2022-2023学年广西壮族自治区河池八校同盟体高二下学期5月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区河池八校同盟体2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题注意事项：1．本卷共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束，将本试题和答题卡一并交回．一､单选题：本大题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.2.若复数（为虚数单位），若其共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为复数，其共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：C.3.某市四区夜市地推的推位数和食品推位比例分别如图1､图2所示，为提升夜市消费品质，现用分层抽样的方法抽取的推位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品推位数分别为（）A.420，24 B.420，22 C.252，24 D.252，22〖答案〗B〖解析〗根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为；区抽取的食品推位数为．故选：B．4.设是同一试验中的两个随机事件，与分别是事件，事件发生的概率，若，则“事件为对立事件”是“”的（）A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗A〖解析〗因为，若事件为对立事件，则；但推不出两个事件对立；如掷一颗骰子，事件为出现1点，2点，3点；事件为出现3点，4点，5点，此时，但两个事件不对立，所以“事件为对立事件”是“”的充分不必要条件．故选：A.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位〖答案〗D〖解析〗因为，所以将向右平移个单位即可得图象．故选：D.6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据，根据分母不为0，则，，根据得，则，则，排除A、B项；而，其图像关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，最后将其向上平移1个单位，则得到图中图像，且当时，，故D正确.故选：D.7.燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（）A.30 B.60 C.40 D.80〖答案〗C〖解析〗因为，将代入，则，则，所以，所以，故选：C.8.抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法一定正确的是（）A.的最小值为2 B.线段为直径的圆与直线轴相切C.为定值 D.若，则〖答案〗D〖解析〗对于A选项：抛物线，焦点为，准线方程为，由题意知直线斜率存在，设直线所在的直线方程为，由，消去可得，所以，则，当时，，故A、C错误；对于B选项：如图：设线段的中点为，过点作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得，所以，所以以线段为直径的圆与直线相切，故B错误；对于D选项：已知：，故，故D正确；故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分．共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（）A.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆B.当曲线表示双曲线时，的取值范围是C.当时，曲线表示两条直线D.存在，使得曲线为等轴双曲线〖答案〗AC〖解析〗对于A，当时，，表示焦点在轴上的椭圆，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故选项正确；对于，若曲线表示双曲线，则，解得或，即实数的取值范围为，故选项B错误；对于，当时，曲线，即，即曲线表示两条直线，故选项C正确；对于，若曲线为等轴双曲线，则，解集为，不存在，使得曲线为等轴双曲线，故选项D错误．故选：AC．10.函数（）A.最大值为2B.时，为增函数C.最大值为D.为奇函数〖答案〗BCD〖解析〗因为定义域为，且，所以为奇函数，故选项D正确；又，令，得或，即或，所以当时，，即时，为增函数，故选项B正确；所以，所以最大值为，故选项A错误，选项C正确，故选：BCD．11.已知直线与圆，则下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.圆的圆心坐标为C.存在实数，使得直线与圆相切D.若，直线被圆截得的弦长为4〖答案〗ABD〖解析〗变形为，故恒过定点正确；变形为，圆心坐标为，B正确；令圆心到直线的距离，整理得：，由可得，方程无解，故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误；若，直线方程为，圆心在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径4，D正确．故选：ABD．12随机变量且，随机变量，若，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因为且，所以，故，选项A正确，选项B正确；因为，所以，所以，解得，选项C正确；，选项D错误．故选：ABC．三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量，则实数__________．〖答案〗0〖解析〗由题意可得，故，即，故〖答案〗为：0.14.直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因为，所以，不妨设直线l与的切点为，斜率为，则，解得或或，当时，直线l为；当时，直线l为，即；当时，直线l为，即；综上：直线l的方程为或或.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.已知等比数列的前项和为，公比，且，，则______．〖答案〗〖解析〗由得，对任意的，，则，因为，解得，则，因为.故〖答案〗为：-1.16.已知球面上有三点，球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，且，则球的表面积为__________．〖答案〗〖解析〗令外接圆的半径为，球的半径为，由，得为等边三角形，则，即，依题意，，即，所以球的表面积为.故〖答案〗为：.四､解答题（共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17.已知等差数列的前项为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列由与的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列落在区间内的项的个数．解：（1）由题意，设等差数列公差为d，则，则.（2）因为，所以表示所有正整数的完全平方数从小到大组成的数列，而表示全体正奇数从小到大组成的数列，所以表示全体正奇数的平方从小到大组成的数列，因为，所以落在区间内的项的个数为22项．18.已知．在中，．（1）求角的大小；（2）若的内切圆半径为，求的面积．解：（1）由已知，，，即，又为三角形内角，且由，有，，即，.（2）内切圆半径为，，，且，即，，．19.如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的大小．（1）证明：因为平面平面，所以，由底面为矩形，有，而平面，所以平面，又平面，所以．又因为，点是的中点，所以．而平面，所以平面平面，所以，又平面，所以平面．（2）解：如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．因为，则，点是的中点，所以，由平面，所以是平面的一个法向量；由（1）知，平面，所以是平面的一个法向量．设平面与平面所成锐二面角为，，即平面与平面所成二面角的大小为，20.2023年7月世界游泳锦标赛将在日本福冈举行．中国队的“水上飞将”们将再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中．若甲､乙､丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，（1）求的值；（2）设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列和期望．解：（1）甲进入决赛的概率为；乙进入决赛的概率为；丙进入决赛的概率为．因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，所以有，整理得解得，或，又因为，所以；（2）由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为，的可能取值为，，，，所以的分布列为：0123．