专题14 难点探究专题：整式中的规律探究问题之七大类型（解析版）2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

第第页专题14难点探究专题：整式中的规律探究问题之七大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一数字类规律探索之单项式问题】 1【类型二数字类规律探索之排列问题】 4【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】 8【类型四数字类规律探索之新运算问题】 10【类型五数字类规律探索之等式问题】 14【类型六图形类规律探索之数字问题】 19【类型七图形类规律探索之数量问题】 22【典型例题】【类型一数字类规律探索之单项式问题】例题：（2023秋·全国·七年级专题练习）观察这一系列单项式的特点：，，，，…那么第8个单项式为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，，，，…可推导一般性规律为：第个单项式为：，进而可得答案．【详解】解：由，，，，…可推导一般性规律为：第个单项式为，∴第8个单项式为．故选：A．【点睛】本题考查了单项式的规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律．【变式训练】1．（2023·四川成都·校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知的式子可以得到系数是以为底的幂，指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号．【详解】解：第9个单项式是．故选：B．【点睛】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第n个单项式是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可．【详解】解：，，，，，由上可知，第个单项式是：．故选：D．【点睛】本题主要考查了规律题——数字的变化类，关键是分别找出符号与指数的变化规律．3．（2023·甘肃陇南·校考一模）按一定规律排列的式子：，……第n个式子是．【答案】【分析】根据所给式子找出各部分的规律解答即可．【详解】解：，…，分子可表示为：．，…，分母可表示为：，则第n个式子为：．故答案是：．【点睛】本题考查了规律型：数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题注意分别观察各部分的符号规律．4．（2023秋·辽宁锦州·七年级统考期末）一组按规律排列的两项式：，，，，，则第个两项式为．【答案】【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【详解】解：多项式的第一项的指数依次为：，，，，，第二项的指数依次为：，，，，，（，，，，，）且系数都是，∴第个式子是：，当时，这个二项式为．故答案为：．【点睛】本题考查多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解题的关键．5．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列单项式：．(1)请你写出第个，第个单项式．(2)第个单项式的系数是多少？(3)第个单项式的次数是多少？(4)根据上面的归纳，请写出第个单项式．【答案】(1)，(2)(3)(4)【分析】不难看出系数部分为的指数为以开始的自然数，的指数都是，据此可解答；结合可解答；结合可解答；结合可解答．【详解】（1），，，第个单项式为：，第个单项式为：；（2）由可得：第个单项式的系数是：；（3）由可得：第个单项式的次数是：；（4）由可得：第个单项式为：．【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律．【类型二数字类规律探索之排列问题】例题：（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为．

（1）第行第列的数字是．（2）数字在图中的第行，第列．【答案】【分析】（1）根据第行的第1至第列是非零数字，可得第行第列的数字是；（2）观察数据发现第行第1个数字为，进而根据，即可求解．【详解】解：（1）观察数据发现根据第（为奇数）行第1至第列有非零数字，可得第行第列的数字是；故答案为：0．（2）第1行第1个数字为第3行第1个数字为第5行第1个数字为……∴第行的第1个数字为∵∴第行第1个数字为，∴数字在图中的第行，第列故答案为：，．【点睛】本题考查了数字类规律，有理数的乘方运算，找到规律是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·广西玉林·九年级统考期末）观察下面由正整数组成的数阵：照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第11行的第11个数是（

）A．92 B．110 C．111 D．132【答案】C【分析】根据第行最后一数为，根据每行数的个数为1，3，5，的奇数列，即可得出数字个数为，据此即可求解．【详解】解：由题意知第行最后一数为，则第11行的最后一个数是，第行共有个数，即第11行共有21个数；则：第11行的第一个数为：，则第11行的第11个数为：，故选：C．【点睛】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．2．（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第3列的数是．

