专题04垂径定理-备战2022-2023学年九年级数学上学期期末考试真题汇编（苏科版）（解析版）

专题04垂径定理一．选择题（共4小题）1．（2021春•柳南区校级期末）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（）A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O连接OA．根据垂径定理，得AD＝6（米），设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5故选：A．【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．2．（2021秋•溧阳市期末）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（）A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，∵DE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．故选：C．【点评】此题考查了垂径定理的应用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．3．（2021秋•句容市期末）如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（）A．123 B．122 C．43 【分析】如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．由题意AB垂直平分线段OK，∴AO＝AK，∵OA＝OK，∴OA＝OK＝AK，∴∠OAK＝∠AOK＝60°．∴AH＝OA•sin60°＝4×32=∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴AB＝2AH＝43，∵OC+OH≥CT，∴CT≤4+2＝6，∴CT的最大值为6，∴△ABC的面积的最大值为12×43×故选：A．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT的最大值，属于中考常考题型．4．（2021春•射阳县校级期末）如图，在半径为41的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝10，AE＝1，则CD的长是（）A．62 B．230 C．233 D．12【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG=12AB＝5，得出EG＝AG﹣AE＝4，由勾股定理得出OG=OB2-BG2=4，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE=2OG＝42，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG=12AB＝∴EG＝AG﹣AE＝4，在Rt△BOG中，OG=OB∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE=2OG＝42∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF=12OE＝2在Rt△ODF中，DF=O∴CD＝2DF＝233；故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二．填空题（共4小题）5．（2021秋•邗江区期末）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD＝4．【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r，根据垂径定理得到AM＝BM＝8，再根据勾股定理得到82+（16﹣r）2＝r2，解方程求出r＝10，然后计算CD﹣CM即可．【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r，∵AB⊥CD，∴AM＝BM=12AB＝在Rt△AOM中，82+（16﹣r）2＝r2，解得r＝10，∴CD＝2r＝20，∴MD＝CD﹣CM＝20﹣16＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．6．（2020秋•宝应县期末）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为16cm．【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD=12AB=12×48∵⊙O的直径为52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD=OB2-B∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），即水的最大深度为16cm，故答案为：16．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．（2020秋•高邮市期末）如图，把一只篮球放在高为16cm的长方体纸盒中，发现篮球的一部分露出盒，其截面如图所示．若量得EF＝24cm，则该篮球的半径为12.5cm．【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝16﹣x，MF＝12，在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝16cm，设OF＝xcm，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝16﹣x，MF＝12cm，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（16﹣x）2+122＝x2解得：x＝12.5（cm），故答案为：12.5．【点评】本题主考查垂径定理、矩形的性质及勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．（2021秋•崇川区期末）如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝1，则AB的长为46．【分析】连接OM，OA，根据垂径定理得出OM⊥AB，根据勾股定理求出AM，再求出AB即可．【解答】解：连接OM，OA，∵M为AB的中点，O过圆心O，∴OM⊥AB，AM＝BM，∴∠OMA＝90°，由勾股定理得：BM＝AM=OA2∴AB＝AM+BM＝26+26=4故答案为：46．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦是解此题的关键．三．解答题（共4小题）9．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．【分析】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而求出AE的长即可．【解答】解：如图，连接OC，∵CD⊥AB，AB是直径，∴CE＝DE=12CD＝在Rt△COE中，设半径为r，则OE＝5﹣r，OC＝r，由勾股定理得，OE2+CE2＝OC2，即（5﹣r）2+32＝r2，解得r＝3.4，∴AE＝AB﹣BE＝3.4×2﹣5＝1.8，答：AE的长为1.8．