数字信号处理课件

绪论一.数字信号处理的基本概念1.信号2.信号分类3.模拟信号4.数字信号5.二者关系6.数字信号处理DSP(DigitalSignalProcessing)是近几十年发展起来的一门新兴学科。

DSP是利用计算机或专用设备，以数值计算的方法对信号进行采集、变换、综合、估值、识别等加工处理，借以达到提取信息和便于应用的目的的一门学科。1、信号信号是传输信息的函数，是信息的物理表现形式；而信息是信号的具体内容，通俗地讲，信息就是有用的消息。信息是一个十分抽象而又复杂的概念，它包含在消息之中，是通信系统中传送的对象，是客观世界的第三要素；其特点是无形的，可共享的，无限的，可度量的。消息不等于信息，同一消息可含有不同的信息量。2、信号的分类依载体：电信号、磁信号、声信号、光信号、热信号、机械信号。依变量个数：一维、二维、多维（矢量）信号。依周期性：周期信号x(t)=x(t+kT);非周期信号。依是否为确定函数：确定信号；随机信号。依能量或功率是否有限：能量信号；功率信号。无论是用模拟方法还是用数字方法，都是将所研究的信号先变成电信号，即所谓模拟信号。因此，可把信号分为模拟信号和数字信号两类。3.模拟信号用电压或电流去模拟其他物理量，如声音、温度、压力、图象等所得到的信号。4.数字信号在时间上和幅度上都是离散的信号。它可由模拟信号经离散和量化得到，亦可客观存在。本质上，它只是一系列的“数”。5.两者关系模拟经A/D变换得数字；数字经D/A变换得模拟。6.数字信号处理通俗地讲，处理就是加工，因数字信号常表示成序列，加工实际上就是相加、相乘和位移。二.数字信号处理的学科概貌（研究内容）1.信号的采集

实现信号的数字化，包括取样、量化。2.信号的分析

信号描述与运算，各种变换，时、频域分析。3.系统分析线性系统与非~，时变系统与非~，线性时（移）不变系统，因果系统与非~，线性时（移）不变因果系统。4.快速算法

FFT,WFT,,快速卷积、相关算法。5.数字滤波技术(1)IIR数字滤波器的分析与设计；(2)FIR数字滤波器的分析与设计。6.信号的频谱分析与估值确定信号：谱分析；随机信号：相关计算、谱估计。7.特殊算法反卷积，信号重构。8.数字信号处理的实现(1)在通用微机上，用软件实现;(2)用单片机实现;(3)专用数字信号处理芯片DSP。三.数字信号处理系统的基本组成1.框图前置预滤波器A/D变换器数字信号处理器D/A变换器模拟滤波器y(n)y(t)2.各单元的作用前置预滤波器：滤除高于某一频率的信号，防混迭。

A/D变换器：完成抽样和量化，实现数字化。如下图所示：-30123435474nT2T-1数字信号处理器：y(n)01234nD/A变换器：模拟滤波器：0y(t)四.数字信号处理的特点精度高模拟系统：由元器件确定（10-3）；数字系统：由字长确定。2.灵活性高数字系统的性能主要由乘法器的系数决定。3.可靠性高只有“0”和“1”两个电平，受温度噪声影响小。4.容易集成规范性高，电路参数要求不高。5.时分复用数字信号处理器同步多路开关多路开关输出输入......6.可获得高性能指标如频谱分析：模拟方法10Hz;数字方法10-3Hz.7.便于二维与多维处理用存储一祯或数祯图象信号，实现二、多维处理。8.速度不够高，工作频率也不够高几十MHz以下。五.本课程的特点1.数学工具多微积分，概率统计，随机过程，高等代数，数值分析，积分变换，复变函数等。

2.要求基础强网络理论、信号与系统是本课程的理论基础。3.与其它学科密切相连与最优控制、通信理论、故障诊断、计算机、微电子技术不可分，又是人工智能、模式识别、神经网络等新兴学科的理论基础之一。六.讲授内容与参考书

经典的：1.A.V.Oppenheim，“DigitalSignalProcessing”,1975.中译本有多种2.W.D.Stanley,“DigitalSignalProcessing”,1975.中译本常迥译1979.3.黄顺吉等，数字信号处理及其应用,国防

工业出版社，19824.邹理和，吴北熊等，,数字信号处理,上、下册,国防工业出版社,1985.