【答案】2023【分析】观察图表可知，第n行第一个数是，所以，第45行第一个数是，所以，第45行，第3列的数是．【详解】解：观察图表可知，第n行第一个数是，∴第45行第一个数是，∴第45行，第3列的数是．故答案为：2023．【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是得到第n行第一个数是．3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：，4，，16，，64，……①0，7，，21，，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024【分析】通过观察第一行数的规律为，第二行数的规律为，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为，∴第①行数的第10个数为；第二行数的规律为，∴第①行数的第2023个数为，第②行数的第2023个数为，∴，故答案为：1024；．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.4．（2023·安徽·校联考三模）观察下列正整数的排列顺序：第1列

第2列

第3列

第4列

第5列

第6列第1行

1

2

9

10

25

26第2行

4

3

8

11

24

27第3行

5

6

7

12

23

28第4行

16

15

14

13

22

29第5行

17

18

19

20

21

…第6行

…

…

…

…

…

…解得以下问题：(1)35排在第几行第几列?(2)第10行第10列的数是多少?第n行n列的数呢?（用含n的代数式表示）(3)2023排在第几行第几列?【答案】(1)第6行第2列(2)；(3)第3行第45列.【分析】第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25,为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的为止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的为止，据此可解决（1）（3），根据第1行第1列，第2行第2列，第3行第3列，第4行第4列，第5行第5列，所给数字可得出第n行第n列的数为，故可求出第10行第10列的数．【详解】（1）∵∴35在第6行第2列；（2）第1行第1列的数为：第2行第2列的数为：第3行第3列的数为：第4行第4列的数为：第5行第5列的数为：⋯第10行第10列的数为：∴第n行第n列的数为，（3）∵在第1行，第45列，则：第2行，第45列的数为2024，第3行，第45列的数为2023，∴2023在第3行，第45列．【点睛】本题主要考查了数字规律，认真观察数字摆放规律是解答本题的难点．【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】例题：（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是（

）A．1 B．3 C．9 D．7【答案】D【分析】先由前面8个具体的计算归纳得到个位数每四次循环，再利用规律解题即可．【详解】解：，，，，，，，…，归纳可得：个位数每四次循环，∵，∴与的个位数相同，是7；故选D【点睛】本题考查的是数字变化规律的探究，乘方的含义，掌握探究的方法并灵活应用规律解决问题是解题关键．【变式训练】1．（2023·全国·七年级专题练习）计算：，…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（

