2022-2023学年福建省南平市高一下学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省南平市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则复数（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，故选：B2.甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354据此估计甲获得冠军的概率为（）A.0.5 B.0.6 C.0.65 D.0.68〖答案〗C〖解析〗由题意得甲获胜的情况有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13种，所以估计甲获得冠军的概率为，故选：C3.在中，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，∴．故选：D．4.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”进行两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2.5倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（）A.倍 B.1倍 C.倍 D.倍〖答案〗A〖解析〗由题意可得，，所以，即第二次的“晷影长”是“表高”的倍.故选：A.5.掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（）．A.互斥 B.互为对立C.相互独立 D.相等〖答案〗C〖解析〗掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；，，，，因为，所以与独立，故选项C正确；事件与不相等，故选项D错误.故选：C.6.在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，由正弦定理得所以，又，所以则，即，则由余弦定理可得，所以.故选：B.7.已知点，，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，所以，由二次函数的性质得，当时有最小值，所以点的坐标是．8.如图是一座山的示意图，山体大致呈圆锥形，且圆锥底面半径为2km，山高为，B是母线SA上一点，且.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡.当公路长度最短时，下坡路段长为（）A. B.3km C.3.6km D.〖答案〗C〖解析〗由题意，半径为，山高为，则母线，底面圆周长，所以展开图的圆心角，如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，，由点向引垂线，垂足为点，此时为点和线段上的点连线的最小值，即点为公路的最高点，段即为下坡路段，则，即，得下坡路段长度为．故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数（i为虚数单位），对于复数的以下描述，正确的有（）A. B.C.的共轭复数为 D.在复平面内对应的点在第三象限〖答案〗BD〖解析〗，对于A，，所以A错误，对于B，，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C错误，对于D，因为，所以在复平面内对应的点在第三象限，所以D正确，故选：BD10.某校举行“歌唱祖国，为青春喝彩”歌唱比赛．比赛由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．两个评委小组（记为小组A，小组B）对同一名选手打分分值的折线图如下，则（）A.小组A打分分值的众数为47B.小组B打分分值第90百分位数为75C.小组A打分分值的方差大于小组B打分分值的方差D.小组B打分分值的极差为39〖答案〗ABD〖解析〗由折线图知，小组A打分分值分别为：，按照从小到大的顺序排列为：，众数为47，故A正确；小组B打分分值分别为：，按照从小到大的顺序排列为：，∵，∴小组B打分分值第90百分位数为第9个数75，故B正确；小组A打分分值的均值，小组A打分分值的方差，小组B打分分值的均值，小组B打分分值的方差，故C错误；小组B打分分值的极差为75－36＝39，故D正确．故选：ABD．11.若函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.在单调递增C.的图象关于直线对称D.将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数〖答案〗BCD〖解析〗因为.对于选项A：的最小正周期为，故A错误；对于选项B：因为，则，且在上单调递增，所以在单调递增，故B正确；对于选项C：因为为最大值，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于选项D：将的图象向右平移个单位长度，得到，且为偶函数，故D正确；故选：BCD.12.已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，为中点.下列结论正确的是（）A.异面直线CE与AB所成角余弦值为B.直线CE与平面ABC所成角的正弦值为C.二面角余弦值为D.三棱锥外接球的表面积为〖答案〗BD〖解析〗三棱锥，，是边长为2的正三角形，所以，则，同理对于A，如图，取中点，连接因为为中点，位中点，所以，所以为异面直线CE与AB所成角或其补角，因为，所以，同理，在中，，所以异面直线CE与AB所成角的余弦值为，故A不正确；对于B，如图，连接，作平面于，则直线CE与平面ABC所成角为因为，所以，则，所以，则直线CE与平面ABC所成角的正弦值为，故B正确；对于C，如图，取中点为，连接因为，，为中点，所以且，则，所以，则为二面角的平面角，所以，故C不正确；对于D，把三棱锥还原为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球．