钢结构受弯构件稳定设计的等效弯矩系数

钢结构受弯构件稳定设计的等效弯矩系数

0单荷载弹性弯扭屈曲问题1744年，l.eula首次提出了基于轴压柱的弹性曲线屈曲性能。尔后,1929年,H.Wagner首次提出了轴压柱弹性弯扭分岔屈曲荷载的计算公式,其值比弹性弯曲分岔屈曲荷载小得多。1899年,L.Prandtl研究了矩形截面悬臂梁在单个荷载作用下的弹性弯扭屈曲荷载,从而开创了研究受弯构件弹性和弹塑性弯扭屈曲问题的新局面。对于如图1a所示的均匀受弯简支梁,其弹性与弹塑性弯扭屈曲弯矩受一系列因素影响。可用平衡法和瑞利-里兹法得到双轴对称工形截面简支梁的弹性弯扭屈曲弯矩如下:Μcr=πl√EΙyGΙt(1+π2EΙωGΙtl2)(1)对于非均匀受弯双轴对称工形截面简支梁,其弹性弯扭屈曲临界弯矩为:Μcr=βbπl√EΙyGΙt(1+π2EΙωGΙtl2)(2)式中:βb为受弯构件的等效弯矩系数。1日本aij—Salvadori系列受弯构件的等效弯矩系数1956年,M.G.Salvadori用瑞利-里兹法得到了如图2所示的线性非均匀简支受弯构件的等效弯矩系数,此系数也适用于单轴对称工形截面简支梁。在图2d中,等效弯矩系数βb之值与构件的扭转刚度和翘曲刚度之比GItl2/(EIω)有关。在GB50017—2003《钢结构设计规范》,加拿大CAN/CSA—S16—2001,澳大利亚AS4100—1998和日本AIJ—2002钢结构设计规范中,线性非均匀受弯构件的等效弯矩系数均采用了图2d诸曲线的下限值,见式(3),而EN1993—1—1EC3—2005则采用了图2d诸曲线中的上限值,见式(4)。在图3中,端弯矩M1和M2均作用于梁的弯矩作用平面内,弯矩使构件产生同向曲率变形时取同号,且M1≥M2;弯矩使构件产生异向曲率变形时取异号,且|M1|≥|M2|。从图3可知,当比值M2/M1在-0.3~+0.3时,βb值发生了急剧下降变化,而且在M2/M1<-0.5之前,有相当长一段曲线之值是常量。童根树建议,采用式(5)计算梁的等效弯矩系数,以避免在图3中出现常量值。βb=1.75-1.05Μ2Μ1+0.3(Μ2Μ1)2≤2.3(3)βb=1.88-1.4Μ2Μ1+0.52(Μ2Μ1)2≤2.7(4)βb=1.84-0.84sin(0.5πΜ2/Μ1)(5)对既有横向荷载,又有端弯矩共同作用的双轴对称工形截面简支梁,也可以利用文献中表7.2和表7.3所提供的计算公式,用来确定梁的等效弯矩系数。2梁的等效弯矩系数为了避免式(3)和式(4)所示梁的等效弯矩系数曲线的非连续性,在1979年,P.A.Kirby,和D.A.Nethercot提出了如图4所示的弯矩分布图。由于梁在无支承长度梁段内弯矩图可任意变化,计算双轴对称截面梁βb值的经验公式如下:βb=12Μmax2Μmax+3ΜA+4ΜB+3ΜC(6)对式(6)稍作修改后,美国ANSI/AISC360—2005和英国BS5950—1—2000分别采用了式(7)和式(8)所示的梁的等效弯矩系数:βb=12.5Μmax2.5Μmax+3ΜA+4ΜB+3ΜC≤3.0(7)βb=12.5Μmax2.5Μmax+1.875ΜA+6.25ΜB+1.875ΜC≤2.27(8)式(6)—式(8)中,Mmax,MA,MB和MC分别为无支承梁段内最大弯矩的绝对值、1/4点处弯矩的绝对值、中点处弯矩的绝对值和3/4点处弯矩的绝对值(图4)。但是,式(6)—式(8)只适用于横向荷载作用于梁截面的剪心。如果横向荷载作用于梁的上翼缘,将降低梁的抗扭能力;如果横向荷载作用于梁的下翼缘,将提高梁的抗扭能力。