2020-2021学年河南省郑州市中原区桐柏一中九年级(下)第一次月考数学试卷

2020-2021学年河南省郑州市中原区桐柏一中九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．（3分）的相反数是（）A．2020 B． C．﹣2020 D．2．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（）A．调查电视台节目的收视率 B．调查嫦娥四号登月探测器的零部件质量 C．调查炮弹的杀伤力的情况 D．调查市民对皮影表演艺术的喜爱程度4．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（）A．75° B．90° C．105° D．115°5．（3分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（）A．4×1013千米 B．4×1012千米 C．9.5×1013千米 D．9.5×1012千米6．（3分）点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则有（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y17．（3分）定义新运算“a*b”对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：4*3＝（4+3）×（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根8．（3分）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（）A．x2＝（x﹣1）2+102 B．（x+1）2＝x2+102 C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+129．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O与原点重合，点A在x轴的正半轴上，AC⊥OC．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OC于点E，F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点P；③作射线OP，交边AC于点D．若CD＝3，AD＝5，则点B的坐标为（）A．（10，） B．（，） C．（12，） D．（，）10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCO的一边CO在x轴上，A，B在第二象限，C在A左侧，∠AOC＝60°，AC＝5，AO＝2，直线ED的解析式为y＝﹣x+5，现将平行四边形沿x轴向右平移，当直线ED恰好平分平行四边形ABCO的面积时，此时的平移距离为（）A．+ B．4+2 C．8 D．5+二、填空题（本大题共5小题，共15分）11．（3分）计算：﹣2+（﹣2）0＝．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第二象限的概率为．14．（3分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝17，CD为AB边上的高，CD＝12，点P为边BC上的一个动点，M、N分别为边AB，AC上的动点，则△MNP周长的最小值是．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x为整数，且满足0＜x＜．17．（9分）红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如下：1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100；2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90；3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100．整理数据：分数人数班级607080901001班016212班113a13班11422分析数据：平均数中位数众数1班8380802班83cd3班b8080根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由；（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？18．（9分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）19．（9分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面高度b为米．（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．（3）当0≤t≤11时，直接写出经过多长时间，甲、乙两人距地面的高度之差为50米？20．（9分）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆O上．（1）求证：AE＝AB；（2）填空：①当∠CAD＝°时，四边形OBED是菱形．②当∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2时，BC＝．21．（10分）已知二次函数y＝x2+mx+n（m，n为常数）．（1）若m＝﹣2，n＝﹣4，求二次函数的最小值；（2）若n＝3，该二次函数的图象与直线y＝1只有一个公共点，求m的值；（3）若n＝m2，且3m+4＜0，当x满足m≤x≤m+2时，y有最小值13，求此二次函数的解析式．22．（10分）小兴在数学学习中遇到这样一个问题：如图1，已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm，BC边上的高AD＝4cm，∠ABC的角平分线交AD于F，点E是BC边上的动点，点G是BE的中点，连接EF，当△GEF是等腰三角形时，求出线段BE的长度．