设其半径为，由正方体的外接球满足，所以．所以球的表面积为．故D正确．故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量，且.写出满足条件的一个非零向量__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一，形如）〖解析〗设，而向量，且，因此，即，又，则令，所以，取，得.故〖答案〗为：14.已知正四棱台上、下底面的边长分别为4和8，高为2.该正四棱台的表面积为__________.〖答案〗〖解析〗因为正四棱台的侧面等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长分别是4、8，高为2，所以侧面梯形的斜高为，则梯形的面积，上下底底面面积分别为，，所以该四棱台的表面积为．故〖答案〗为：．15.我省新高考实行“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2.今年高一小王与小李都准备选历史与地理，若他俩再从其他三科中任选一科，则他们选科相同的概率为_________.〖答案〗〖解析〗依题意，今年高一的小王与小李都准备选历史与地理，则他俩再从其他三科中任选一科基本事件有（政，政），（政，化），（政，生），（化，政），（化，化），（化，生），（生，政），（生，化），（生，生），共件，他们选课相同包含的基本事件有：（政，政），（化，化），（生，生），共有件，所以他们选课相同的概率．故〖答案〗为：.16.在中，点D在边BC上，，，．当取得最小值时，_________.〖答案〗〖解析〗设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，，且.（1）求在上的投影向量；（2）求与的夹角.解：（1）因为向量，，，且，所以在上的投影向量为.（2）因为向量，，，且，所以，所以，记与的夹角为，则，又，所以与的夹角为.18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，F为的中点，，且，，.（1）证明：平面PCD；（2）证明：平面PCD.证明：（1）取PD中点E，连接EF、EC，如图所示，因为E、F分别为PD、PA中点，所以，且，又因为，且，所以且，所以四边形EFBC为平行四边形，所以，因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．（2）因为，F为PA中点，所以，又，则，因为，平面PCD，，所以平面PCD.19.全民国家安全教育日是为了增强全民国家安全意识，维护国家安全而设立的节日.2024年4月15日是我国第八个全民国家安全教育日，某校组织国家安全知识竞赛，共有20道题，三位同学独立竞答，甲同学能答对其中的12道，乙同学能答对其中的8道，丙同学能答对其中的道，现从中任选一道题，假设每道题被选中的可能性相等.（1）求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；（2）若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值.解：（1）设“任选一道题甲答对”，“任选一道题乙答对”，则，，，，“甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥，由每位同学独立竞答，知A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立，则，所以任选一道题，甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为.（2）令“任选一道题丙答对”，则，，设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知，，解得，所以.20.“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环，为推进生态文明建设，某市在全市范围内对环境治理和保护问题进行满意度调查，从参与调查的问卷中随机抽取200份作为样本进行满意度测评（测评分满分为100分）.根据样本的测评数据制成频率分布直方图如下：根据频率分布直方图，回答下列问题：（1）求的值；（2）估计本次测评分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第85百分位数（精确到0.01）；（3）从样本中成绩在，的两组问卷中，用分层抽样的方法抽取5份问卷，再从这5份问卷中随机选出2份，求选出的两份问卷中至少有一份问卷成绩在中的概率.解：（1）由频率分布直方图可知；（2）本次测评分数的平均数为，即本次测评分数的平均数约为76.2分.在频率分布直方图中，前5组频率之和为0.84，小于0.85，故第85百分位数位于第6组，所以，即第85百分位数约为90.63；（3）第5，6组的问卷数分别为48人，32人，从第5，6组中用分层抽样的方法抽取5份问卷，则第5，6组抽取的问卷数分别为3人，2人，分别记为，，，，，从5份问卷中随机抽取2人，有，，，，，，，，，共10个基本事件，这2份中有一份在内的基本事件，，，，，，共6个，2份都在内的基本事件，所以.21.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面ABCD，且M是PD的中点.（1）证明：平面平面；（2）求点D到平面AMC的距离.（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴.