乎都暗含着这种比例结构。19黄金分割大量地出现在绘画艺术中，并形成了黄金分割学派，其中包括达·芬奇、A.丢勒、G.西雷特等许多画家．

15世纪和16世纪早期，几乎所有的绘画大师都试图将绘画中的数学原理与数学和谐和主要目的结合起来．米开朗琪罗、拉斐尔及其他许多艺术家都对数学有浓厚的兴趣，而且力图将数学应用于艺术．20例如，画家波提切利的名作“维纳斯的诞生”女神维纳斯从爱琴海中浮水而出，花神、风神迎送左右的情形．画中也包含了黄金分割．21画家A.丢勒寻求将人体的形状归结为数学原理，这在他的数以百计的素描中得到证明．A.丢勒的人体素描．22达·芬奇是一位对科学有广泛研究的学者，他对人类身体的各种比例进行了具体测量，1409年，根据维特鲁维之理论创作了《人体比例图》（StudyofHumanProportionsAccordingtoVitruvious）。而在《论绘画》一书达·芬奇指出：“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上，各特征必须同时作用，才能产生使观众如醉如痴的和谐比例。”在这一时期，艺术家们自觉地被黄金分割的魅力所诱惑而使数学研究与艺术创作紧密地结合起来，并对后来的形式美学与实验美学产生了巨大影响。黄金分割出现在达·芬奇的许多著名作品中，如《蒙娜丽莎》、《最后的晚餐》和未完成的作品《圣徒杰罗姆》（SaintJerome）。应当认为这不是偶然的巧合，而是达·芬奇有目的地使画像与黄金分割相一致。因为在达·芬奇的著作和思路中，处处表现出对数学应用的强烈兴趣。达·芬奇说过：“没有什么能不通过人类的探求而称之为科学的，除非它是通过数学的解释和证明的途径。”23达·芬奇自画像24

达·芬奇广泛研究了人类身体的各种比例，右面一张图画的是他对人体的详细研究，而且图中标明了黄金分割的应用。这是一张他为数学家Ｌ·帕西欧里的书《神奇的比例》所作的图解，该书出版于１５０９年。达·芬奇与黄金分割2526画中耶稣位于正中央，双手摊开，两臂与周围的空间形成了一大一小两个倒三角形。27未完成的作品《圣徒杰罗姆》（SaintJerome），该画约作于公元1483年。在作品中，圣徒杰罗姆的像完全位于画上附加的黄金矩形内。28神奇的“黄金分割比”自古至今也出现在许多伟大画家的著名作品中，如米开朗基罗的《圣家庭》（HolyFamily）就是典型的例子，它的人物构图布置中包含着一个“黄金五角星”。29拉斐尔的《刑罚》(Crucifixion)人物布局以“黄金三角形”和“黄金五角星”展开。30现代绘画中超现实主义画家达利（SalvadorDali，1904-1989）的《最后的圣餐》（TheSacramentoftheLastSupper）最能说明问题，整幅画面置于一个“黄金矩形”之中，而人物的布置也包含着黄金比例，餐桌的上方是一个巨大的十二面体的一部分，这个多面体包含12个符合黄金比例的五边形。31黄金分割与人体关系人们发现，在人体中也包含着多种“黄金分割”的比例因素，至少可以找出18个“黄金点”（如：脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至颏下的分割点等）

15个“黄金矩形”（如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等）、6个“黄金指数”（如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等）、3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等）。人的面部就包含多个“黄金矩形”，如眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。

32健美的人体（如古希腊雕塑《米罗的维纳斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据《米罗的维纳斯》身材各部分的尺寸。她的体形符合希腊人关于美的理想与规范，身长比例接近所追求的人体美标准，即身与头之比为8∶1。由于8为3加5之和，这就可以分割成1∶3∶5，这就是“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则。）亦有多组比例符合黄金分割比。如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割。3334高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹．画家们发现，0.618:1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美．难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖．35人的生命的生物和生理现象中也包含着这个神奇的比例。如：当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服．人的正常体温是36.5℃，对多数人而言，最感快意的温度是22－23℃，同人的体温之比大约是在0.618左右；医学专家也观察到，当人的脑电波频率下限是8赫兹，而上限是12.9赫兹，上下限的比率接近于0.618时，乃是身心最具快乐欢愉之感的时刻．正常人的心跳在心电图上也显示出T波出现的位置恰好大约是一次心跳节拍的“黄金分割”位置上（如图）．组成人体含量最多的物质是水，成年人体水分占体重的0.618．静脉和毛细血管中含血量约占全血量的0.618，一次最大呼气量占肺部气体总量的0.618．我们正常血压的舒张压与收缩压的比例关系，我们正常睡眠时间与活动时间的比例关系也都符合这一比例．36还有人类的消化道总长9米，其0.618处为5.5米，正是小肠的长度，恰合黄金分割率．而营养物质的消化吸收，就在小肠进行．这一特点，适合以素食为主的混合膳食结构，素食应占食物总量的0.618．蛋白质是最重要的营养物质，它由20个氨基酸组成，人体在合成自身蛋白质时，20个的0.618，即12个氨基酸能由机体自身细胞生产，只有另外8个氨基酸要由食物来供给．这8个氨基酸含有的丰富的蛋白质称为优质蛋白质，如动物性食物和豆类．膳食结构中，优质蛋白应占总蛋白质的0.618，才能保证机体的正常新陈代谢，又恰合黄金分割率。社会科学家长期的研究与统计结果也表明,如果人的平均寿命是70岁的话,那么成年时期的顶峰年龄将是45岁,二者的比例关系接近0.618．人在45岁左右是最富有创造力的年龄，人们经过几十年的艰苦创业与拼搏,可以积累出最大的精神与物质财富．人在此时最成熟,社会阅历最丰富．37可见，黄金比率在人的世界（无论是生物环境还是社会环境）中几乎是无所不在的．最有意味的是，在人的生命程序DNA分子中，也包含着“黄金分割比”．它的每个双螺旋结构中都是由长34个埃与宽21个埃之比组成的，当然34和21是斐波那契系列中的数字，它们的比率为1.6190476，非常接近黄金分割的1.6180339。这是否说明黄金分割律是比DNA中的遗传密码更基本的东西？因为承载DNA的结构——双螺旋结构——也遵循黄金分割律．黄金分割律也许是我们的宇宙的DNA中的遗传密码？38在植物中，无论是挺拔魁梧的乔木还是矮小秀雅的灌木，它们所形成的直的或横的长方形常常接近黄金分割比例。诸如牡丹、月季、荷花、菊花等观赏性花卉含苞欲放时，花蕾呈直的椭圆形，且长短轴的比例大致接近于黄金分割。在有些植物的茎上，两张相邻的叶片的夹角是137°28´．你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，测量，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角．如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度．植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的．叶子的排布，多么精巧！39叶子间的137.5°角中，藏有什么“秘密”呢？我们知道，一周是360°，

