第01讲重力上海市高中名校物理自主招生讲义

一、重力力是物体与物体之间的相互作用，日常生活中的物体间往往存在着力的作用。常见的力有重力、弹力和摩擦力。一、重力重力即地球表面的物体由于地球的吸引而受到的力，地球表面任何物体部受到重力的作用，重力的方向是竖直向下或者表达为垂直于水平面向下，重力的大小与物体质量成正比，可用公式表示为，其中为比例系数。通常情况下取，粗略计算中可以取。但值得注意的是，地球上不同位置的的值不尽相同，的值随着纬度的升高而变大，赤道处的最小，约为，两极处的最大，约为，因此，同一物体在极地和在赤道所受重力大小是不同的。物体各个部分都受到重力作用，各部分重力的作用点分散在物体各个部位，物体所受到的总重力可以等效地认为作用在某一点，该点即为物体的重心。对于质量分布均匀、形状规则的物体，重心的位置在它们的几何中心。如图所示的A点即为常见均匀几何体的重心。二、计算物体重心位置的方法：1．两个物体的重心如图所示，设两物体的质量分别为，，它们重心之间的距离为，这两个物体所受的总重力的等效作用点即为两物体组成的系统的重心。若以不计质量的轻细杆将，连接，再支起轻杆使其水平平衡，则支点即为物体的等效重心。设，的重心到系统重心的距离分别为，，则，由杠杆平衡条件可得，解得，。可见，两物体重心的位置必在两物件各自重心的连线上，且两物体的重心距离系统重心的距离与物体质量成反比，即系统重心离质量较大的物体较近。2．几个物体的重心现在我们讨论由处于同一平面内的几个物体纽成的系统的重心。如果某平面内存在着若干个物体，它们的质量分别为，，，，，则可以在平面内建立直角坐标系，并记各个物体重心的坐标为，，，，，如图4.3所示，则这空物体组成的系统的重心坐标可以表示为，其中特殊地，如果几个物体恰在一条直线上，则只需建立一维坐标系轴即可。【典例1】如图所示，两块宽和高均相同，质量均匀的相同材质长方形砖块A（长为l）和B（长为2l）叠放在一起，A砖相对于B砖伸出，B砖放在水平桌面上，砖的端面与桌面平行，为保持两砖不翻倒，B砖伸出桌面的最大长度是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】以桌面面边缘为坐标原点，水平向右为坐标轴的正方向，砖块A的重心坐标为砖块B的重心坐标为为保持两砖不翻倒，两砖块的整体重心坐标为0，所以解得故选D。【典例2】在下列问题中，求物体重心的升高．将盘放在地上的长为L的匀质铁链向上刚好拉直时；在水平桌面上将边长为L的正方体绕bc边转．【答案】，【详解】条盘放在地上的长为l的均匀铁链重心在地面上；竖直向上刚好拉直时，重心在中点；故重心升高；长为l的质量分布均匀的立方体，重心在几何中心上，故绕bc棱翻转使对角面AbcD处于竖直位置时，重心位置升高的高度等于：．【典例3】请阅读如下材料，回答问题。材料1：每个物体都可视为由若干个质点构成。一个物体的重心是物体内各质点所受重力的合力的作用点。对于质量均匀的线状物体，沿线状方向建立一轮坐标系，若重心坐标为，则满足：其中，、代表第n个质点的质量和位置坐标。材料2：放在水平桌面边缘的物体，可允许其部分伸出桌外面能保持平衡。前提条件是：物体的重心必须在桌子的正上方。题目：如图所示，A、B、C是三个形状一样、质量分布均匀的薄木条，长都为L，它们的质量分别为m、2m、3m，水平叠放在一起，放在水平桌面上，墙面与桌边平行。A木条放在B上，右端相对B右端有伸出；B木条放在C上，右端相对C右端有伸出。