又四边形ABCD是矩形，∴，∵，平面PAD∴平面PAD，∵平面PAD，∴，又M是PD的中点，，∴，∵，平面PCD，所以平面PCD，又平面AMC，所以平面平面PCD.（2）解：法一：取AD中点为N，连接MN，在中，M，N分别为线段PD，AD的中点，故，，∵平面ABCD，∴平面ABCD，∴.由（1）得平面PCD，∵平面PCD，∴，∵，∴，，又，∴，∴，设点D到平面AMC的距离为，则，解得：，所以点D到平面AMC的距离为.法二：在平面PCD内，过点D作，H为垂足.由（1）知平面平面PCD，又平面平面，平面PCD，所以平面AMC，故点D到平面AMC的距离为DH.因为平面ABCD，所以，因为，所以，又M为PD的中点，所以，又因为平面PAD，所以，在直角中，所以，.22.如图，在平面四边形ABCD中，，，且的面积为.（1）求A，C两点间的距离；（2）设的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且.作的内切圆，求这个内切圆面积的最大值.解：（1）在中，因为，所以.由余弦定理可得，所以.故A，C两点间的距离是.（2）根据三角形面积公式有，即，又因为，所以，所以，所以，，得.设内切圆的半径是，因，则.所以又，因此，解法一：在中，，.由正弦定理得，所以，，于是.又，所以.当时，取得最大值，从而取得最大值2故内切圆面积的最大值为.解法二：所以，所以，当且仅当时等号成立，此时.内切圆面积的最大值为.福建省南平市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则复数（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，故选：B2.甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354据此估计甲获得冠军的概率为（）A.0.5 B.0.6 C.0.65 D.0.68〖答案〗C〖解析〗由题意得甲获胜的情况有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13种，所以估计甲获得冠军的概率为，故选：C3.在中，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，∴．故选：D．4.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”进行两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2.5倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（）A.倍 B.1倍 C.倍 D.倍〖答案〗A〖解析〗由题意可得，，所以，即第二次的“晷影长”是“表高”的倍.故选：A.5.掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（）．A.互斥 B.互为对立C.相互独立 D.相等〖答案〗C〖解析〗掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；，，，，因为，所以与独立，故选项C正确；事件与不相等，故选项D错误.故选：C.6.在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，由正弦定理得所以，又，所以则，即，则由余弦定理可得，所以.故选：B.7.已知点，，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，所以，由二次函数的性质得，当时有最小值，所以点的坐标是．8.如图是一座山的示意图，山体大致呈圆锥形，且圆锥底面半径为2km，山高为，B是母线SA上一点，且.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡.当公路长度最短时，下坡路段长为（）A. B.3km C.3.6km D.〖答案〗C〖解析〗由题意，半径为，山高为，则母线，底面圆周长，所以展开图的圆心角，如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，，由点向引垂线，垂足为点，此时为点和线段上的点连线的最小值，即点为公路的最高点，段即为下坡路段，则，即，得下坡路段长度为．故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数（i为虚数单位），对于复数的以下描述，正确的有（）A. B.C.的共轭复数为 D.在复平面内对应的点在第三象限〖答案〗BD〖解析〗，对于A，，所以A错误，对于B，，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C错误，对于D，因为，所以在复平面内对应的点在第三象限，所以D正确，故选：BD10.某校举行“歌唱祖国，为青春喝彩”歌唱比赛．比赛由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．两个评委小组（记为小组A，小组B）对同一名选手打分分值的折线图如下，则（）A.小组A打分分值的众数为47B.小组B打分分值第90百分位数为75C.小组A打分分值的方差大于小组B打分分值的方差D.小组B打分分值的极差为39〖答案〗ABD〖解析〗由折线图知，小组A打分分值分别为：，按照从小到大的顺序排列为：，众数为47，故A正确；小组B打分分值分别为：，按照从小到大的顺序排列为：，∵，∴小组B打分分值第90百分位数为第9个数75，故B正确；小组A打分分值的均值，小组A打分分值的方差，小组B打分分值的均值，小组B打分分值的方差，故C错误；小组B打分分值的极差为75－36＝39，故D正确．故选：ABD．11.