360°－137.5°=222.5°

137.5°∶222.5°≈0.618．

叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618．有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的．40叶子中的黄金分割图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618．41在动物界，形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割如：蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。0.618随处可见!42螺线中的秘密4344既然“黄金分割”对人类的审美标准有如此重要的影响，就不难理解为什么艺术家、建筑家、设计师等在自己的艺术与设计中总是钟情于它的应用了。“黄金分割”无论在古代还是现代世界的艺术乃至实用品中的普遍应用不胜枚举。以建筑艺术为例，世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割比”。无论是古埃及的金字塔、古希腊的帕特农神殿、印度泰姬陵、中国故宫、法国巴黎圣母院这些著名的古代建筑，还是遍布全球的众多优秀近现代建筑，尽管其风格各异，但在构图布局设计方面,都有意无意地运用了黄金分割的法则,给人以整体上的和谐与悦目之美。在一些摩天建筑中使用“黄金分割点”进行处理，能使平直单调的塔身变得丰富多彩；在这类高层建筑物的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔、当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔（553.33米），都是根据黄金分割的原则来建造的。45上海的东方明珠广播电视塔，塔身高达468米。为了美化塔身，设计师巧妙地在上面装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使笔直的塔身有了曲线变化。更妙的是，上球体所选的位置在塔身总高度5∶8的地方，即从上球体到塔顶的距离，同上球体到地面的距离大约是5∶8这一符合黄金分割之比的安排，使塔体挺拔秀美，具有审美效果。

46古希腊帕提侬神庙是举世闻名的完美建筑，它的高和宽的比是0.618.建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、美丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、美丽．连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目．47摄影中常用“黄金分割”来构图.天地天海、地风景照片中，地平线位置的安排48黄金分割在优美的音乐和诗歌中同样可以找到．据说，公元前6世纪，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前580-500年)有一天路过一个铁匠铺，被里面清脆悦耳的打铁声吸引住了，驻足细听，凭直觉认定这声音有“秘密”．他走进铺里，仔细测量了铁砧和铁锤的大小，发现它们之间的比例近乎于1∶0.618．后来音乐家们则是有意识地利用这种比例来“美化”其作品．在一些乐曲的创作技法上，将高潮，或者是音程、节奏的转折点安排在全曲的黄金分割点0.618．例如要创作89节的乐曲，其高潮便在55节处．49“黄金分割比”在日常生活中有广泛的应用。例如，所有让人感到赏心悦目的矩形，包括电视屏幕、写字台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比大多为0.618。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例，都恪守0.618比值。在晚会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台宽度的0.618之处；二胡要获得最佳音色，其“千斤”则须放在琴弦长度的0.618处。小说、戏剧的高潮在整个作品的0.618处较好。在消费领域中也可妙用0.618这个“黄金数”，获得“物美价廉”的效果。据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价格再乘以0.618，即为挑选商品的首选价格。甚至在买卖股票的操作中也能以黄金分割线作为指导（股价极容易在由0.382，0.618，1.382，1.618这四个数产生的黄金分割线处产生支撑和压力）。内含“黄金分割比”的五角星形状也非常耐人寻味，世界上有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国旗上上的“星”都是五角形的星。50只要留心，到处都可发现黄金数这位美的“使者”的足迹．黄金分割规律还为直接最优化方法的建立提供了依据。优选法是一种求最优化问题的方法，即怎样才能使产量最高、质量最好、消耗最少．人们通过大量试验来寻找最优解．如何安排试验，较快较省地求得最优解，这就是直接最优化方法．如果将实验点定在区间的0.618左右，那么实验的次数将大大减少．实验统计表明，对于一个因素问题，用“0.618法”做16次实验，就可以取得“对分法”做2500次试验所达的效果。1953年，美国的基弗提出“0.618法”获得大量应用，特别在工程设计方面应用最多，成效最佳．对黄金数的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用．美的东西与有用的东西之间，常常是有联系的黄金数0.618，真是一件造福人类的绚丽瑰宝！51

数学中，“从不同的范畴，不同的途径，得到同一个结果”的情形是屡见不鲜的．这反映了客观世界的多样性和统一性，也反映了数学的统一美．黄金分割点0.618的得到，是一个能说明问题的例子．三、数学的统一美52从不同途径导出黄金比：

1．黄金分割：线段的分割点满足2．斐波那契数列前一项与后面一项的比的极限：53

3．方程