经研究,陈绍蕃建议可用调整系数0.75和1.5赋予式(7),以此来计算梁的等效弯矩系数。图5给出了梁段内线性弯矩分布的等效弯矩系数。当横向荷载作用于梁的上翼缘时:βb=3.75ΜmaxΜmax+1.2ΜA+1.6ΜB+1.2ΜC(9)当横向荷载作用于梁的下翼缘时:βb=7.5ΜmaxΜmax+1.2ΜA+1.6ΜB+1.2ΜC(10)3采用等效弯矩系数m可以用数值法确定如表1所示荷载的多种梁的等效弯矩系数。R.Greiner和L.Lindner,B.Suryoatmono和D.Ho分别用有限单元法和有限差分法研究了如表1所列多种梁(采用欧洲工型型钢梁IEP500的截面,具有Iy=2.138×103cm4,It=72.3cm4,Iω=1.336×106cm6),跨长有8m和16m两种,用对梁弱轴弯曲的计算长度系数μy和使梁截面翘曲的计算长度系数μω,以表示不同的梁端约束条件,计有μy=μω=1.0;μy=μω=0.5;μy=1.0,μω=0.5;μy=0.5,μω=1.0四种。图6—图8分别给出了表1中的三种荷载作用于梁的等效弯矩系数。M.A.Serna,A.López,I.Puente综合了上述研究成果,建立了双轴对称I形截面梁,新的等效弯矩系数βb的闭合解。此闭合解适用于荷载作用于梁的截面剪心,承受任何分布弯矩和任何支承条件的梁。其表达式为:βb=√35Μ2maxΜ2max+9Μ2A+16Μ2B+9Μ2C(11)式中:弯矩Mmax、MA、MB和MC的取值虽然与式(6)—式(8)类同,但是在应用时却毋需顾忌其值的正负号。图8给出了承受线性分布弯矩梁的等效弯矩系数。从图6—图8可知,由式(11)得到的等效弯矩系数,均低于有限差分法之值。在图9中,由式(11)得到的等效弯矩系数,在Salvadori法的上限和下限之间,而更靠近其上限。从设计受弯构件具有适当的安全度出发,建议采用其值稍低于式(11)的式(12)。βb=√23Μ2maxΜ2max+6Μ2A+10Μ2B+6Μ2C(12)4受弯构件的承载力J.Lindner的理论分析表明,不同的弯矩分布,对梁临界弯矩的影响很大,尤其是在0.4<√Μpx/Μe的范围内。图9给出了不同弯矩分布作用于梁时的强度折减系数φb。但是要注意到,实际上有些试验结果落在图中的曲线之下。以线性非均匀受弯,双轴对称I形截面简支梁(图10)为例,说明在几个国家的钢结构设计规范中,受弯构件稳定设计的方法。构件所用钢材的屈服强度,弹性模量和剪变模量分别是fy=23.5MPa,E=206000MPa和G=7900MPa。梁截面:A=136cm2,Wx=3214cm3,Wpx=3760cm3,It=54.13cm4,Iy=3125cm4,ry=4.794cm,Iω=4656125cm6。构件的计算长度ly=lω=500cm,λy=104.3,平面内塑性弯曲强度Mpx=Wpxfy=883.6kN·m。当βb=1.0时,Μe=πly√EΙyGΙt(1+π2EΙωGΙtl2ω)=1036kN·m。4.1梁和文献建于gb50017-2003年梁的稳定设计公式:Μx≤φ′bWxf(13)1临界弯矩设计值φb=βb4320λ2y×AhWx[ηb+√1+(λyt14.4h)2]=2.453>0.6(14)φ′b=1.07-0.282/φb=1.07-0.282/2.453=0.955(15)梁的临界弯矩设计值Mx=φ′bWxf=0.955×3214×21.5/102=660kN·m。