）A．1 B．3 C．7 D．5【答案】C【分析】根据题目中的式子可以计算出前几个数字，从而可以发现个位数字的变化规律，进而可以得到的个位数字．【详解】解：由，，，，，……可知计算结果中的个位数字以循环出现的，∵，∴的个位数字是7，故选：C．【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求出所求式子的个位数字．3．（2023·云南昭通·统考二模）观察下列等式：，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（）A．0 B．2 C．7 D．9【答案】D【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出的结果的个位数字．【详解】解：由已知可知，，，，……末尾数字每四个一组循环，∵，，，，四个数的末尾数字之和是0，又∵，∴，∴的结果的个位数字是9，故选：D．【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，正确得出尾数变化规律是解题关键．3．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期末）观察下列算式：，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是．【答案】7【分析】根据，，，，，，得出末位数字以3、9、7、1，四个数字为一循环，由得出的末尾数字与的末位数字相同是7，从而得到答案．【详解】解：，末位数字为3，，末位数字为9，，末位数字为7，，末位数字为1，，末位数字为3，，3的1，2，3，4，5，6，7，，次幂的末位数字以3、9、7、1，四个数字为一循环，，的末尾数字与的末位数字相同是7，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了尾数特征及数字规律类探索，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1，四个数字为一循环，是解题的关键．【类型四数字类规律探索之新运算问题】例题：（2022·湖南株洲·统考二模）定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为；（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，……；若，则第2020次运算结果是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】A【分析】由题意所给的定义新运算可得当时，第一次经F运算是32，第二次经F运算是1，第三次经F运算是8，第四次经F运算是1，，由此规律可进行求解．【详解】解：由题意时，第一次经F运算是，第二次经F运算是，第三次经F运算是，第四次经F运算是，；从第二次开始出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，∴第2020次运算结果1，故选：A．【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，关键是从题中所给新运算得出数字的一般规律，然后可进行求解．【变式训练】1.（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，．．．，依此类推，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过计算发现每四次运算结果循环出现，由此可求．【详解】解：∵，∴，，，，，∴每四次运算结果循环出现，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．2．（2023·四川·九年级专题练习）对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（）A．199 B．200 C．201 D．202【答案】C【分析】通过计算，可以推出结果．【详解】解：…，，，故选：C．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．3．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）已知一列数，，，，，满足条件：，（，且为整数），则．【答案】/【分析】求出数列的前4项，进而得出数列的循环周期，然后根据所得的规律进行求解即可．【详解】解：，，，，，，这列数每3个数为一循环周期，，，故答案为：．【点睛】此题主要考查了数字变化规律问题，解决本题的关键是认真观察、仔细思考，善用联想，由所给的数字分析清楚所存在的规律．4．（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则，例如，，若，，，，…，依此规律进行下去，得到一列数（n为正整数），则．【答案】4750【分析】由所给的规定，分别求出，，，，再分析其中的规律，从而可求解．【详解】解：，，，，，，，，，从第5个数开始，以4，2，1，这三个数循环出现，，．故答案为：4750．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的条件总结出存在的规律．【类型五数字类规律探索之等式问题】例题：（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）观察下列等式：第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．……按照以上规律，解决下列问题：(1)请直接写出第4个等式：．(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由．【答案】(1)(2)第n个等式为，理由见解析【分析】（1）观察等式，即可求解；（2）由各个等式结构即可得出规律．【详解】（1）解：∵第1个等式为，第2个等式为，第3个等式为，∴第4个等式为，故答案为：；（2）解：第n个等式为，∵第1个等式为，第2个等式为，第3个等式为，第4个等式为，……，∴第n个等式为．【点睛】本题是与分式有关的规律问题．确定各分式分子、分母的规律即可．【变式训练】1．（2023春·江苏连云港·八年级统考期中）观察下列算式：①②③④……(1)根据规律，第5个式子是__________；(2)猜想第n个式子为__________，请证明你的猜想成立；(3)计算_______．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【分析】（1）根据题中的规律可得到第5个式子；（2）根据（1）中的规律可得到第n个式子，然后计算等式的左边，即可；（3）利用（2）中的规律把原式变形为，即可．【详解】（1）解：根据题意得：①②③④⑤故答案为：（2）解：由（1）发现第n个式子为，证明：左边右边；（3）解：．【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．2．（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；……(1)请填出第5个等式：________=________；(2)用含n（n为正整数）的代数式表示________=_______；(3)求的值．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）根据题目中的式子的特点，可以写出第五个等式；（2）根据题目中的式子的特点，可以写出第n个等式；（3）根据（2）中的结果，可以写出所求式子的值．【详解】（1）解：由题意可得，第5个等式：，故答案为：，；（2）由题意可得，第n个等式：，故答案为：，；（3）∵∴．【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）观察下列算式，你会发现什么规律？……按照以上规律，解决下列问题：(1)找出规律并计算：______=（

）2(2)用含有的式子表示上面的规律：______；(3)用找到的规律解决下面的问题：计算：______．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由题意得：第一个数字是连续的正整数，第二个数字比第一个数字大2，它们的积加1等于这两数之间的数的平方；（2）根据（1）中的规律得结论；（3）首先将括号里进行通分，再将规律代入后约分可得结果．【详解】（1）∵……∴，，，故答案为：，；（2）∵……∴第个等式为：，故答案为，（3）．【点睛】本题考查了数字类的变化规律，也是有理数的计算问题，从每1个式子，每1个因数的变化情况找规律，在第3问的计算中，注意约分情况，从而得出结论．【类型六图形类规律探索之数字问题】例题：（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）如图，根据图形中数的规律，可推断出a的值为（

