2022-2023学年江苏省扬州市高二下学期6月期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省扬州市2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.已知集合，，则集合中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由得，所以.故选：C.2.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗若命题“”是假命题，则“”为真命题，又对于函数，当时，取到最小值，所以恒成立，故实数的取值范围是.故选：B.3.已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（）A. B. C.1 D.4〖答案〗A〖解析〗由直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，可得，所以，即，解得，所以.故选：A.4.已知函数若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗得，当以及时，均为单调递增函数，且当时，当时，因此为上的单调递增函数，由得，故选：D.5.某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据：012百元5421经分析知，与之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为，则（）A.3 B.2.8 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗依题意，，又回归直线方程必过样本中心点，所以，解得.故选：C.6.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗,此时可排除A,,此时可排除C,由于，所以，故排除D，故选：B.7.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，则，令，.故选：D.8.已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为偶函数满足，则，即，所以，函数是周期为的周期函数，当时，，令，可得.由可得，由可得.所以，函数在上单调递增，在上单调递减，因为关于的不等式在上有且只有个整数解，则关于的不等式在上有且只有个整数解，如下图所示：因为，且，又因为，所以，要使得不等式在上有且只有个整数解，则这五个整数解分别为、、、、，所以，，即，故选：B.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知，则（）A.B.C.D.若越大，则越大〖答案〗AC〖解析〗由正态分布，可得对称轴为，对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确；对于B中，根据正态分布区间的对称性，可得，所以，所以B不正确；对于C中，根据正态分布区间的对称性，可得，所以，所以C正确；对于D中，根据正态分布曲线，越大，正态分布曲线越扁平，所以越小，所以D不正确.故选：AC.10.某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是（）A.若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法B.若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法C.若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法D.若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法〖答案〗BCD〖解析〗A选项，若3个歌唱节目排在一起，则有种情况，将3个歌唱节目看为一个整体，和2个语言类节目进行排列，则有种情况，综上，共有种情况，A错误；B选项，歌唱节目与语言类节目相间排列，则歌唱类节目在两端和最中间，语言类放在歌唱类节目的之间，则有种情况，B正确；C选项，若2个语言类节目不排在一起，则采用插空法，先安排歌唱类节目，有种情况，再将语言类节目插入到3个节目形成的4个空格中，有种，综上，共有种情况，C正确；D选项，前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况，前2个节目中有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况，综上，有种不同的排法，D正确.故选：BCD.11.下列命题中正确的是（）A.B.函数在区间内是减函数C.若函数有两个零点，则实数的取值范围是D.函数的图象经过点，当时，〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为在上递减，所以，因为在上递减，所以，所以，所以A正确，对于B，因为，所以的图象是由向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，因为在上递增，所以函数在区间内是增函数，所以B错误，对于C，由，得，令与，因为有两个零点，所以函数与的图象有两个交点，作出和的图象如图所示，由图可知当时，两图象有两个交点，所以实数的取值范围是，所以C正确，对于D，因为函数的图象经过点，所以，得，所以，因为当时，，所以，所以，所以，令，则，所以，所以，所以D正确，故选：ACD.12.如图，设正方体的棱长为为线段的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.当为的中点时，点到平面的距离为B.当为的中点时，记与平面的交点为，则C.存在，使得异面直线与所成的角为D.存在，使得点到直线的距离为〖答案〗ABD〖解析〗如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，，，，，，，，.