2c.c.c.c.nφb=1.7811.75×2.453=2.497φ′b=1.07-0.282/2.497=0.957Μx=0.957×3214×21.5/102=661.3kΝ⋅m4.2修正系数kc梁的稳定设计公式:Μx≤φbmodΜpx(16)梁的强度折减系数为:φb=1ϕb+√ϕ2b-0.75Μpx/Μe(17)其中Μe=βb√EΙyGΙt(1+π2EΙωGΙtl2ω)=1.88×1036=1947.68kN·m式中:ϕb为与梁的缺陷有关的参数,可由式(18)计算:ϕb=12[1+α(√ΜpxΜe-0.4)+0.75ΜpxΜe](18)式中:α为梁的缺陷系数,在G.Salzgeber和R.Greiner递交给ECCS的报告中,将其区分为轧制和焊接截面两种,因截面的高宽比不同,又将其各分为两档,这样,梁的缺陷系数就分别有αa,αb,αc和αd四种。如图11所示,对于轧制Ⅰ形截面梁,当h/b≤2时,αa=0.34;当h/b>2时,αb=0.49。对于焊接Ⅰ形截面梁,当h/b≤2时,αc=0.49;当h/b>2时αd=0.76。应该注意到,在图11中,一部分试验点,尤其是焊接梁试件,在设计曲线之下。在式(19)中,φbmod为计及截面塑性发展,而适当提高梁的承载力的修正强度折减系数,应由式(19)确定,在式中修正系数kc见表1。φbmod=φb1-0.5(1-kc)[1-2(√Μpx/Μe-0.8)2](19)经计算可得:αd=0.76,ϕb=0.774,φb=0.779,kc=0.752和φbmod=0.855。梁的临界弯矩设计值Mx=φbmodMpx=0.855×883.6=755.5kN·m。4.3等效弯矩系数梁的稳定设计公式:Μx≤ϕbΜux(20)式中,ϕb=0.9为受弯构件的抗力系数;Mux为梁的极限弯矩。计算前,先算出梁截面的有效回转半径rts=√√ΙyΙωWx=6.125cm,再算出梁屈服状态的无支长度lp=1.76ry√E/fy=249.8cm和非弹性状态的无支长度:lr=1.95rtsE0.7fy√ΙtWxh⋅√1+√1+6.76(0.7fyE×WxhΙt)=7.1832cm(21)当lp≤ly≤lr时,非弹性状态梁承受弯矩的限值为Mr,考虑了截面残余压应力的峰值为σrc=0.3fy后,Μr=(fy-σrc)Wx=0.7fyWx=528.7kΝ⋅m。由式(7)得到梁的等效弯矩系数βb=1.67。梁的临界弯矩为:Μcr=βb[Μpx-(Μpx-Μr)ly-lplr-lp]=1159.11kΝ⋅m>Μpx(22)梁的临界弯矩只能是梁的极限弯矩,Mux=883.6kN·m,其设计值为Mx=ϕbMux=0.9×883.6=795.24kN·m。4.4弹性弯扭临界弯矩梁的稳定设计公式:Μx≤ϕbΜcr(23)式中:ϕb=0.9为受弯构件的抗力系数。由式(3)得到梁的等效弯矩系数βb=1.75。梁的弹性弯扭屈曲临界弯矩为Me=1.75×1036=1813kN·m>0.67Mpx。按照文献的规定,如βb>1.0和Me>0.67Mpx,可按照式(24)计算临界弯矩,否则Mcr=Me。Μcr=1.15Μpx(1-0.28Μpx/Μe)≤Μpx(24)梁的临界弯矩为Mcr=877.74kN·m<Mpx,其设计值为:Μx=ϕbΜcr=0.9×877.74=790.0kΝ⋅m4.5纯弯梁弹塑性临界弯矩计算梁的稳定设计公式:Μcr=βbΜ0cr≤Μpx(25)式中:梁的临界弯矩Mcr与均匀受弯梁或称纯弯梁的弹塑性临界弯矩M0cr有关,而M0cr又取决于纯弯梁的弹性弯扭屈曲临界弯矩Me和梁截面的塑性弯矩Mpx,可按照式(26)确定:(Μe-Μ0cr)(Μpx-Μ0cr)=ηΜeΜ0cr(26)式中:η为计及截面残余应力分布和梁几何缺陷的参数。对于轧制Ⅰ形截面梁:η=0.007π√E/fy(√Μpx/Μe-0.4)(27)对于焊接Ⅰ形截面梁,因√Μpx/Μe不同,参数η之值分为四档。