建立以桌边O为原点，水平向右的坐标系，根据材料1和2分析。（1）A、B两木条的重心距B左端多远？（2）为保证三木条不翻倒，木条C伸出桌边的长度不能超过多少？【答案】（1）；（2）【详解】（1）A、B两木条的重心距B左端为（2）由题可知，伸出的长度为，的重心的重心的重心则解得故不能超过．【典例4】半径为的均匀薄圆盘的质量为。在圆盘上挖去一个半径为的小圆孔，且小圆孔与圆盘相切，如图所示，求剩余部分重心的位置。分析与解整个圆盘可以分成两部分：被挖去部分与剩余部分，这两部分的重心在圆盘圆心点。圆盘单位面积的质量，挖去部分的质量。以圆盘圆心为坐标原点，沿着圆盘圆心与挖去部分的圆心连线方向建立轴如图4.7所示，则整个圆盘重心坐标为0，挖去部分原来的重心坐标为，由对称性，剩余部分的重心必在轴上。设剩余部分的重心坐标为，则应有，代入数据可解得，因此剩余部分的重心在距离点处。课后练习题一、选择题1．下列关于重力的说法中正确的是（）A．在斜面上向下滚动的物体所受的重力方向是沿斜面向下的B．一投出的篮球上升过程中不受重力，下落过程中才受重力作用C．物体的重心一定是在物体上D．地面附近物体在失去支持时，要向地面降落，这是由于物体受重力作用的缘故【答案】D【详解】A．重力的方向是竖直向下的，所以在斜面上向下滚动的物体所受的重力方向是竖直向下的，不是沿斜面向下，A错误；B．一投出的篮球上升过程中会受到重力作用，下落过程中也受重力作用，B错误；C．质量分布不均匀，形状不规则的物体，其重心不在物体上，C错误；D．地面附近物体在失去支持时，要向地面降落，这是由于物体受重力作用的缘故，D正确。故选D。2．关于物体的重心，下列说法正确的是（）A．物体的重心一定在物体上B．用线竖直悬挂的物体静止时，线的方向一定通过重心C．一块砖平放、侧放或立放时，其重心在砖内的相对位置不变D．舞蹈演员在做各种优美的动作时，其重心在体内相对位置不变【答案】BC【详解】A．物体的重心不一定在物体上，也可能在物体的外部，故A错误；B．用线竖直悬挂的物体静止时，线的拉力和物体的重力等大反向，重力竖直向下，则线的方向一定通过重心，故B正确；C．一块砖平放、侧放或立放时，其重心在砖内的相对位置不变，故C正确；D．舞蹈演员在做各种优美的动作时，人体的形状不断变化，则其重心在体内相对位置不断变化，故D错误。故选BC。3．一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在粗糙的水平桌面上，另一半挂在桌边，如图（a）所示，此时链条的重心为C1．若在链条两端各挂一个质量为m/2的小球，如图（b）所示，此时链条的重心为C2．若在链条两端和中央各挂一个质量为m/2的小球，如图（c）所示，此时链条的重心为C3（C1、C2、C3在图中均未标出）．比较三个重心的高度h1、h2和h3的关系A．h1=h2=h3B．h1<h2<h3C．h1>h2>h3D．h1>h3>h2【答案】D【分析】利用对称性将链条分成两部分，则可很容易找出两部分链条的重心；连接两重心，则连线与角平分线的交点即为实际重心．【详解】分别研究桌面以上部分和桌面以下部分，则可得出两部分的重心；连接两点，则连线与角平分线的交点即为重心，如图所示；图（a）两段重心都在线段的中心；图（b）的上、下两段的重心分别偏向左侧和下侧，所以连接后与角平分线的交点低，即重心低；图（c）中央的小球归上面的一段考虑，则下面的一半链条重心偏低，由图则可得出h1＞h3＞h2；故选D．二、填空题4．