(完整版)平面向量与解三角形单元检测题(含答案)

PAGEPAGE2平面向量与解三角形单元检测题一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c,b∥c，则|a＋b|＝()A.eq\r(5)B.eq\r(10)C．2eq\r(5)D．102．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝eq\f(1,2)，P是BN上的一点，若＝m＋eq\f(2,9)，则实数m的值为()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,3)C．1D．33．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影为 A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2) D．－eq\f(3\r(15),2)4．在直角坐标系xOy中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值个数是()A．1B．2C．3D．45．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝eq\r(13)，则|b|等于 ()．A．5 B．4C．3 D．16．在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4，2)，则该四边形的面积为A.eq\r(5) B．2eq\r(5)C．5D．107．如图所示,非零向量OA→=a,OB→=b,且BC⊥OA,C为垂足,若8．在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2(A)（0,QUOTEπ6] (B)[QUOTEπ6,π）(C)(0,QUOTEπ3] (D)[QUOTEπ3,π)9．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)10．在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数λ，使得eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))成立，此时称实数λ为“向量eq\o(OC,\s\up6(→))关于eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))的终点共线分解系数”．若已知P1(3,1)，P2(－1,3)，且向量eq\o(OP3,\s\up6(→))与向量a＝(1,1)垂直，则“向量eq\o(OP3,\s\up6(→))关于eq\o(OP1,\s\up6(→))和eq\o(OP2,\s\up6(→))的终点共线分解系数”为()A．－3B．3C．1D．－1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．12．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，若a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝________．14．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．15．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝eq\f(π,3)，求△ABC的面积．17．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=QUOTE2π3,求QUOTEab的值.18．在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且a=QUOTE12c+bcosC.(1)求角B的大小;(2)若S△ABC=QUOTE3,求b的最小值.19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)＝eq\f(3,2)b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．20．△ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰AC的长为3(百米),底AB的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为S1和S2.(1)若小路一端E为AC的中点,求此时小路的长度;(2)若小路的端点E、F两点分别在两腰上,求QUOTES1S2的最小值.21．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足。（1）证明：；（2）如图，点O是△ABC外一点，设，OA=2OB=2，当时，求平面四边形OACB面积的最最大值。参考答案：1．B由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4＝0，,－4－2y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))故a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝eq\r(10).2.选B如图，因为＝eq\f(1,2)，所以＝eq\f(1,3)，＝m＋eq\f(2,9)＝m＋eq\f(2,3)，因为B，P，N三点共线，所以m＋eq\f(2,3)＝1，所以m＝eq\f(1,3).3.A解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(5，5)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投.4.B解析：.若∠A＝90°，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝6＋k＝0，k＝－6；若∠B＝90°，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0，6＋k－5＝0，k＝－1；若∠C＝90°，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，k2－k＋3＝0无解．∴综上，k可能取－6，－1两个数．故选B.5.B解析向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝eq\r(13)，则a·b＝|a||b|·cos120°＝－eq\f(3,2)|b|，|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍去)或|b|＝4.6.C解析因为eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)).故四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×2eq\r(5)＝5.7.A【解析】.BC→⊥OA→,即BC→⊥OC→,所以(OC→-OB即λ2|a|2-λa·b=0,又λ≠0,解得λ=a·b8C.解析:根据正弦定理,由sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC得a2≤b2+c2-bc,根据余弦定理cosA=QUOTEb2+c2-a22bc≥QUOTEbc2bc=QUOTE12,又∵0<A<π,∴0<A≤QUOTEπ3,故选C.9.B【解析】由3sinA＝5sinB，得3a＝5b.又因为b＋c＝2所以a＝eq\f(5,3)b，c＝eq\f(7,3)b，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)b))2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)b))2,2×\f(5,3)b×b)＝－eq\f(1,2).因为C∈(0，π)，所以C＝eq\f(2π,3).10.D.解析：设eq\o(OP3,\s\up6(→))＝(x，y)，则由eq\o(OP3,\s\up6(→))⊥a知x＋y＝0，于是eq\o(OP3,\s\up6(→))＝(x，－x)，设eq\o(OP3,\s\up6(→))＝λeq\o(OP1,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OP2,\s\up6(→))，(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4λ－1＝x，,3－2λ＝－x，))于是4λ－1＋3－2λ＝0，λ＝－1.11.5解析：＝(3,2－t)，由题意知＝0，所以2×3＋2(2－t)＝0，t＝5.12．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).因为a与b的夹角为钝角，所以cosθ<0且cosθ≠－1，所以a·b<0且a与b不反向．由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－eq\f(1,2)，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．所以λ的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).13.2解析由题意知：eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝4－0－2＝2.14.eq\f(5,2)解析a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|).∵a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2eeq\o\al(2,1)＋6e1·e2＝5.|b|＝|2e1|＝2.∴eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(5,2).15.120°【解析】∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2∴a·b＝－eq\f(1,2)b2，设a与b的夹角为θ，又|a|＝|b|，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(1,2)b2,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，∴θ＝120°.16.解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB.即a·eq\f(a,2R)＝b·eq\f(b,2R)，其中R是三角形ABC外接圆半径，故a＝b，即△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)．故S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)·4·sineq\f(π,3)＝eq\r(3).17.(1)证明:由sinAsinB+sinBsinC+1-2sin2B=1得sinA+sinC-2sinB=0.因为QUOTEasinA=QUOTEbsinB=QUOTEcsinC,所以a+c-2b=0,所以2b=a+c,即a、b、c成等差数列.(2)解:由余弦定理c2=a2+b2-2ab·cosC及2b=a+c,c=QUOTE2π3,得(a-2b)2=a2+b2-2abQUOTE12.即a2+4b2-4ab=a2+b2+ab,也即3b2=5ab,所以QUOTEab=QUOTE35.18.解:(1)由正弦定理可得sinA=QUOTE12sinC+sinBcosC,又因为A=π-(B+C),所以sinA=sin(B+C),可得sinBcosC+cosBsinC=QUOTE12sinC+sinBcosC,又sinC≠0,即cosB=QUOTE12,所以B=QUOTEπ3.(2)因为S△ABC=QUOTE3,所以QUOTE12acsin=QUOTE3,所以ac=4,由余弦定理可知b2=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c时等号成立.所以b2≥4,即b≥2,所以b的最小值为2.19.解析：(1)acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)＝a·eq\f(1＋cosC,2)＋c·eq\f(1＋cosA,2)＝eq\f(3,2)b，即a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝3b.由正弦定理得：sinA＋sinAcosC＋sinC