21.已知椭圆的焦距为，点在上．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，为椭圆的下顶点，当时，求的取值范围．解：（1）由题意可知，所以，所以①，又，所以②，由①②可得，，所以椭圆的方程为．（2）设点、、，联立，得，由题知，可得③，由韦达定理可得，，从而，，，则，即④，把④代入③得，解得，又，故的取值范围是．22.已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点，证明：.（1）解：由题意得，，令，则，在上单调递增，且，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得最小值，，得.（2）证明：不妨设，由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，，故，，设，则，故在上单调递增，，故，即，又在上单调递减，，.广西壮族自治区河池八校同盟体2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题注意事项：1．本卷共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束，将本试题和答题卡一并交回．一､单选题：本大题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.2.若复数（为虚数单位），若其共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为复数，其共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：C.3.某市四区夜市地推的推位数和食品推位比例分别如图1､图2所示，为提升夜市消费品质，现用分层抽样的方法抽取的推位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品推位数分别为（）A.420，24 B.420，22 C.252，24 D.252，22〖答案〗B〖解析〗根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为；区抽取的食品推位数为．故选：B．4.设是同一试验中的两个随机事件，与分别是事件，事件发生的概率，若，则“事件为对立事件”是“”的（）A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗A〖解析〗因为，若事件为对立事件，则；但推不出两个事件对立；如掷一颗骰子，事件为出现1点，2点，3点；事件为出现3点，4点，5点，此时，但两个事件不对立，所以“事件为对立事件”是“”的充分不必要条件．故选：A.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位〖答案〗D〖解析〗因为，所以将向右平移个单位即可得图象．故选：D.6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据，根据分母不为0，则，，根据得，则，则，排除A、B项；而，其图像关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，最后将其向上平移1个单位，则得到图中图像，且当时，，故D正确.故选：D.7.燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（）A.30 B.60 C.40 D.80〖答案〗C〖解析〗因为，将代入，则，则，所以，所以，故选：C.8.抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列说法一定正确的是（）A.的最小值为2 B.线段为直径的圆与直线轴相切C.为定值 D.若，则〖答案〗D〖解析〗对于A选项：抛物线，焦点为，准线方程为，由题意知直线斜率存在，设直线所在的直线方程为，由，消去可得，所以，则，当时，，故A、C错误；对于B选项：如图：设线段的中点为，过点作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得，所以，所以以线段为直径的圆与直线相切，故B错误；对于D选项：已知：，故，故D正确；故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分．共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（）A.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆B.当曲线表示双曲线时，的取值范围是C.当时，曲线表示两条直线D.存在，使得曲线为等轴双曲线〖答案〗AC〖解析〗对于A，当时，，表示焦点在轴上的椭圆，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故选项正确；对于，若曲线表示双曲线，则，解得或，即实数的取值范围为，故选项B错误；对于，当时，曲线，即，即曲线表示两条直线，故选项C正确；对于，若曲线为等轴双曲线，则，解集为，不存在，使得曲线为等轴双曲线，故选项D错误．故选：AC．10.函数（）A.最大值为2B.时，为增函数C.最大值为D.为奇函数〖答案〗BCD〖解析〗因为定义域为，且，所以为奇函数，故选项D正确；又，令，得或，即或，所以当时，，即时，为增函数，故选项B正确；所以，所以最大值为，故选项A错误，选项C正确，故选：BCD．11.已知直线与圆，则下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.圆的圆心坐标为C.存在实数，使得直线与圆相切D.若，直线被圆截得的弦长为4〖答案〗ABD〖解析〗变形为，故恒过定点正确；变形为，圆心坐标为，B正确；令圆心到直线的距离，整理得：，由可得，方程无解，故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误；若，直线方程为，圆心在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径4，D正确．故选：ABD．12随机变量且，随机变量，若，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因为且，所以，故，选项A正确，选项B正确；因为，所以，所以，解得，选项C正确；，选项D错误．故选：ABC．三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量，则实数__________．〖答案〗0〖解析〗由题意可得，故，即，故〖答案〗为：0.14.直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因为，所以，不妨设直线l与的切点为，斜率为，则，解得或或，当时，直线l为；当时，直线l为，即；当时，直线l为，即；综上：直线l的方程为或或.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.已知等比数列的前项和为，公比，且，，则______．〖答案〗〖解析〗由得，对任意的，，则，因为，解得，则，因为.故〖答案〗为：-1.16.已知球面上有三点，球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，且，则球的表面积为__________．〖答案〗〖解析〗令外接圆的半径为，球的半径为，由，得为等边三角形，则，即，依题意，，即，所以球的表面积为.故〖答案〗为：.四､解答题（共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17.已知等差数列的前项为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列由与的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列落在区间内的项的个数．解：（1）由题意，设等差数列公差为d，则，则.（2）因为，所以表示所有正整数的完全平方数从小到大组成的数列，而表示全体正奇数从小到大组成的数列，所以表示全体正奇数的平方从小到大组成的数列，因为，所以落在区间内的项的个数为22项．18.已知．在中，．（1）求角的大小；（2）若的内切圆半径为，求的面积．解：（1）由已知，，，即，又为三角形内角，且由，有，，即，.（2）内切圆半径为，，，且，即，，．19.如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的大小．（1）证明：因为平面平面，所以，由底面为矩形，有，而平面，所以平面，又平面，所以．又因为，点是的中点，所以．而平面，所以平面平面，所以，又平面，所以平面．（2）解：如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