如图所示，n块厚度均为d质量为m的相同砖块，靠在一起平放在地面上，今将它们一块一块向上叠迭起来，全部叠完这堆砖，砖的重心升高了．【答案】（n–1）d/2；【详解】砖块靠在一起平放在地面上时的重心高度为：，全部叠完后砖的重心高度为：，所以重心的高度差为：【点晴】本题考查重心，重力在物体上的作用点叫做重心．①质量均匀分布的物体，重心的位置只跟物体的形状有关（外形规则的重心，在它们几何中心上）；②质量分布不均匀的物体，重心的位置除跟物体的形状有关外，还跟物体内质量分布有关；③重心可在物体上，也可在物体外．5．如图所示，水平地面上有一均匀正方体物块，边长为a，某人将其在地面上任意翻滚，但始终未离开地面，则在翻滚过程中物块重心离地面的高度最大升高量为．

【答案】a【分析】均匀正方体重心在几何中心，当正方体翻转到以对角线竖直立在水平面上时的重心位置最高．【详解】边长为a的质量分布均匀的立方体，重心在几何中心上，重心高度为，如图：根据勾股定理得，Ab的长为：2a；bD的长为；当正方体翻转到以对角线bD竖直立在水平面上的时，重心高度为：，此时重心位置升高的高度最大；则重心离地面的高度最大升高量为：．6．把一条盘在地上、长为L的质量分布均匀的软绳向上提起，当绳刚好拉直时，它的重心位置升高了；把一边长为L的正方形均质薄板ABCD（如图所示）绕C点翻到对角线AC处于竖直位置时，其重心升高了。【答案】【详解】[1]软绳质量分布均匀，盘在地上时，重心在地面上，当绳向上拉直时，重心在它的几何中心上，中心升高，故重心升高。[2]均质薄板ABCD绕C点翻到对角线AC处于竖直位置时，如图所示此过程中重心升高了1．一块厚度相同、质量分布均匀的正方形板，它的边长为L．如果在板上再黏上同样厚度的一个小正方形，如图阴影部分所示。此时板的重心距A点距离为L。【解答】解：根据题意，大正方形的重心和小正方形的重心应该在OB所在的直线上，由于大部分质量分布在左侧，整体的重心在O点的左侧位置，由题图可知黏上的正方形板面积为原来正方形板面积的，由于在板上黏上同样厚度的小正方形板，所以黏上的小正方形板的重力是大正方形重力的；设黏上小正方形板后，整体的重心将从O点向左移动x；假设将黏上的小正方形板可补上，在重心处可以将物体支撑起来，根据杠杆的平衡条件可得：（Go+Go）×x＝Go×L，解得x＝L，即整体部分的重心距O点的距离是L，此时板的重心距A点距离为：L+L＝L。故答案为：L。7．有一“不倒翁”，由半径为R的半球体与顶角为60°的圆锥体组成（如图），它的重心在对称轴上。为使“不倒翁”在任意位置都能恢复竖直状态，则该“不倒翁”的重心到顶点的距离必须大于（+）R。【解答】解：重心低，不倒翁稳定，为使“不倒翁”在任意位置都能恢复竖直状态，应该使重心到顶端的距离最大，如图所示，可以把这个看成一个杠杆，B点就是支点，从图中可以看出当重心在BD右侧的时候，杠杆才会旋转，而重心又在对称轴上，所以就是BD和AD交点D。所以应该：连接BE，延长AC，并过B点做AB的垂线交于点D，按题意，至少当其发生最大倾倒时，则“不倒翁”在任意位置都能恢复竖直状态。那么此时在ΔBDC和ΔADB中，不难证明它们是相似三角形。即ΔBDC∽ΔADB故∠DBC＝∠BAD＝＝30°，则DC＝BC•tan30°＝BC×＝R；AC＝BC•tan60°＝BC×＝R。故该“不倒翁”的重心到顶点的距离AD必须大于（+）R。故答案为：（+）R。8．