5.何振亚，数字信号处理的理论与应用，

上、下册，人民邮电出版社，1985.

研究生用：6.胡广书，数字信号处理--理论算法与实现清华大学出版社，1997.7.张贸达，现代信号处理，清华大学1996.8.王宏禹，随机数字信号处理，国防工业出版社，1994.9.程乾生，信号数字处理的数学原理，石油工业出版社（第2版），1993.

较新的：

10.吴镇扬，数字信号的原理与实现，东南大学，1997.11.赵尔沅等，数字信号处理实用教程，人民邮电，1999.12.姚天任等，现代数字信号处理，华中理工，1999.13.丁玉美等，数字信号处理，西安电子科大，（第2版），2001.14.A.V.奥本海姆，R.W.谢弗著，黄建国等译，离散时间信号处理，科学出版社，2000.英文原版：

S.J.Orfanidis,Introductiontosignalprocessing,Copyright1996byPrenticeHellComp.S.K.Mitra,Digitalsignalprocessing–acomputer-basedapproach,secondedition,Copyright2001byMcGraw-HillComp.第二章Z变换§2-1引言信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，近代时域分析法，卷积积分。2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程的求解。二.变换域分析法1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域分析。2.离散时间信号与系统：

Z变换，DFT(FFT)。

Z变换可将差分方程转化为代数方程。§2-2Z变换的定义及收敛域一.Z变换定义：序列的Z变换定义如下：*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。二.收敛域1.定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。3.一些序列的收敛域(1).预备知识阿贝尔定理:如果级数，在

收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收敛。|z+|为最大收敛半径。同样,对于级数，满足的z，

级数必绝对收敛。|z_|为最小收敛半径。0n2n1n(n)...(2).有限长序列x(n)n0n1..1...3.右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为

Rx-<|z|≤∞;两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞;

Rx-为最小收敛半径。(4)因果序列它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为：(5)左边序列x(n)0n

n2

第二项为有限长序列,其收敛域;

第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为;为最大收敛半径.双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。

(6)双边序列0nx第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：当Rx-<Rx+时，其收敛域为其收敛域应包括即 充满整个Z平面。[例2-1]求序列

的Z变换及收敛域。解：这相当 时的有限长序列，当 时，这是无穷递缩等比级数。[例2-2]求序列

的Z变换及收敛域。

解：*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。收敛域：[例2-3]求序列

变换及收敛域。同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。收敛域：*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。 §2-3Z反变换一.定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。z变换公式：C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c1.留数法由留数定理可知：

为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点，Res[]表示极点处的留数。二.求Z反变换的方法2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：留数的求法：1、当Zr为一阶极点时的留数：[例2-4]已知解:1）当n≥-1时, 不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点 因此，求z反变换。2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。因此C内有极点：z=1/4(一阶),z=0为(n+1)阶极点；而在C外仅有z=4(一阶)这个极点:2.部分分式法

有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有或

的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。通常，X(z)可

表成有理分式形式：因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：

的z反变换。[例2-5]利用部分分式法，求解：

分别求出各部分分式的z反变换（可查P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反变换。3.幂级数展开法(长除法)因为x(n)的Z变换为Z-1

的幂级数，即

所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|>Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若收敛域|Z|<Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成

Z的正幂级数。[例2-6]试用长除法求

的z反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应左边序列(双边序列)*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。

4-Z)

4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24

Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z

2233314141444411655116...