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确解答的前提．10．（2020秋•高邮市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D在AB的延长线上，且BD＝3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F．（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；（2）设CD交⊙O于点G，试说明G是CD的中点．【分析】（1）过点O作OH⊥EF于H，根据勾股定理求出AC，证明△ACB∽△ADE，根据相似三角形的性质求出DE，再证明△EHO∽△EDA，求出OH即可；（2）连接EG，根据等腰三角形的三线合一证明结论．【解答】解：（1）过点O作OH⊥EF于H，由勾股定理得，AC=AB∵DE⊥AD，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADE，∵∠C＝∠C，∴△ACB∽△ADE，∴ACAD=BC解得，DE＝6，∴⊙O的半径为3，AE=AD∵∠EHO＝∠EDA，∠OEH＝∠AED，∴△EHO∽△EDA，∴EOEA=OH解得，OH=12∴点O到EF距离为125（2）连接EG，∵AE＝10，AC＝4，∴EC＝6，∴EC＝ED，∵DE是⊙O的直径，∴EG⊥CD，∴G是CD的中点．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．11．（2015春•兴化市校级期末）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE＝BE，CE＝DE，从而得到AC＝BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC＝AE﹣CE即可得出结论．【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE，∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE＝6，∴CE=OC2-OE2=8∴AC＝AE﹣CE＝8﹣27．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．（2010秋•常州期末）如图，⊙O的半径为6，点C在⊙O上，将圆折叠，使点C与圆心O重合，折痕为AB且点A、B在⊙O上，E、F是AB上两点（点E、F不与点A、B重合且点E在点F的右边），且AF＝BE．（1）判定四边形OECF的形状；（2）当AF为多少时，四边形OECF为正方形？【分析】（1）四边形OECF为菱形，连接OC，交AB于点D，先由折叠的性质得到OD＝CD，且OC垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，利用等式的性质得到FD＝ED，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到OEFC为平行四边形，再由FD＝ED，且OD垂直于EF，得到OE＝OF，即可得到四边形OECF为菱形；（2）四边形OEFC要为正方形，必须FD＝ED＝OD＝CD，由半径求出OD的长，得到DF的长，在直角三角形AOD中，利用勾股定理求出AD的长，由AD﹣DF即可求出此时AF的长．【解答】解：（1）四边形OEFC为菱形，理由为：连接OC，交AB于点D，由折叠的性质得到OD＝CD，OC⊥AB，则D为AB的中点，即AD＝BD，∵AF＝BE，∴AD﹣AF＝BD﹣BE，即FD＝ED，∴四边形OEFC为平行四边形，∵OD⊥EF，则四边形OEFC为菱形；（2）∵OD＝DC=12OC＝∴在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AD=AO2要使四边形OEFC为正方形，必须FD＝OD＝3，则此时AF＝AD﹣FD＝33-3【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形、菱形、正方形的判定，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．一．选择题（共4小题）1．（2022秋•高邮市期中）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（）A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16【分析】连接OM、ON、OA、OP，由垂径定理得OM⊥AB，ON⊥PQ，AM=12AB＝12，PN=12PQ＝5，由勾股定理得OM＝5，ON＝12，当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝7，当AB、PQ位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OM+【解答】解：连接OM、ON、OA、OP，如图所示：∵⊙O的直径为26，∴OA＝OP＝13，∵点M、N分别是弦AB、PQ的中点，AB＝24，PQ＝10，∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM=12AB＝12，PN=12∴OM=132-12当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝OM﹣ON＝12﹣5＝7，当AB、PQ位于O的两侧时，线段MN的长度最长＝OM+ON＝12+5＝17，∴线段MN的长度的取值范围是7≤MN≤17，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．2．（2022秋•如皋市校级月考）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（）A．8 B．10 C．45 D．43【分析】连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，根据垂径定理求出AE＝BE＝4，根据勾股定理求出OA2＝OE2+AE2，得出R2＝（R﹣2）2+42，求出R，再求出CE，最后根据勾股定理求出AC即可．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣2）2+42，解得：R＝5，即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，∴AC=CE2故选：C．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．3．（2022秋•灌云县月考）如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦DE⊥AB于点C，若AD＝DE，则BC的长为（）A．23 B．43 C．