当为的中点时，，，，设平面的法向量为，则，令得，又，则点到平面的距离为，故A正确；对于选项B：设，则，又点M在平面内，则，所以，解得，所以，，所以，正确；设，，则，，若异面直线与所成的角为，则，平方化简得，解得，又，所以方程无解，故点不存在，故C错误；，，，所以，则点到直线的距离为，平方化简得，解得或，又，所以，故点存在，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.直线是曲线的一条切线，则实数___________．〖答案〗〖解析〗，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以．14.已知平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则__________.〖答案〗〖解析〗，，．故〖答案〗为：.15.现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据，其中分别表示第个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，构造向量，，其中，，并计算得，，，，，由选择性必修二教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数__________.〖答案〗〖解析〗由题干数据，，可得，根据夹角公式的定义，，而，根据，于是.故〖答案〗为：.16.五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，则__________，__________.〖答案〗〖解析〗设X表示向右移动的次数，则.若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次，所以回到原点的概率.因为机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，X表示向右移动的次数则表示向左移动的次数，则，，则，所以.故〖答案〗为：；.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.已知集合，，其中.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）将代入，所以，而，所以.（2）因为，所以.因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以，则或，解得.18.在的展开式中，__________.给出下列条件：①若前三项的二项式系数之和为46；②若所有奇数项的二项式系数之和为256；③若第7项为常数项.试在这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项.解：（1）选①：由前三项的二项式系数之和为，可得，即，解得或（舍去）.选②：由所有奇数项的二项式系数之和为256，可得，解得n=9.选③：由二项展开式的通项为，令，则，因为展开式中第7项为常数项，即，所以n=9.（2）因为，其中，所以当或6时，可得为整数，所以有理项为和.19.在这7个自然数中.（1）每次取一个数，取后放回，共取3次，设为取到奇数的次数，求的数学期望；（2）任取3个不同的数，设为其中奇数的个数，求的概率分布.解：（1）（解法一）因为每次取到的数是奇数的概率为，取到的数不是奇数的概率为，所以随机变量可能的取值为，且，所以.（解法二）因为随机变量可能的取值为，所以，.所以.（2）奇数为：，共4个；偶数为，共3个.随机变量可能的取值为.则.可得随机变量的概率分布为：012320.如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形，,分别为上的点,且.（1）若,求证:平面;（2）若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值.（1）证明：当时,,即点分别为的中点,在直三棱柱中,,所以,所以四边形为平行四边形,所以,，又,所以,所以四边形为平行四边形,则,又因为平面平面,所以平面.（2）解：平面,又,以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则点,由得,所以.设平面的一个法向量,则,即,取得,设直线与平面所成角为,则,得,解得或,又因为,所以.而,所以,设平面的一个法向量为,则,即,取,则,又平面的一个法向量为,得,观察得二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.21.某电影平台为了解观众对某影片的感受，已知所有参评的观众中男、女之比为2：1，现从中随机抽取120名男性和60名女性进行调查，抽取的男观众中有80人给了“点赞”的评价，女观众中有45人给了“一般”的评价.（1）把下面列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对该影片的评价与性别有关？性别评价结果合计点赞一般男80女45合计180（2）用频率估计概率，在所有参评的观众中按“男”和“女”进行分层抽样，随机抽取6名参评观众.①若再从这6名参评观众中随机抽取1人进行访谈，求这名观众给出“点赞”评价的概率；②若再从这6名参评观众中随机抽取2人进行访谈，求在抽取的2人均给出“点赞”的条件下，这2人是1名男性和1名女性的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）填写列联表如下：性别评价结果合计点赞一般男8040120女154560合计9585180假设：对该影片的评价与性别无关.根据列联表中的数据可以求得由于，且当成立时，，所以有的把握认为对该影片的评价与性别有关.（2）①由分层抽样知，随机抽取的6名参评观众中，男性有4人，女性有2人.根据频率估计概率知，男性观众给出“点赞”评价的概率为，给出“一般”评价的概率为；女性观众给出“点赞”评价的概率为，给出“一般”评价的概率为.从这6名参评观众中随机抽取1人进行访谈，记“这名学生给出“点赞”评价”为事件，“这名观众是男性观众”为事件，“这名观众是女性观众”为事件.