）A．128 B．216 C．226 D．240【答案】C【分析】根据图形得出右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，然后计算即可．【详解】解：由图可得：，，，，即右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，所以，故选：C．【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，运用规律．【变式训练】1．（2023春·山东济南·六年级统考开学考试）填在下面各方框中的三个数之间都具有相同的规律．根据图中数字的规律，（

）2468512177237228A．450 B．463 C．465 D．526【答案】B【分析】结合表格找出其中的规律，求出，，再计算即可．【详解】解：由表可得：，；，；，；∴，；∴．故选：B．【点睛】本题考查数字规律题，解题的关键是找出其中的规律：，．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，m的值是（）

A．86 B．52 C．38 D．74【答案】A【分析】先看每个图形中的左上的数字：0，2，4，6，依次增加2；同理得出每个图形右上角和左下角的数字也是依次增加2；有以上规律可以求出第四个图形的右上角和左下角的数；再看右下角的数与其它三个数的关系：；，；右下角的数=右上角的数×左下角的数+左上角的数；由此求解即可．【详解】解：第四图右上角的数是：；左下角的数是：；那么右下角的数就是：；即

故选：A．【点睛】本题稍复杂，不但要考虑相邻两个图形中数字的变化规律，还要找出每个图形中四个数之间的规律．3.（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的值为196，则（

）

A．12 B．13 C．14 D．15【答案】C【分析】通过观察可知，若第n个图中A位置上的数是，B位置上的数是，C位置上的数是，D位置上的数是，所以，带入数值求出即可．【详解】解：通过观察可知，若第n个图中A位置上的数是，B位置上的数是，C位置上的数是，D位置上的数是，所以，当时，，是正整数，．故选：C．【点睛】本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决问题关键．4.（2022秋·河南周口·七年级校考期中）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，则第（为正整数）个三角形中，用表示的式子为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得各三角形中下边第三个数是上边两个数字的和，而上边第一个数的数字规律为1，2，3，，，第二个数的数字规律为：2，，，，，由此即可得到答案．【详解】解：由题意可得：三角形上边第一个数的数字规律为：1，2，3，，，三角形上边第二个数的数字规律为：2，，，，，三角形下边的数的数字规律为：，，，，第个三角形中的数的规律为：，故选：B．【点睛】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出：第个三角形中的数的规律为：，是解题的关键．【类型七图形类规律探索之数量问题】例题：（2023·全国·七年级假期作业）用火柴棒按如图的方式搭图形．(1)按图示规律完成下表：图形标号①②③④⑤……火柴棒根数59__________________……(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？【答案】(1)13，17，21(2)(3)61【分析】（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；（2）由（1）进行总结即可；（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．【详解】（1）解：第1个图形的火柴棒根数为：5，第2个图形的火柴棒根数为：，第3个图形的火柴棒根数为：，第4个图形的火柴棒根数为：，第5个图形的火柴棒根数为：，故答案为：13，17，21；（2）解：由（1）得：搭第个图形需要火柴棒根数为：．答：第个图形需要火柴棒根数为：；（3）解：当时，，所以搭第15个图形需要61根火柴棒．【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是根据所给的图形分析出其规律．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，1个黑色图案有4个白色图案，2个黑色图案有7个白色图案，3个黑色图案有10个白色图案，观察规律，请问20个黑色图案有（）个白色图案．

A．59 B．60 C．61 D．62【答案】C【分析】根据题目中的图形，可以发现黑色图案个数的变化规律，进而即可求解．【详解】解：由图可得，第1个图中有个白色图案，第2个图中有个白色图案，第3个图中有个白色图案，…，则第20个图中有个白色图案，故选：C．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中黑色图案的变化规律，利用数形结合的思想解答．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学