当√Μpx/Μe<0.4时,有:η=0(28a)当0.4<√Μpx/Μe<0.8时,有:η=0.014π√E/fy(√Μpx/Μe-0.4)(28b)当0.8≤√Μpx/Μe≤1.2时,有:η=0.0056π√E/fy(28c)当√Μpx/Μe>1.2时,有:η=0.007π√E/fy(√Μpx/Μe-0.4)(28d)由于√Μpx/Μe=√883.6/1036=0.924>0.8但小于1.2,故η=0.0056π√E/fy=0.521。由式(26)得到纯弯梁的弹塑性临界弯矩M0cr=457.22kN·m。由式(8)得到梁的等效弯矩系数βb=1.67,其设计值为Mx=βbM0cr=1.67×457.22=763.55kN·m。4.6形截面梁和板梁的弯矩承载力梁的稳定设计公式:Μx≤ϕbΜux(29)其中Μux=βbΜu0式中:Mu0由下式确定:Μu0=0.6[√(ΜpxΜe)2+3-ΜpxΜe]Μpx≤Μpx(30)图12给出了均匀受弯Ⅰ形截面梁和板梁的弯矩承载力与试验资料,从图可知,轧制Ⅰ形截面梁试件的弯矩承载力最高,焊接梁其次,板梁最低,图中还有许多板梁试件的弯矩承载力,在式(30)所表示的曲线之下,达不到设计值。将纯弯梁的弹性弯扭屈曲临界弯矩Me=1036kN·m代入式(30),可得Mu0=571.4kN·m,因Mux=1.75Mu0=1000.15kN·m>Mpx,用Mux=883.6kN·m,其设计值为Mx=ϕbMux=0.9×883.6=795.24kN·m。4.7钢结构梁临界弯矩的设计值梁的稳定设计公式:Μx≤ϕbΜux(31)梁的计算过程都与相对长细比ˉλ=√Μpx/Μe有关。式(31)中梁的极限弯矩Mux与两个参数有关,一个是塑性限值,用相对长细比ˉλp=0.6-0.3Μ2/Μ1表示;另一个是弹性限值ˉλe,取截面残余压应力的峰值为σrc=0.4fy,则ˉλe=√fy/(fy-σrc)≈1.291。对于短粗的梁,当ˉλ≤ˉλp时,有:Μcr=Μpx(32a)对于中长的梁,当ˉλp≤ˉλ≤ˉλe时,有:Μcr=(1-0.4ˉλ-ˉλpˉλe-ˉλp)Μpx(32b)对于细长的梁,当ˉλ>ˉλe时,有:Μcr=Μe=βbπly√EΙyGΙt(1+π2EΙωGΙtl2ω)(32c)梁的受弯抗力系数ϕb采用了与式(32)对应的表达式。从图12可知,有不少板梁试件的弯矩承载力,在式(32b)所表示的曲线之下,达不到设计值。经计算,图10中所示梁的ˉλp=0.6,ˉλe=1.291和ˉλ=√883.6/1813=0.698。因为ˉλp<ˉλ<ˉλe,梁的受弯抗力系数ϕb=0.9-0.05ˉλ-ˉλpˉλe-ˉλp=0.893。梁临界弯矩的设计值为Μx=ϕb(1-0.4ˉλ-ˉλpˉλe-ˉλp)⋅Μpx=0.893×(1-0.4×0.698-0.61.291-0.6)×883.6=744.29kN·m。按照7个国家钢结构设计规范的规定,梁的临界弯矩设计值的比值为:661.3∶755.5∶795.24∶790.0∶763.55∶795.24∶744.29=1.0∶1.142∶1.203∶1.195∶1.155∶1.203∶1.125。比较上述计算结果可知,由GB50017—2003得到的梁的临界弯矩设计值明显偏低。图13给出了7个国家的均匀受弯梁临界弯矩值比较。从图13可知,梁在弹塑性状态屈曲时,由GB50017—2003得到的Mcr/Mp值偏低。在7个国家的钢结构设计规范中,以澳大利亚AS4100—1998梁的稳定设计方法最为简练。之前,澳大利亚AS1250—1981梁的稳定设计方法,在式(3