有一个半径为R、材质均匀厚度为d的大圆盘上再黏上一个半径为R，材质均匀厚度为d的小圆盘，如图所示，此时整体重心离大圆盘圆心的距离是0.1R。【解答】解：两个圆盘分开独自考虑，因为都是规则，材质均匀的圆盘，所以两者各自的重心分别在自己的圆心处，大小圆盘的质量之比为：，若两个圆心的相连的线段看做杠杆，左右两端受力之比为4：1，如果保持杠杆平衡，左右力臂之比为1：4，则支点位置应在两个圆心的相连的线段上，且距O点距离为该线段长度的，支点的位置即为整体重心所在的位置，所以整体重心离大圆盘圆心O的距离是：（R﹣R）＝R＝0.1R。三、解答题9．四块完全相同的质量均匀分布的木块，各长1m，叠放在一起伸出桌边外，要求各木块尽量往外伸，且最下面的木块不离开桌面，如图所示．那么最上面的木块的右边缘离桌边缘的距离是多少？（结果保留两位小数）【详解】由于质量均匀分布的木块的重心在它的几何中心，所以最上接下来把上面两块作为一块伸出最远的情况是它的重心正好在下面一块的右边缘上，接下来把上面两块作为一个整体，同理，第二块（从上往下数，下同）的最大出量是，第三块、第四块伸出的最大量分别是和，从面可知最上面的木块右边缘离桌边缘的距离是．10．如图所示，有一等边，在B、C两点各放一个质量为m的小球，在A点放一个质量为2m的小球，则这个球组的重心在何处？【答案】重心位于B、C连线的中点与A点连线的中点处【详解】设D点为B、C连线的中点，E点为A、D连线的中点．根据题意可知B、C两点处两球的重心在B、C连线的中点D处．如答图所示，可以将B、C两点处的两球等效为在B、C连线的中点上有一质量为2m的小球．接着求A、D两点处两球的重心，因为两球质量相等，所以其重心位于A、D两点连线的中点E处．11．只有一把没有刻度的尺，怎样测定一块均匀薄板（如图甲）的中心位置？薄板各个角都是直角。【答案】【详解】若把薄板分成两个矩形，则每个矩形的重心在它的两对角线的交点上，即在和上。因此整块薄板的重心应在连线上（如图乙）。如果把薄板按图丙的分法，用同样的方法可得、，可判断重心在连线上（如图丙）。故整块薄板的重心应在两直线和的交点C上（如图丁）。12．借助于合适的思想方法，可以尝试分析一些陌生的问题，可以把复杂问题简单化。（1）每个物体都可视为由若干个质点构成。一个物体的重心是物体内各质点所受重力的合力的作用点。对于质量均匀的线状物体，沿线状方向建立一维坐标系，若重心坐标为，则满足：其中，、代表第n个质点的质量和位置坐标。如图，放在水平桌面边缘的物体，可允许其部分伸出桌外而能保持平衡，前提条件是：物体的重心必须在桌子的正上方。A、B、C是三个形状一样、质量分布均匀的薄木条，长都为l，它们的质量分别为m、、，水平叠放在一起，放在水平桌面上，端面与桌边平行。A木条放在B上，右端相对B右端有伸出；B木条放在C上，右端相对C右端有伸出。建立以桌边O为原点，水平向右的坐标系，为保证三木条不翻倒，木条C伸出桌边的长度不能超过多少？（2）如图所示，声源S和观察者A都沿x轴正方向运动，相对于地面的速率分别为和。空气中声音传播的速率为，设，空气相对于地面没有流动。若声源相继发出两个声信号，时间间隔为，请根据发出的这两个声信号从声源传播到观察者的过程，确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔。‍【答案】（1）；（2）【详解】（1）由题可知，C伸出的长度为，A的重心坐标为B的重心坐标为C的重心坐标为则为保证三木条不翻倒解得故不能超过。（2）设为声源S发