则，所以②从这6名参评观众中随机抽取2人进行访谈，记“抽取的2人均给出“点赞’的评价”为事件，“这两名观众均是男性”为事件，“这两名观众均是女性”为事件，“这两名观众是1名男性和1名女性”为事件.则，.所以，所以.22.已知为实数，函数.（1）若函数在区间上存在极值点，求的取值范围，并说明是极大值点还是极小值点；（2）若对恒成立，求的取值范围.解：（1）由题可知，.①当时，在上单调递增，无极值，不成立；②当时，在上单调递增.由题可知，，使得，且时，单调递减；当时，单调递增，即是极小值点，所以解之得.综上，，且该极值点为极小值点.（2）方法一：由题得，对恒成立.记，则，令，则，令，则在上单调递增，又.=1\*GB3①当，即时，，即在上单调递增，又，所以，即在上单调递增，又，所以当时，恒成立.②当，即时，，所以由零点存在性定理可知，，使得，则当时，，即在上单调递减，又，所以当时，，即，所以当时，单调递减，又，所以当时，，矛盾，不成立.综上所述，的取值范围为.方法二：由题得，对恒成立.记，①当时，记，所以，所以在上单调递增，所以，所以，记，所以，令,所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，则，所以在上单调递增，则，所以对恒成立；②当时，在上单调递增，因为，所以，使得，且时，单调递减.所以当时，单调递减，所以当时，，与对恒成立矛盾.综上，.江苏省扬州市2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.已知集合，，则集合中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由得，所以.故选：C.2.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗若命题“”是假命题，则“”为真命题，又对于函数，当时，取到最小值，所以恒成立，故实数的取值范围是.故选：B.3.已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（）A. B. C.1 D.4〖答案〗A〖解析〗由直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，可得，所以，即，解得，所以.故选：A.4.已知函数若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗得，当以及时，均为单调递增函数，且当时，当时，因此为上的单调递增函数，由得，故选：D.5.某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据：012百元5421经分析知，与之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为，则（）A.3 B.2.8 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗依题意，，又回归直线方程必过样本中心点，所以，解得.故选：C.6.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗,此时可排除A,,此时可排除C,由于，所以，故排除D，故选：B.7.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，则，令，.故选：D.8.已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为偶函数满足，则，即，所以，函数是周期为的周期函数，当时，，令，可得.由可得，由可得.所以，函数在上单调递增，在上单调递减，因为关于的不等式在上有且只有个整数解，则关于的不等式在上有且只有个整数解，如下图所示：因为，且，又因为，所以，要使得不等式在上有且只有个整数解，则这五个整数解分别为、、、、，所以，，即，故选：B.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知，则（）A.B.C.D.若越大，则越大〖答案〗AC〖解析〗由正态分布，可得对称轴为，对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确；对于B中，根据正态分布区间的对称性，可得，所以，所以B不正确；对于C中，根据正态分布区间的对称性，可得，所以，所以C正确；对于D中，根据正态分布曲线，越大，正态分布曲线越扁平，所以越小，所以D不正确.故选：AC.10.某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是（）A.若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法B.若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法C.若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法D.若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法〖答案〗BCD〖解析〗A选项，若3个歌唱节目排在一起，则有种情况，将3个歌唱节目看为一个整体，和2个语言类节目进行排列，则有种情况，综上，共有种情况，A错误；B选项，歌唱节目与语言类节目相间排列，则歌唱类节目在两端和最中间，语言类放在歌唱类节目的之间，则有种情况，B正确；C选项，若2个语言类节目不排在一起，则采用插空法，先安排歌唱类节目，有种情况，再将语言类节目插入到3个节目形成的4个空格中，有种，综上，共有种情况，C正确；D选项，前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况，前2个节目中有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况，综上，有种不同的排法，D正确.故选：BCD.11.下列命题中正确的是（）A.B.函数在区间内是减函数C.若函数有两个零点，则实数的取值范围是D.