小兴发现通过常规推理计算很难解决这个问题，于是他根据学习函数的经验，对EF，FG和BE的长度之间的关系进行探究：（1）设BE的长度为x，通过画图，测量，计算，分析，得到了BE，FG，EF长度的几组对应值，如表：BE/cm012345…FG/cm3.352.972.552.171.841.60…EF/cm3.352.501.801.501.80a…操作中发现，EF的最小值为，当BE的长是5时，EF的长a＝．（2）将线段BE的长度作为自变量x，EF和GF分别是x的函数，记为yEF和yGF，并在平面直角坐标系中画出了函数yEF的图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中根据小兴描出的点，画出函数yGF的图象．（3）想要彻底解决这个问题，仍需要在坐标系中绘制出一条函数图象，它是：，请你画出它的函数图象，结合图象直接写出，当△GEF是等腰三角形时，线段BE长的近似值为（保留一位小数）．23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．【问题发现】（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是．EH与AD的位置关系是．【猜想论证】（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积．

2020-2021学年河南省郑州市中原区桐柏一中九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．（3分）的相反数是（）A．2020 B． C．﹣2020 D．【解答】解：的相反数是；故选：B．2．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．主视图、左视图、俯视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意；B.主视图与左视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；而俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意；C．主视图是“L”型，俯视图是一行三个小正方形，而左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意．D．主视图为底层两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；左视图为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意；故选：A．3．（3分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（）A．调查电视台节目的收视率 B．调查嫦娥四号登月探测器的零部件质量 C．调查炮弹的杀伤力的情况 D．调查市民对皮影表演艺术的喜爱程度【解答】解：A、调查电视台节目的收视率，适合抽样调查，故选项错误；B、调查嫦娥四号登月探测器的零部件质量，是精确度要求高的调查，适于全面调查，故选项正确；C、调查炮弹的杀伤力的情况，适合抽样调查，故选项错误；D、调查市民对皮影表演艺术的喜爱程度，适合抽样调查，故选项错误．故选：B．4．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（）A．75° B．90° C．105° D．115°【解答】解：∵BA∥EF，∠A＝30°，∴∠FCA＝∠A＝30°．∵∠F＝∠E＝45°，∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．故选：A．5．（3分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（）A．4×1013千米 B．4×1012千米 C．9.5×1013千米 D．9.5×1012千米【解答】解：依题意得：4.2光年＝4.2×9.5×1012≈4×1013．故选：A．6．（3分）点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则有（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1【解答】解：∵k＜0，∴函数图象在二，四象限，由x1＜0＜x2＜x3可知，横坐标为x1的点在第二象限，横坐标为x2，x3的点在第四象限．∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，∴y1最大，在第二象限内，y随x的增大而增大，∴y2＜y3＜y1．故选：B．7．（3分）定义新运算“a*b”对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：4*3＝（4+3）×（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【解答】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0．∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．8．（3分）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（）A．x2＝（x﹣1）2+102 B．（x+1）2＝x2+102 C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣1）2＝x2，故选：A．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O与原点重合，点A在x轴的正半轴上，AC⊥OC．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OC于点E，F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点P；③作射线OP，交边AC于点D．若CD＝3，AD＝5，则点B的坐标为（）A．（10，） B．（，） C．（12，） D．