Z-—)Z141+—Z+—Z+—Z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—Z116-1—Z116-1—Z116-1-—Z164-2—Z164-2—Z164-2-——Z1256-3——Z1256-3... §2-4Z变换的基本性质和定理如果 则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性[例2-7]已知,求其z变换。解：2.序列的移位如果 则有：[例2-8]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。3.Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：4.序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证明：5.共轭序列如果，则证明：6.翻褶序列如果，则证明：7.初值定理证明：8.终值定理证明：又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。9.有限项累加特性证明：10.序列的卷积和(时域卷积定理)

证明：[例2-9]解：11.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）[例2-10]解：

12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）如果则有:*几点说明：§2-5Z变换与拉氏变换、

傅氏变换的关系

一.Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设为连续信号，为其理想抽样信号，则序列x(n)的z变换为，考虑到,显然，当时，序列x(n)的z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。2.Z变换与拉氏变换的关系(S、Z平面映射关系）S平面用直角坐标表示为：Z平面用极坐标表示为：又由于所以有：因此， ;这就是说，Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部Ω相对应。

=0,即S平面的虚轴

r=1,即Z平面单位圆；

σ→σσ<0,即S的左半平面r<1,即Z的单位圆内；→>0,即S的右半平面r>1,即Z的单位圆外。→j→00(1).r与σ的关系Ω=0，S平面的实轴， ω=0，Z平面正实轴；

Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线，ω=Ω0T,Z:始于

原点的射线；

Ω

S:宽 的水平条带，ω整个z平面.0jIm[Z]Re[Z](2).ω与Ω的关系（ω=ΩT）ω二.Z变换和傅氏变换的关系连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即

我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ

的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,

这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等于理想抽样信号傅氏变换。

用数字频率ω作为Z平面的单位圆的参数，

ω表示Z平面的辐角，且。所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。三.序列的傅氏变换1.正变换:2.反变换:§2-6傅氏变换的一些对称性质一、共轭对称序列与共轭反对称序列1.共轭对称序列设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。设序列其中分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则再将-n代入，则根据定义，则

这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。2.共轭反对称序列设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n)则称序列为共轭反对称序列。同样有：根据定义，则这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。*特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和其中，四、两个基本性质证明：证明：五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部证明：2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部证明：六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、虚部的关系1.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部证明：2.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以j。证明：七、序列为实序列的情况8.实序列也有如下性质：线性移不变系统h(n)为单位抽样响应h(n)x(n)(n)

H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且

在单位圆 上的系统函数就是系统的频率

响应。§2-7离散系统的系统函数 及频率响应一.系统函数: 我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：∑|h(n)|<∞。

z变换H(z)的收敛域由满足∑|h(n)z-n|<∞的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有∑|h(n)|<∞，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。 因果系统的单位抽样响应为因果序列，

其收敛域为R+<|z|≤∞；而因果稳定系统的系统函数收敛域为1≤|z|≤∞，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。二.因果稳定系统三.系统函数和差分方程的关系线性移不变系统常用差分方程表示：取z变换得：对上式因式分解，令得：四.系统的频率响应的意义系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位上的变换称作系统频率响应。也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。对于线性移不变系统：

五.频率响应的几何确定1.频响的零极点表达式模：相角：2.几点说明(1).

表示原点处零极点，它到单位圆的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只是给出线性相移分量ω(N-M)。(2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的位置与深度有明显影响，当零点位于单位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。(3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。零点在单位圆上0,

处；极点在,处。ω0。。[例2-14]设一阶系统的差分方程为:[解]:对差分方程两边取Z变换:

，a为实数,求系统的频率响应。这是一因果系统，其单位抽样响应为而频率响应为:幅度响应为:相位响应为:0112345678n零极点分布情况0ωω0-10a1六.IIR系统和FIR系统1.无限长单位冲激响应(IIR)系统如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n)延伸到无穷长,即n→∞时,h(n)仍有值,这样的系统称作IIR系统。2.有限长单位冲激响应(FIR)系统h(n)为有限长序列的系统。第三章DFT离散傅里叶变换§3-7抽样Z变换--频域抽样理论§3-8利用DFT对连续时间信号的逼近§3-6DFT的性质§3-5DFT--有限长序列的离散频域表示§3-3周期序列的DFS§3-4DFS的性质§3-2傅氏变换的几种可能形式§3-1引言点击进入目录一.DFT是重要的变换

1.分析有限长序列的有用工具。

2.在信号处理的理论上有重要意义。

3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。§3-1 引言二.DFT是现代信号处理桥梁

DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化

§3-2 傅氏变换的几种可能形式一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换0t0时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性:

时域连续，则频域非周期。反之亦然。二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数0t------0时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的*时域周期为Tp,

频域谱线间隔为2π/Tp三.离散时间、连续频率的傅氏变换

--序列的傅氏变换x(nT)T-T0T2Tt0------时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFTx(nT)=x(n)t0T2T12Nn00123kNT

由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的DFT的简单推演：在一个周期内，可进行如下变换：视作n的函数，视作k的函数，这样,正反回到目录§3-3周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入对上式进行抽样，得：

导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：因是离散的，所以应是周期的。，代入而且，其周期为，因此应是N点的周期序列。

又由于所以求和可以在一个周期内进行，即

这就是说，当在k=0,1,...,N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。二.的k次谐波系数的求法

1.预备知识

同样，当 时，p也为任意整数，则所以亦即

的表达式将式的两端乘

，然后从n=0到N-1求和，则：的DFS

通常将定标因子1/N移到表示式中。即：3.离散傅氏级数的习惯表示法

通常用符号 代入，则：正变换：反变换：4.的周期性与用Z变换的求法周期性：

的一个周期内序列记作,而且=,0nN-10,其他n对作Z变换，用Z变换的求：

可见，是Z变换在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。如果，则有1234567(N-1)k=0其中，a,b为任意常数。§3-4 DFS的性质一.线性如果则有二.序列的移位则有：如果证明：令i=m+n,则n=i-m。n=0时，i=m;n=N-1时，i=N-1+m所以*和都是以N为周期的周期函数。三.调制特性

如果

则有证明：时域乘以虚指数()的m次幂，频域搬移m,调制特性。四.周期卷积和

1.如果则：证明从略。2.两个周期序列的周期卷积过程（1）画出和的图形；（2）将翻摺,得到

可计算出：m计算区mm0123（3）将右移一位、得到可计算出：m计算区mm0123m（4）将再右移一位、得到，可计算出：（5）以此类推，

n1344计算区313.频域卷积定理如果，则证明从略。§3-5DFT--有限长序列的离散频域表示一.预备知识

1.余数运算表达式如果，

m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为。是的解,或称作取余数,或说作n对N取模值,或简称为取模值,n模N。例如：

(1)(2)

先取模值，后进行函数运作;而 视作将周期延拓。2.二.有限长序列x(n)和周期序列的关系=,0nN-10,其他n周期序列是有限长序列x(n)的周期延拓。有限长序列x(n)是周期序列的主值序列。如：N-1nx(n)0......n0N-1定义从n=0到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。三.周期序列与有限长序列X(k)的关系

同样，周期序列是有限长序列X(k)的周期延拓。

而有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。四.从DFS到DFT

从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。

因此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换(DFT)的定义。,0kN-1,0nN-1或者：

§3-6DFT的性质一.线性1.两序列都是N点时如果

则有：2.和的长度N1和N2不等时，选择

为变换长度,短者进行补零达到N点。二.序列的圆周移位1.定义一个有限长序列

的圆周移位定义为这里包括三层意思：先将

进行周期延拓再进行移位最后取主值序列：

n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-12.圆周位移的含义

由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把

排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于

在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列:

。12345n=0N=6三、共轭对称性1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为同样，有2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为由于所以

这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。3.共轭对称特性之一证明：4.共轭对称特性之二证明：可知：5.共轭对称特性之三证明：6.共轭对称特性之四证明：7.共轭对称特性之五、六8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性9.实、虚序列的对称特性

当x(n)为实序列时，根据特性之三，则

X(k)=Xep(k)又据Xep(k)的对称性：

当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则

X(k)=Xop(k)又据Xop(k)的对称性：四.圆周卷积和1.时域卷积定理设和均为长度为N的有限长序列，且，如果，则NN证明：相当于将 作周期卷积和后，再取主值序列。将周期延拓：则有：在主值区间，所以：N同样可证：N2.时域圆周卷积过程N-10nN-10n0m0m0m0m0233211N-1nN最后结果：五.有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积的长度为的长度为它们线性卷积为的非零区间为的非零区间为两不等式相加得也就是不为零的区间.例如:1012n1012n3m-1-2-3mm1012mmn2103145233211012m2.用圆周卷积计算线性卷积

圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列.

的长度为,的长度为,先构造长度均为L长的序列,即将补零点;然后再对它们进行周期延拓，即所以得到周期卷积：

可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓,其周期为L.由于有个非零值,所以周期L必须满足:

又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列,所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列,即

§

3-7抽样Z变换--频域抽样理论一.如何从频域抽样恢复原序列1.两种抽样时域抽样:

对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。频域抽样:

对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频域抽样。2.由频域抽样恢复序列一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为

由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位圆上N等份抽样,就得到对进行反变换,并令其为,则

可见,由

得到的周期序列

是非周期序列x(n)的周期延拓。

也就是说,频域抽样造成时域周期延拓。1,m=n+rN,0,其他m3.频域抽样不失真的条件

当x(n)不是有限长时，无法周期延拓；

当x(n)为长度M,只有NM时,才能不失真的恢复信号,即1.由X(k)恢复X(Z)

序列x(n),（0nN-1）的Z变换为由于，所以（下页！）二.由X(k)表达

X(Z)与的问题——内插公式上式就是由X(k)恢复X(Z)的内插公式,其中称作内插函数。2.内插函数的特性

将内插函数写成如下式:。。。。。。。

令分子为零,得；所以有N个零点。令分母为零,得为一阶极点,Z=0为(N-1)阶极点。但是极点与一零点相消。这样只有(N-1)个零点,抽样点称作本抽样点。因此说,内插函数仅在本抽样点处不

为零,其他(N-1)个抽样点均为零。3.频率响应单位圆上的Z变换即为频响,代入4.内插函数的频率特性可见,既是的函数又是k的函数,其可表示为当k=0时,则有时,

时,

，所以

当N=5时,的幅度特性和相位特性如下图：其中，N=5由于i与k均为整数,所以i

k

时

这就是说,内插函数在本抽样点上,

而在其他抽样点上5. 与X(k)的关系

由于的特性可知,在每个抽样点上其值为1,故就精确等于X(k)。即

而在抽样点之间,等于加权的内插函数值

叠加而得。

§3-8利用DFT对连续时间信号的逼近一.用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差

1.混叠现象为避免混叠,由抽样定理可知，须满足其中,为抽样频率;为信号的最高频率分量；或者

其中,T为抽样间隔。

[例]有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为（1）频率分辨率为，（2）信号的最高频率，试确定以下参量：（1）最小记录长度

;(2)抽样点间的最大时间间隔T;(3)在一个记录中的最小点数N。解：（a）最小记录长度（b）最大的抽样时间间隔T(c)最小记录点数N2.频谱泄漏在实际应用中，通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔内,也就是说，在时域对信号进行截断操作,或称作加时间窗,亦即用时间窗函数乘以信号,由卷积定理可知，时域相乘,频域为卷积,这就造成拖尾现象,称之为频谱泄漏.0n0nn3.栅栏效应用DFT计算频谱时，只是知道为频率的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。补零点加大周期，可使F变小来提高辨力，以减少栅栏效应。二.DFT与连续时间信号傅氏变换间相对数值的确定