若函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.在单调递增C.的图象关于直线对称D.将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数〖答案〗BCD〖解析〗因为.对于选项A：的最小正周期为，故A错误；对于选项B：因为，则，且在上单调递增，所以在单调递增，故B正确；对于选项C：因为为最大值，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于选项D：将的图象向右平移个单位长度，得到，且为偶函数，故D正确；故选：BCD.12.已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，为中点.下列结论正确的是（）A.异面直线CE与AB所成角余弦值为B.直线CE与平面ABC所成角的正弦值为C.二面角余弦值为D.三棱锥外接球的表面积为〖答案〗BD〖解析〗三棱锥，，是边长为2的正三角形，所以，则，同理对于A，如图，取中点，连接因为为中点，位中点，所以，所以为异面直线CE与AB所成角或其补角，因为，所以，同理，在中，，所以异面直线CE与AB所成角的余弦值为，故A不正确；对于B，如图，连接，作平面于，则直线CE与平面ABC所成角为因为，所以，则，所以，则直线CE与平面ABC所成角的正弦值为，故B正确；对于C，如图，取中点为，连接因为，，为中点，所以且，则，所以，则为二面角的平面角，所以，故C不正确；对于D，把三棱锥还原为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球．设其半径为，由正方体的外接球满足，所以．所以球的表面积为．故D正确．故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量，且.写出满足条件的一个非零向量__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一，形如）〖解析〗设，而向量，且，因此，即，又，则令，所以，取，得.故〖答案〗为：14.已知正四棱台上、下底面的边长分别为4和8，高为2.该正四棱台的表面积为__________.〖答案〗〖解析〗因为正四棱台的侧面等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长分别是4、8，高为2，所以侧面梯形的斜高为，则梯形的面积，上下底底面面积分别为，，所以该四棱台的表面积为．故〖答案〗为：．15.我省新高考实行“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2.今年高一小王与小李都准备选历史与地理，若他俩再从其他三科中任选一科，则他们选科相同的概率为_________.〖答案〗〖解析〗依题意，今年高一的小王与小李都准备选历史与地理，则他俩再从其他三科中任选一科基本事件有（政，政），（政，化），（政，生），（化，政），（化，化），（化，生），（生，政），（生，化），（生，生），共件，他们选课相同包含的基本事件有：（政，政），（化，化），（生，生），共有件，所以他们选课相同的概率．故〖答案〗为：.16.在中，点D在边BC上，，，．当取得最小值时，_________.〖答案〗〖解析〗设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，，且.（1）求在上的投影向量；（2）求与的夹角.解：（1）因为向量，，，且，所以在上的投影向量为.（2）因为向量，，，且，所以，所以，记与的夹角为，则，又，所以与的夹角为.18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，F为的中点，，且，，.（1）证明：平面PCD；（2）证明：平面PCD.证明：（1）取PD中点E，连接EF、EC，如图所示，因为E、F分别为PD、PA中点，所以，且，又因为，且，所以且，所以四边形EFBC为平行四边形，所以，因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．（2）因为，F为PA中点，所以，又，则，因为，平面PCD，，所以平面PCD.19.全民国家安全教育日是为了增强全民国家安全意识，维护国家安全而设立的节日.2024年4月15日是我国第八个全民国家安全教育日，某校组织国家安全知识竞赛，共有20道题，三位同学独立竞答，甲同学能答对其中的12道，乙同学能答对其中的8道，丙同学能答对其中的道，现从中任选一道题，假设每道题被选中的可能性相等.（1）求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；（2）若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值.解：（1）设“任选一道题甲答对”，“任选一道题乙答对”，则，，，，“甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥，由每位同学独立竞答，知A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立，则，所以任选一道题，甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为.（2）令“任选一道题丙答对”，则，，设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知，，解得，所以.20.“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环，为推进生态文明建设，某市在全市范围内对环境治理和保护问题进行满意度调查，从参与调查的问卷中随机抽取200份作为样本进行满意度测评（测评分满分为100分）.根据样本的测评数据制成频率分布直方图如下：