1 D【分析】根据垂径定理求出DC＝CE，求出DC=12AD，求出∠DAB＝30°，求出∠CDB＝30°，根据含30°角的直角三角形性质求出BD=12AB，BC=【解答】解：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DC＝CE=12DE，∠ACD＝∠BCD＝∵AD＝DE，∴DC=12∴∠DAC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD=12AB=∵∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，∴∠ABD＝60°，∵∠DCB＝90°，∴∠CDB＝30°，∴BC=12BD故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，直角三角形的性质和圆周角定理等知识点，能根据垂径定理求出DC＝CE是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．4．（2020秋•金坛区月考）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（）A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2【分析】连接OB，设半径为rcm，则OE＝（r﹣2）cm，先由勾股定理构建方程求出半径的长，再由三角形面积和垂径定理即可解决问题．【解答】解：连接OB，如图所示：设⊙O的半径为rcm，则OE＝（r﹣2）cm，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，∴BE＝DE＝4（cm），在Rt△OBE中，∵OE2+BE2＝OB2，∴（r﹣2）2+42＝r2解得：r＝5，∵△BOC的面积=12OC×BE=12×4×5＝∵OF⊥BC，∴BF＝CF，∴△OFC的面积=12△BOC的面积＝5（cm故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理，属于中考常考题型．二．填空题（共4小题）5．（2022秋•姜堰区期中）如图，半圆O的直径AB＝4，弦CD=22，弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为π【分析】根据勾股定理的逆定理可得△COD是直角三角形，进而得出OM长等于CD的一半，再根据旋转可得OM旋转的圆心角为90°，半径OM=2【解答】解：如图，连接OC、OD、OM，∵OC＝OD=12AB＝又∵CD＝22，∵CD2＝8，OC2+OD2＝22+22＝8，∴CD2＝OC2+OD2，∴∠COD＝90°，又∵点M是CD的中点，∴OM=12CD∵弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，OM就绕着点O逆时针旋转90°，∴在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为90π×(故答案为：π2【点评】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的前提．6．（2022秋•工业园区校级月考）如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为10．【分析】如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD．首先证明DH＝BA＝2，利用勾股定理求出CH即可．【解答】解：如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD．∵CH是直径，∴∠CBH＝∠CDH＝90°，∴CB⊥BH，∵CB⊥AD，∴AD∥BH，∴∠ADB＝∠DBH，∴AB=∴DH＝BA＝2，而CD＝6，根据勾股定理CH=CD2+D∴⊙O半径长为10．故答案为10．【点评】此题主要考查了圆周角定理及其推论，同时也利用了勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键．7．（2022秋•吴江区校级月考）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，AB＝6，则⊙O半径为134【分析】根据垂径定理求出BE＝AE＝3，根据勾股定理得出OB2＝BE2+OE2，再求出R即可．【解答】解：∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝6，∴AE＝BE＝3，∠OEB＝90°，设⊙O的半径为R，由勾股定理得：OB2＝BE2+OE2，即R2＝32+（R﹣2）2，解得：R=13即⊙O的半径为134故答案为：134【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．8．（2021秋•江都区月考）如图，圆形纸片⊙O半径为5，先在其内剪出2个边长相等的最大正方形，再在剩余部分剪出2个边长相等的最大正方形，则第二次剪出的正方形的边长是-4+【分析】连接AB、OE，过O作OF⊥DE于F，设BC＝x，DE＝y，由圆周角定理得AB是⊙O的直径，AB＝2OA＝25，再在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，求出x＝2，然后在Rt△OEF中，由勾股定理得出方程，求解即可．【解答】解：如图，连接AB、OE，过O作OF⊥DE于F，则DF＝EF，设BC＝x，DE＝y，由题意得：∠C＝90°，AC＝2BC＝2x，∴AB是直径，∴AB＝2OA＝25，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝（25）2，解得：x＝2，则BC＝2，在Rt△OEF中，由勾股定理得：（12×2+y）2+（12y）2＝（5解得：y=-即第二次剪出的正方形的边长是-4故答案为：-4【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、正方形的性质；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．三．解答题（共4小题）9．（2022秋•东台市期中）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），（1）根据题意，画出平面直角坐标系；（2）在图中标出圆心M的位置，写出圆心M点的坐标（2，0）．【分析】（1）根据给出的点的坐标画出平面直角坐标系；（2）根据垂径定理、三角形外心的性质解答．【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示：（2）由平面直角坐标系可知，圆心M点的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．10．（2020秋•东台市月考）如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；（2）构建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得结论．【解答】解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；（2）连接AO、BO，AO交BC于E，∵AB＝AC，∴AE⊥BC，∴BE=12BC=12在Rt△ABE中，AE=AB设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝42+（R﹣3）2，R=25答：圆片的半径R为256cm【点评】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图等知识点，要注意作图和解题中垂径定理的应用．11．（2022秋•启东市校级月考）如图，在⊙O中，AB、AC是互相