1.连续时间非周期信号傅氏变换对2.连续时间周期信号傅氏级数变换对3.DFT变换时:

4.用DFT计算非周期信号的傅氏变换

用DFT计算所得的频谱分量乘以T，就等于频谱的正常幅度电平；用IDFT计算非周期信号的傅氏反变换，再乘以就得到所需信号的正常幅度电平。所以,从时间到频率,

再从频率到时间，整个过程总共乘了

幅度电平未受到影响。设用DFT计算所得的频谱分量乘以T的理由：用IDFT计算非周期信号的傅氏反变换乘以的理由5.用DFT计算周期信号的傅氏级数

用DFT计算出的频谱分量乘以

1/N等于周期信号的频谱的正常幅度电平。而用IDFT的计算结果乘以N才等于周期信号。见式（3-112）和式（3-113）（pp.117）。放映结束第四章FFT快速傅氏变换§4-5线性卷积的FFT算法§4-3DIF的FFT算法§4-4IFFT算法§4-2按时间抽取(DIT)的FFT算法§4-1引言点击进入目录§4-1引言一.DFT的计算工作量

两者的差别仅在指数的符号和因子1/N.

通常x(n)和 都是复数,所以计算一个

X(k)的值需要N次复数乘法运算,和 次复数加法运算.那么,所有的X(k)就要N2次复数乘法运算,N(N-1)次复数加法运算.当N很大时,运算量将是惊人的,如N=1024,则要完成1048576次(一百多万次)运算.这样,难以做到实时处理.一个X(k)的值的工作量,如X(1)二.改进的途径1.的对称性和周期性得:对称性:周期性:

利用上述特性,可以将有些项合并,并将DFT分解为短序列,从而降低运算次数,提高运算速度.1965年,库利(cooley)和图基(Tukey)首先提出FFT算法.对于N点DFT,仅需(N/2)log2N次复数乘法运算.例如N=1024=210

时，需要(1024/2)log2210=512*10=5120次。5120/1048576=4.88%,速度提高20倍§4-2按时间抽取(DIT)的FFT算法

—库利-图基算法一.算法原理(基2FFT)(一)N/2点DFT1.先将按n的奇偶分为两组作DFT,设N=2L,不足时,可补些零。这样有:n为偶数时:n为奇数时:因此，由于:

所以,上式可表示为:(n为偶数)

(n为奇数)

其中,2.两点结论:(1)X

(k),X

(k)均为N/2点的DFT。

(2)X(k)=X

(k)+W

X

(k)只能确定出

X(k)的k=个；即前一半的结果。1212kN

同理,

这就是说,X1(k),X2(k)的后一半,分别等于其前一半的值。3.X(k)的后一半的确定由于（周期性）,所以:

可见,X(k)的后一半，也完全由X1(k),X2

(k)的前一半所确定。*N点的DFT可由两个N/2点的DFT来计算。又由于

,所以实现上式运算的流图称作蝶形运算

前一半4.蝶形运算

后一半（N/2个蝶形)(前一半)(后一半)1111-1由X1(k)、X2(k)表示X(k)的运算是一种特殊的运算-碟形运算(1)N/2点的DFT运算量:复乘次数:

复加次数:(2)两个N/2点的DFT运算量:复乘次数:

复加次数:

(3)N/2个蝶形运算的运算量:复乘次数:

复加次数:

5.计算工作量分析复乘:复加:总共运算量:按奇、偶分组后的计算量：*但是,N点DFT的复乘为N2;复加N(N-1);与分解后相比可知,计算工作点差不多减少

一半。

例如N=8

时的DFT,可以分解为两个

N/2=4点的DFT.具体方法如下:

(1)n为偶数时,即

分别记作:

(2)n为奇数时,分别记作:

x1(0)=x(0)

x1(1)=x(2)

N/2点

x1(2)=x(4)DFT

x1(3)=x(6)

x2(0)=x(1)

x2(1)=x(3)

N/2点

x2(2)=x(5)

DFT

x2(3)=x(7)

12~~X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)WN2WN1WN0WN3-1-1-1-1X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)(3)对X

(k)和X

(k)进行蝶形运算,前半部为

X(0)X(3),后半部分为X(4)X(7)

整个过程如下图所示:

由于N=2

L

,所以N/2仍为偶数,可以进

一步把每个N/2点的序列再按其奇偶部分

分解为两个N/4的子序列。例如，n为偶数时的

N/2点分解为:(二)N/4点DFT进行N/4点的DFT,得到(偶中偶)(偶中奇)从而可得到前N/4的X1(k)后N/4的X1(k)为(奇中偶)(奇中奇)同样对n为奇数时，N/2点分为两个N/4点

的序列进行DFT，则有:

例如,N=8时的DFT可分解为四个N/4的DFT,

具体步骤如下:(1)将原序列x(n)的“偶中偶”部分:构成N/4点DFT，从而得到X3(0),X3(1)。(2)将原序列x(n)的“偶中奇”部分:构成N/4点DFT，从而得到X4(0),X4(1)。(3)将原序列x(n)的“奇中偶”部分:构成N/4点DFT，从而得到X5(0),X5(1)。(4)将原序列x(n)的“奇中奇”部分:构成N/4点DFT，从而得到X6(0),X6(1)。（5）由X3(0),X3(1),X4(0),X4(1)进行碟形运算,

得到X1(0),X1(1),X1(2),X1(3)。（6）由X5(0),X5(1),X6(0),X6(1)进行碟形运算,

得到X2(0),X2(1),X2(2),X2(3)。

(0)=

(0)=(0)

N/4

(1)=

(2)=(4)

DFT

(0)=

(1)=(2)

N/4

(1)=

(3)=(6)

DFT

(0)=

(0)=(1)

N/4

(1)=

(2)=(5)

DFT

(0)=

(1)=(3)

N/4

(1)=

(3)=(7)

DFT313141415252626202NN02NNWWWW0123NNNN-1-1-1-2-1-1WWWWX

(0)X

(1)X

(0)X

(1)X

(0)X

(1)X

(0)X

(1)33445566X

(0)X

(1)X

(2)X

(3)X

(0)X

(1)X

(2)X

(3)11122221X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)（7）由X1(0),X1(1),X1(2),X1(3)，X2(0),X2(1),X2(2),X2(3)进行碟形运算,

得到

X(0),X(1),X(2),X(3)X(4),X(5),X(6),X(7)。这样,又一次分解,得到四个N/4点DFT,

两级蝶形运算,其运算量有大约减少一半

即为N点DFT的1/4。

对于N=8时DFT,N/4点即为两点DFT,因此

亦即,

(0)

(4)

(2)

(6)

(1)

(5)

(3)

(7)WN0WN0WN0W0N-1-1-1-1X

(0)X

(1)X

(0)X

(1)X

(0)X

(1)X

(0)X

(1)33445566WN0WN2WN0WN2-1-1-1-1X

(0)X

(1)X

(2)X

(3)X

(0)X

(1)X

(2)X

(3)11121222WWWWN0N1N2N3-1-1-1-1X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)因此,8点DFT的FFT的运算流图如下

