《高职应用数学》教案 第36课 二重积分在几何上的应用

第36课二重积分在几何上的应用课题二重积分在几何上的应用课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．能够利用二重积分计算几何图形体积和平面图形的面积2．能够利用二重积分计算曲面的面积3．掌握用MATLAB求多元函数的偏导数的方法思政育人目标：通过讲解二重积分在几何上的应用，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：利用二重积分计算体积和平面图形的面积、利用二重积分计算曲面的面积教学难点：掌握二重积分在几何上的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→复习（10min）→讲授新课（23min）→课堂测验（10min）第二节课：讲授新课（20min）→课堂测验（10min）→数学实验（12min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前问答题：（1）如何利用二重积分计算四面体的体积？（2）如何利用二重积分计算平面图形的面积？（3）如何利用二重积分计算曲面的面积？【学生】查找资料，预习教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况复习（10min）【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（23min）【教师】通过例题介绍利用二重积分计算几何图形体积和平面图形面积的方法由前面的讨论可知，曲顶柱体的体积可以用二重积分来计算．此外，还可用二重积分来计算一些平面图形的面积．图6-26例1求平面和三个坐标面所围成的四面体体积．图6-26例1解，，．据此画出该四面体的大致图形，如图6-26所示．这个四面体可视为曲面相应于区域D的曲顶柱体，这里D是该四面体在xOy平面上的投影区域，即三角形POQ．在xOy平面上直线PQ的方程是．于是四面体体积为．（例2详见教材）【学生】利用二重积分计算几何图形体积和平面图形面积的方法学习利用二重积分计算几何图形的体积和平面图形的面积。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目的正确答案，演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课讲授新课（20min）【教师】讲解利用二重积分计算曲面面积的方法，并利用例题介绍其实际应用设曲面由方程给出，为曲面在面上的投影区域，函数在上具有连续偏导数和，现计算曲面的面积．如图6-27所示，在闭区域上任取一直径很小的闭区域（它的面积也记作），在内取一点，对应着曲面上一点，曲面在点M处的切平面设为T，以小闭区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，该柱面在曲面上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面，由于的直径很小，因此那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积．图6-27曲面在点M处的法线向量（指向朝上）为．它与z轴正向所成夹角的方向余弦为，又因为，所以．这是曲面的面积元素，故．上式即为计算曲面面积的公式．设曲面的方程为或，可分别把曲面投影到面上或面上，类似地可得或．例3求球面的面积．例3解根据对称性，先考虑上半球面，，，则．因此，整个球的表面积为．【学生】掌握利用二重积分计算曲面面积的方法学习利用二重积分计算曲面面积的方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目的正确答案，演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象数学实验（12min）☞使用MATLAB进行数学实验【教师】演示用MATLAB求多元函数的偏导数MATLAB中提供的diff函数，可以求多元函数的偏导，diff函数的调用格式主要有以下几种：（1）若求对x的偏导数，则输入：diff(f(x,y,z),x)（2）若求对y的偏导数，则输入：diff(f(x,y,z),y)（3）若求对x的二阶偏导数，则输入：diff(diff(f(x,y,z),x),x)或diff(f(x,y,z),x,2)（4）若求对x，y的二阶混合偏导数，则输入：diff(diff(f(x,y,z),x),y)例设，求，，，．例解在命令窗口输入：>>symsxy %定义变量x，y>>z=x^2*sin(2*y) %输出函数z，注意*不能省略按回车，输出结果为z=x^2*sin(2*y)>>zx=diff(z,x) %对x求一阶偏导数按回车，输出结果为zx=2*x*sin(2*y) %输出一阶偏导数的结果为>>zy=diff(z,y) %对y求一阶偏导数按回车，输出结果为zy=2*x^2*cos(2*y) %输出一阶偏导数的结果为>>zxx=diff(z,x,2) %对x求二阶偏导数按回车，输出结果为zxx=2*sin(2*y) %输出二阶偏导数的结果为>>zxy=diff(diff(z,x),y) %对x，y求二阶混合偏导数按回车，输出结果为zxy=4*x*cos(2*y) %输出二阶混合偏导数的结果为【学生】观看、聆听、记录、思考通过演示使用MATLAB进行数学实验的过程，使学生了解数学在实际中的应用课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了利用二重积分计算几何图形体积、平面图形的面积和曲面的面积的方法，还掌握了用MATLAB求多元函数的偏导数的方法，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题6-9、复习题六、用MATLAB求多元函数的偏导数总结知识点，巩固印象课后拓展【教师】在文旌课堂APP或其他学习平台上共享本节课知识相关的学