（，）【解答】解：过D作DQ⊥OA交OA于点Q，过B作BH⊥OA于H，如图所示，由题意知：OD是∠COA的角平分线，∴∠COD＝∠QOD，∵AC⊥OC，DQ⊥OA，在△COD和△QOD中，∴△COD≌QOD）（AAS），∴DC＝DQ＝3，∴OC＝OQ，∵AD＝5，∴AQ＝＝＝4，设OC＝OQ＝a，在Rt△AOC中，有a2+（3+5）2＝（a+4）2，解得：a＝6，∴OA＝OQ+QA＝6+4＝10，∵四边形OACB是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠COA＝∠BAH，OC＝AB，∴△ABH∽△OAC，∴，，∴AH＝＝＝，BH＝＝，∴OH＝OA+AH＝10+＝，∴B（，）．故选：D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCO的一边CO在x轴上，A，B在第二象限，C在A左侧，∠AOC＝60°，AC＝5，AO＝2，直线ED的解析式为y＝﹣x+5，现将平行四边形沿x轴向右平移，当直线ED恰好平分平行四边形ABCO的面积时，此时的平移距离为（）A．+ B．4+2 C．8 D．5+【解答】解：作AM⊥OC于M，∵∠AOC＝60°，AC＝5，AO＝2，∴OM＝AO＝，AM＝AO＝3，∴CM＝＝4，∴OC＝4+，∴A（﹣，3），C（﹣4﹣，0），∴AC的中点为（﹣2﹣，），平行四边形沿x轴向右平移，当直线ED恰好平分平行四边形ABCO的面积时，则ED必经过AC的中点，∴把y＝代入y＝﹣x+5得，＝﹣x+5，解得x＝，∵﹣（﹣2﹣）＝+，∴平移距离为+，故选：A．二、填空题（本大题共5小题，共15分）11．（3分）计算：﹣2+（﹣2）0＝2．【解答】解：原式＝3﹣2+1＝2，故答案为：212．（3分）不等式组的解集是﹣2≤x＜．【解答】解：解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2，解不等式x﹣5＜，得：x＜，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，故答案为：﹣2≤x＜．13．（3分）现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第二象限的概率为．【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3，所以点P（m，n）在第二象限的概率＝．故答案为：．14．（3分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：连接OG，QG，∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，∴∠FDC＝30°，∴∠DFC＝60°，∵⊙O与CD相切于点G，∴OG⊥CD，∵BC⊥CD，∴OG∥BC，∴△DOG∽△DFC，∴，设OG＝OF＝x，则，解得：x＝，即⊙O的半径是．连接OQ，作OH⊥FQ，∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，∴△OFQ为等边三角形；同理△OGQ为等边三角形；∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝OQ＝，∴QH＝＝，∴CQ＝∵四边形OHCG为矩形，∴OH＝CG＝，∴S阴影＝S△CGQ＝＝＝．故答案为：．15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝17，CD为AB边上的高，CD＝12，点P为边BC上的一个动点，M、N分别为边AB，AC上的动点，则△MNP周长的最小值是．【解答】解：作点P关于直线AB,AC的对称点Q,R,连接QM,RN,QR,如图:则PM＝QM,PN＝RN,.∴△PMN的周长为:PM+MN+PN＝QM+MN+RN,∴当点Q,M,N,R四点共线时,△MNP的周长最小,即为QR的长,连接AQ,AP,AR,:点P关于直线AB,AC的对称点为点Q,R,∴∠BAQ＝∠BAP,∠CAR＝∠CAP,AQ＝AP＝AR,∴∠QAP＝2∠BAP,∠RAP＝2∠CAP,∵∠BAC＝45°,∴∠BAP+∠CAP＝45°,∴2∠BAP+2∠CAP＝90°,∴∠QAR＝∠QAP+∠RAP＝2∠BAP+2∠CAP＝90°,在Rt△QAR中，∠QAR＝90°,AQ＝AR,∵AQ²+AR²＝QR²,∴2AQ²＝QR²,∴QR＝AQ＝AP,∴求QR的最小值时，只需求出AP的最小值,∵点P在BC上运动,∴当AP⊥BC时，AP的值最小,此时QR的值最小，即△MNP的周长最小,在Rt△DAC中,∠ADC＝90°,∠DAC＝45°，∴∠DCA＝90°一∠DAC＝90°﹣45°＝45°＝∠DAC∴AD＝CD＝12,∵AB＝17,∴BD＝AB﹣AD＝17﹣12＝5，在Rt△DBC中,∠BDC＝90°，∴BC＝＝＝13,∴当AP⊥BC时,S△ABC＝BC•AP＝AB•CD,∴AP＝＝＝,∴QR＝AP＝×＝,∴△NMP的周长的最小值为．故答案为：.三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x为整数，且满足0＜x＜．【解答】解：原＝÷＝•＝﹣，∵x为整数，且满足0＜x＜，∴x为1或2，但是当x＝1时，分式无意义，所以只有x＝2，当x＝2时，原式＝﹣．17．（9分）红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如下：1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100；2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90；3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100．整理数据：分数人数班级607080901001班016212班113a13班11422分析数据：平均数中位数众数1班8380802班83cd3班b8080根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由；（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？