这种FFT算法,是在时间上对输入序列

的次序是属于偶数还是属于奇数来进行分解的,所以称作按时间抽取的算法。

二.运算量

由上述分析可知,N=8需三级蝶形运算N=2=8,由此可知,N=2L

共需L级蝶形运算,

而且每级都由N/2个蝶形运算

组成,每个蝶形运算有一次复乘,两次复加。(DIT)3

因此,N点的FFT的运算量为复乘:mF=（N/2）L=（N/2）log2N复加:aF=NL=Nlog2N

由于计算机的乘法运算比加法运算所

需的时间多得多，故以乘法作为比较基准.如表4-1所示(pp.145）。

(0)=X0(0)

X1(0)

X2(0)X3(0)=X(0)

(4)=X0(1)

X1(1)X2(1)X3(1)=X(1)

(2)=X0(2)

X3(2)=X(2)

(6)=X0(3)

X3(3)=X(3)

(1)=X0(4)

X1(4)X2(4)X3(4)=X(4)

(5)=X0(5)

X3(5)=X(5)

(3)=X0(6)

X3(6)=X(6)

(7)=X0(7)

X1(7)X2(7)X3(7)=X(7)WWWWN0N0N0N0-1-1-1-1WWWWN0N2N0N2-1-1-1-1WWWWNNNN0123...........三.DIT的FFT算法的特点

1.原位运算输入数据、中间运算结果和最后输出均用同一存储器。

设用m(m=1,2,…,L)表示第m列;用k,j表示蝶形输入数据所在的（上/下）行数(0,1,2,…,N-1);这时任何一个蝶形运算可用下面通用式表示，即

由运算流图可知,一共有N个输入/出行,一共有log2N=L列（级）蝶形运算(基本迭代运算).

所以,当m=1时,则有（前两个蝶形）

当m=2时,则有（前两个蝶形）

当m=3时,则有（前两个蝶形）

可见,在某列进行蝶形运算的任意两个节点(行)k和j的节点变量就完全可以确定蝶形运算的结果,与其它行(节点)无关。这样,蝶形运算的两个输出值仍可放回蝶形运算的两个输入所在的存储器中,即实现所谓原位运算。每一组(列)有N/2个蝶形运算,所以只需N个存储单元，可以节

省存储单元。

2

倒位序规律

由图可知,输出X(k)按正常顺序排列在存储单元,而输入是按顺序:

这种顺序称作倒位序,即二进制数倒位。n=00n=10n=01n=11n=01n=1101010101

(n2)x(000)0乾x(100)4兑x(010)2离x(110)6震x(001)1巽x(101)5坎x(011)3艮x(111)7坤（偶）（奇）

这是由奇偶分组造成的,以N=8为例

说明如下:

3.倒位序实现

输入序列先按自然顺序存入存储单

元,然后经变址运算来实现倒位序排列

设输入序列的序号为n,二进制为

(n2n1n0)2,倒位序顺序用

表示,其倒位序二进制为(n0n1n2)2,例如，N=8时如下表：

00

0

00

0

00

10

0

11

0

04

20

1

00

1

02

30

1

11

1

06

41

0

00

0

11

51

0

11

0

15

61

1

00

1

13

71

1

11

1

17自然顺序n二进制nnn倒位序二进制nnn倒位顺序n^210012A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)变址处理方法存储单元自然顺序变址倒位序4.蝶形运算两节点的距离:2m-1

其中,m表示第m列,且m=1,…,L

例如N=8=23,第一级(列)距离为21-1=1,

第二级(列)距离为22-1=2，

第三级(列)距离为23-1=4。5.WNr

的确定(仅给出方法)

考虑蝶形运算两节点的距离为2m-1,蝶

形运算可表为

Xm(k)=Xm-1(k)+Xm-1(k+2m-1)WNr

Xm(k+2m-1)=Xm-1(k)-Xm-1(k+2m-1)WNr

由于N为已知,所以将r的值确定即可。

为此，令k=(n2n1n0)2,再将k=(n2n1n0)2

左移(L-m)位,右边位置补零,就可得到(r)2

的值，即(r)2=(k)22L-m

。

例如N=8=23

(1)k=2,m=3

的r值,∵k=2=(010)2