函数的图象经过点，当时，〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为在上递减，所以，因为在上递减，所以，所以，所以A正确，对于B，因为，所以的图象是由向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，因为在上递增，所以函数在区间内是增函数，所以B错误，对于C，由，得，令与，因为有两个零点，所以函数与的图象有两个交点，作出和的图象如图所示，由图可知当时，两图象有两个交点，所以实数的取值范围是，所以C正确，对于D，因为函数的图象经过点，所以，得，所以，因为当时，，所以，所以，所以，令，则，所以，所以，所以D正确，故选：ACD.12.如图，设正方体的棱长为为线段的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.当为的中点时，点到平面的距离为B.当为的中点时，记与平面的交点为，则C.存在，使得异面直线与所成的角为D.存在，使得点到直线的距离为〖答案〗ABD〖解析〗如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，，，，，，，，.当为的中点时，，，，设平面的法向量为，则，令得，又，则点到平面的距离为，故A正确；对于选项B：设，则，又点M在平面内，则，所以，解得，所以，，所以，正确；设，，则，，若异面直线与所成的角为，则，平方化简得，解得，又，所以方程无解，故点不存在，故C错误；，，，所以，则点到直线的距离为，平方化简得，解得或，又，所以，故点存在，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.直线是曲线的一条切线，则实数___________．〖答案〗〖解析〗，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以．14.已知平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则__________.〖答案〗〖解析〗，，．故〖答案〗为：.15.现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据，其中分别表示第个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，构造向量，，其中，，并计算得，，，，，由选择性必修二教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数__________.〖答案〗〖解析〗由题干数据，，可得，根据夹角公式的定义，，而，根据，于是.故〖答案〗为：.16.五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，则__________，__________.〖答案〗〖解析〗设X表示向右移动的次数，则.若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次，所以回到原点的概率.因为机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，X表示向右移动的次数则表示向左移动的次数，则，，则，所以.故〖答案〗为：；.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.已知集合，，其中.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）将代入，所以，而，所以.（2）因为，所以.因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以，则或，解得.18.在的展开式中，__________.给出下列条件：①若前三项的二项式系数之和为46；②若所有奇数项的二项式系数之和为256；③若第7项为常数项.试在这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项.解：（1）选①：由前三项的二项式系数之和为，可得，即，解得或（舍去）.选②：由所有奇数项的二项式系数之和为256，可得，解得n=9.选③：由二项展开式的通项为，令，则，因为展开式中第7项为常数项，即，所以n=9.（2）因为，其中，所以当或6时，可得为整数，所以有理项为和.19.在这7个自然数中.（1）每次取一个数，取后放回，共取3次，设为取到奇数的次数，求的数学期望；（2）任取3个不同的数，设为其中奇数的个数，求的概率分布.解：（1）（解法一）因为每次取到的数是奇数的概率为，取到的数不是奇数的概率为，所以随机变量可能的取值为，且，所以.（解法二）因为随机变量可能的取值为，所以，.所以.（2）奇数为：，共4个；偶数为，共3个.随机变量可能的取值为.则.可得随机变量的概率分布为：012320.如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形，,分别为上的点,且.（1）若,求证:平面;（2）若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值.（1）证明：当时,,即点分别为的中点,在直三棱柱中,,所以,所以四边形为平行四边形,所以,，又,所以,所以四边形为平行四边形,则,又因为平面平面,所以平面.（2）解：平面,又,以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则点,由得,所以.设平面的一个法向量,则,即,取得,设直线与平面所成角为,则,得,解得或,又因为,所以.而,所以,设平面的一个法向量为,则,即,取,则,又平面的一个法向量为,得,观察得二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.21.某电影平台为了解观众对某影片的感受，已知所有参评的观众中男、女之比为2：1，现从中随机抽取120名男性和60名女性进行调查，抽取的男观众中有80人给了“点赞”的评价，女观众中有45人给了“一般”的评价.（1）把下面列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对该影片的评价与性别有关？性别评价结果合计点赞一般男80女45合计180（2）用频率估计概率，在所有参评的观众中按“男”和