【解答】解：（1）由题意知a＝4，b＝×（90+60+70+80+80+80+80+90+100+100）＝83，2班成绩重新排列为60，70，80，80，80，90，90，90，90，100，∴c＝＝85，d＝90；（2）从平均数上看三个班都一样；从中位数看，1班和3班一样是80，2班最高是85；从众数上看，1班和3班都是80，2班是90；综上所述，2班成绩比较好；（3）570×＝76（张），答：估计需要准备76张奖状．18．（9分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）【解答】解：如图，作BE⊥DH于点E，则GH＝BE、BG＝EH＝10米，设AH＝x米，则BE＝GH＝GA+AH＝（43+x）米，在Rt△ACH中，CH＝AHtan∠CAH＝x•tan55°，∴CE＝CH﹣EH＝x•tan55°﹣10，∵∠DBE＝45°，∴BE＝DE＝CE+DC，即43+x＝x•tan55°﹣10+35，解得：x≈45，∴CH＝x•tan55°＝1.4×45＝63，答：塔杆CH的高为63米．19．（9分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟10米，乙在A地时距地面高度b为30米．（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．（3）当0≤t≤11时，直接写出经过多长时间，甲、乙两人距地面的高度之差为50米？【解答】解：（1）（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），b＝15÷1×2＝30．故答案为：10；30；（2）当0≤x≤2时，y＝15x；当x＞2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝；（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤11）．当10x+100﹣（30x﹣30）＝50时，解得：x＝4；当30x﹣30﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝9；当300﹣（10x+100）＝50时，解得：x＝15（舍去）．答：登山4分钟或9分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．20．（9分）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆O上．（1）求证：AE＝AB；（2）填空：①当∠CAD＝30°时，四边形OBED是菱形．②当∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2时，BC＝3．【解答】（1）证明：由折叠知，AC＝AE，∠C＝∠AED，∵∠ABC＝∠AED，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∴AE＝AB；（2）解：①如图，∵四边形AOED是菱形，∴DE＝OA＝AD，连接OD，∴OA＝OD，∴AD＝OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝60°，同理：∠ODE＝60°，∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝120°，由折叠知，CD＝DE，∠ADC＝∠ADE，∴∠ADC＝120°，∵AD＝DE，∴CD＝AD，∴∠CAD＝∠C＝（180°﹣∠ADC）＝30°，故答案为：30°．②如图，过点A作AF⊥BE于F，由（1）知，AE＝AB，∴EF＝BE＝1，∵∠ADB＝∠AEB，cos∠ADB＝，∴cos∠AEB＝，在Rt△AFE中，cos∠AEB＝＝，∴AE＝3EF＝3，由（1）知，AE＝AB，∴AB＝3，由（1）知，AB＝AC，∵∠CAB＝90°，∴BC＝AB＝3，故答案为：3．21．（10分）已知二次函数y＝x2+mx+n（m，n为常数）．（1）若m＝﹣2，n＝﹣4，求二次函数的最小值；（2）若n＝3，该二次函数的图象与直线y＝1只有一个公共点，求m的值；（3）若n＝m2，且3m+4＜0，当x满足m≤x≤m+2时，y有最小值13，求此二次函数的解析式．【解答】解：（1）当m＝﹣2，n＝﹣4时，y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5∴当x＝1时，y最小值＝﹣5；（2）当n＝3时，y＝x2+mx+3，令y＝1，则x2+mx+3＝1，由题意知，x2+mx+3＝1有两个相等的实数根，则△＝m2﹣8＝0，∴m＝；（3）由3m+4＜0，可知m，∴m≤x≤m+2，抛物线y＝x2+mx+m2的对称轴为x＝，∵m，∴，∴对称轴为x＝，∴在m≤x≤m+2时，y随x的增大而减小，∴当x＝m+2，y有最小值为13，∴（m+2）2+m（m+2）+m2＝13，即m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或m＝﹣3，而m，∴m＝﹣3，此时，y＝x2﹣3x+9．22．（10分）小兴在数学学习中遇到这样一个问题：如图1，已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm，BC边上的高AD＝4cm，∠ABC的角平分线交AD于F，点E是BC边上的动点，点G是BE的中点，连接EF，当△GEF是等腰三角形时，求出线段BE的长度．小兴发现通过常规推理计算很难解决这个问题，于是他根据学习函数的经验，对EF，FG和BE的长度之间的关系进行探究：（1）设BE的长度为x，通过画图，测量，计算，分析，得到了BE，FG，EF长度的几组对应值，如表：BE/cm012345…FG/cm3.352.972.552.171.841.60…EF/cm3.352.501.801.501.80a…操作中发现，EF的最小值为1.50，当BE的长是5时，EF的长a＝2.50．（2）将线段BE的长度作为自变量x，EF和GF分别是x的函数，记为yEF和yGF，并在平面直角坐标系中画出了函数yEF的图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中根据小兴描出的点，画出函数yGF的图象．（3）想要彻底解决这个问题，仍需要在坐标系中绘制出一条函数图象，它是：yGE，请你画出它的函数图象，结合图象直接写出，当△GEF是等腰三角形时，线段BE长的