（5年高考真题备考题库）高考数学一轮复习 第5章 第2节 等差数列及其前n项和 文 湘教版

2009~2013年高考真题备选题库第5章数列第2节等差数列及其前n项和考点一等差数列的通项公式1．（2013安徽，5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6 B．－4C．－2 D．2解析：本题主要考查等差数列的基础知识和基本运算，意在考查考生的运算求解能力．根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.答案：A2．（2013新课标全国Ⅰ，12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2n－1a2n＋1)))的前n项和．解：本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列求和等．(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝0，,5a1＋10d＝－5.))解得a1＝1，d＝－1.故{an}的通项公式为an＝2－n.(2)由(1)知eq\f(1,a2n－1a2n＋1)＝eq\f(1,3－2n1－2n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－3)－\f(1,2n－1)))，从而数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2n－1a2n＋1)))的前n项和为eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,－1)－\f(1,1)＋\f(1,1)－\f(1,3)＋…＋\f(1,2n－3)－\f(1,2n－1)))＝eq\f(n,1－2n).3．（2013新课标全国Ⅱ，12分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.解：本题主要考查等比数列的性质、等差数列的通项公式及等差数列的求和，意在考查考生的运算求解能力．(1)设{an}的公差为d.由题意，aeq\o\al(2,11)＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝eq\f(n,2)(a1＋a3n－2)＝eq\f(n,2)·(－6n＋56)＝－3n2＋28n.4．（2013山东，12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.解：本题主要考查等差数列的通项公式、错位相减法等知识，考查方程思想、转化思想和运算能力、推理论证能力．(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝8a1＋4d，,a1＋2n－1d＝2a1＋2n－1d＋1，))解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由已知eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，当n＝1时，eq\f(b1,a1)＝eq\f(1,2)；当n≥2时，eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))＝eq\f(1,2n)，所以eq\f(bn,an)＝eq\f(1,2n)，n∈N*.由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝eq\f(2n－1,2n)，n∈N*.又Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n)，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(2n－3,2n)＋eq\f(2n－1,2n＋1)，两式相减得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,22)＋\f(2,23)＋…＋\f(2,2n)))－eq\f(2n－1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n－1)－eq\f(2n－1,2n＋1)，所以Tn＝3－eq\f(2n＋3,2n).5．（2010浙江，4分）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369…那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．解析：第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，则其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.答案：n2＋n6．(2010新课标全国，12分)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．解：(1)由已知a3＝5，a10＝－9得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5，,a1＋9d＝－9.))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9,d＝－2.))数列{an}的通项公式为an＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝10n－n2.因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．7．(2010浙江，14分)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．解：(1)由题意知S6＝－eq\f(15,S5)＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a1＋10d＝5，,a1＋5d＝－8))解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2aeq\o\al(2,1)＋9da1＋10d2＋1＝0，故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2eq\r(2)或d≥2eq\r(2).考点二等差数列的前n项和1．（2012辽宁，5分）在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58 B．88C．143 D．176解析：因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6＝88.答案：B2．(2011江西，5分)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝()A．18 B．20C．22 D．24解析：由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.答案：B3．(2009·宁夏、海南，5分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，则m＝________.解析：∵am－1＋am＋1＝2am，∴2am－aeq\o\al(2,m)＝0，∴am＝0或am＝2.∵S2m－1＝eq\f(2m－1a1＋a2m－1,2)＝(2m－1)am＝38，∴am＝2，∴(2m－1)×2＝38，解得m＝10.答案：104．（2012北京，5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝eq\f(1,2)，S2＝a3，则a2＝________；Sn＝________.解析：设公差为d，则由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝eq\f(1,2)，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(nn＋1,4).答案：1eq\f(nn＋1,4)5．（2011广东，5分）等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝____________.解析：设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋eq\f(9×8,2)d＝4×1＋eq\f(4×3,2)d，所以d＝－eq\f(1,6).又ak＋a4＝0，所以[1＋(k－1)×(－eq\f(1,6))]＋[1＋(4－1)×(－eq\f(1,6))]＝0.即k＝10.答案：106．（2011广东，5分）等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝____________.解析：设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋eq\f(9×8,2)d＝4×1＋eq\f(4×3,2)d，所以d＝－eq\f(1,6).又ak＋a4＝0，所以[1＋(k－1)×(－eq\f(1,6))]＋[1＋(4－1)×(－eq\f(1,6))]＝0.即k＝10.答案：107．（2011湖南，5分）设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝______.解析：设数列的公差为d，则3d＝a4－a1＝6，得d＝2，所以S5＝5×1＋eq\f(5×4,2)×2＝25.答案：258．（2013福建，12分）已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5>a1a9，求a1的取值范围．解：本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以aeq\o\al(2,1)＝1×(a1＋2)，即aeq\o\al(2,1)－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，所以5a1＋10>aeq\o\al(2,1)＋8a1，即aeq\o\al(2,1)＋3a1－10<0，解得－5<a1<2.9．(2010山东，12分)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26.{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝eq\f(1,a\o\al(2,n)－1)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝eq\f(na1＋an,2)，所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．(2)因为an＝2n＋1，所以aeq\o\al(2,n)－1＝4n(n＋1)，因此bn＝eq\f(1,4nn＋1)＝eq\f(1,4)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))．故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,4)(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(1,4)(1－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(n,4n＋1)，所以数列{bn}的前n项和Tn＝eq\f(n,4n＋1).考点三等差数列的性质及应用（2013辽宁，5分）下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p