和差倍分证数量截长延短来构造 论文

和差倍分证数量，截长延短来构造祁门县城北学校陶秀英摘要：在几何证明题当中，我们经常会遇到求角或者线段的和、差、倍、分的数量关关键词：和差倍分 长截取短延长 构造法 化曲为直 转化我们知道，在解答数学题时，基本上都有一套固定的解题方法或者说是解题体系。讲造法”——“长截取、短延长”在数学解题中的妙用。案例1：如下左图所示，已知在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，过点D作DF⊥AB，交AC于点E，交BC延长线于点F。1求证：∠F=2∠AA ADEDEB C F B G DEDE分析：这道题让我们证明一个角是另一个的一半，显然就是典型的“和差倍分”问题。1 12要证∠F=∠A，不妨我们就作一个角等于∠A，然后证明所作的这个角与∠F相等不22就搞定啦！由于可少的辅助线——“三线合一”线。当我们作出这条辅助线时自然也就实现了构造的意图。证明：过点A作AG⊥BG于点G,则∠AGB=90°∴∠B+∠BAG=90°(直角三角形的两个锐角互余)∵DF⊥AB（已知）∴∠B+∠BFD=90°(直角三角形的两个锐角互余)∴∠BFD=∠BAG（同角的余角相等）∵AB=AC（已知）AG⊥BG（所作）1∴∠BAG=∠BAC（等腰三角形三线合一）21∴∠F=2∠A备注：这是一道最为简单的构造法题型。当然同学们可能还没有完全真正意义上来理下面我再举几道例子来和大家赏析一下，去深入领略一下“构造法”的神奇与奥妙吧！案例2：如图2ABC的平分线交AC于点与BD的延长线交于点E，且∠ACE=∠CBE。（1）求证：CE⊥BE.（2）求证：BD=2CEAE4AE4D5321DE图3B 图DE图3证明：（1）∵CD平分∠ABC（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵∠1=∠3（已知）∴∠2=∠3（等量代换）∵∠4=∠5（对顶角相等）∴∠BAD=∠CED(三角形的内角和定理)∵∠A=90°（已知）∴∠CED=90°（等量代换）∴CE⊥BE.（垂直的定义）（2）分析：要证BD=2CE，显然此中涉及到2倍的问题，一般按照我们常规的思路就BD的中点的方法，延长CE到F使得EF=CE，然后转化成证明BD=CF。也就是我们前面所说的构造法。证法如下：延长BA、CE交于点F，∵CD平分∠ABC CE⊥BE.∴CF=2CE∵△ABC是等腰直角三角形（已知）∴AB=AC在△ABD和△ACF中，ìÐBAD已知）íïABíîïÐ2î

已证）∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=CF(全等三角形的对应边相等)∴BD=2CE（等量代换）得证！总结：第一个问比较简单，但是第二个问如果直接去证明是有一定难度的。但是只要们的思路就会顺畅许多。这道题用“长截取”来处理比“短延长”难度要大一些。这种题决的案例，然后大家去细细地咀嚼一下其中奥妙和神奇。案例3：已知：如图4所示，Rt△ABC中，AC=BC，BD是∠ABC的角平分线。求证：AB=BC+CDCDCDC CDA BAD图4

E 图5

D21AB 图D21A方法一：长截取如图5所示，我们既可以过点D作DE⊥AB于点E，也可以在AB上截取BE=BC，这两DE=DC=EA，从而证出AB=BE+AE=BC+CD。实质就是利用角平分线的性质定理以及等腰三角形的相关性质证明。方法二：短延长如图6所示，延长BC到E，使得CE=CD，结合已知条件易证△AEC≌△BDC∴∠EAC=∠DBC∠AEC=∠BDC∵∠BDC=∠DAB+∠DBA=∠DAB+∠DBC=∠DAB+∠EAC=∠EAB又∵∠AEC=∠BDC∴∠AEC=∠EAB∴AB=EB=BC+CE=BC+CD总结：虽说这道题长截取短延长两种方法都行，但是通过证明可以发现，长截取比短延长要简单一些。案例4：已知：如图所示，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CBA和∠DBA,CD过E点。求证：AB=AC+BDF7ECEC DE E4D 3 847 D C 312B7 A

8 F

6 1 65 2 5A 图9 B分析：求证结果AB=AC+BD，即一条线段是另外两条线段的总和，我们的想法就是要么AB上截取一段AF使得等于AC,那么此题就转化成证明BD=BF的问题了，或者把较短线段进行延长然后证明它与AB相等就可以啦。下面我也分别从“长截取短延长”两种方法来和大家共同解析一下这道题的解法。解法一：长截取在AB上截取AF=AC,连接EF。∵AC∥BD∴∠CAB+∠ABD0180°∵AE、BE分别平分∠CBA和∠DBA∴∠1=∠2 ∠5=∠6∴∠2+∠5=90°∴∠4+∠7=90°∴∠3+∠8=90°根据SAS易证△CAE≌△FAE∴∠3=∠4∴∠7=∠8根据ASA易证△EFB≌△EDB∴BF=BD∴AB=AF+FB=AC+BD得证！解法二：短延长延长AE与BD交于点F∵AC∥BD∴∠1=∠7∴AB=BF∵AE、BE分别平分∠CBA和∠DBA∴∠1=∠2 ∠5=∠6∴∠2=∠7∴AE=EFBE⊥AF(等腰三角形三线合一)根据ASA易证△ACE≌△FDE∴AC=DFAB=BF=BD+DF=BD+AC即AB=AC+BD得证！备注：事实上在我们用上面的两种方法进行证明证明时，我们不难发现，点E为CD的中点。因此此题也可以变式为如下案例：案例5：在梯形ABCD中，AD∥BC,M为AB的中点。求证：（1）若CM为∠BCD的平分线，则AD+BC=CD；（2）若AD+BC=CD，则MC⊥MD。HMGB图HMGB图11CMBC图10解法一：长截取如图11所示，过点M作分别作MH⊥CD、MG⊥BC并延长GM交AD于点F，∵AD∥BC∴MF⊥AD∵M为AB的中点∴MA=MB根据AAS易证△AMF≌△BMG∴AF=BG再根据AAS、HL依次证明△MCG≌△MCH、△MFD≌MHD得出GC=HC、DH=DF∴CD=CH+DH=CG+DF=BC+BG+DF=BC+AF+DF=BC+AD即AD+BC=CD备注：此题并不是简简单单地长截取证明方法，而是通过作垂线来构造了长截取——在上长截取CB上实际上也运用了短延长的思想。但我在作辅助线时并不是真正的长截取，而是一种构造法思想。解法二：短延长如图12所示，延长DM、CB交于点E∵AD∥BC,M为AB的中点根据AAS易证△AMD≌△BEM∴AD=BE ME=MD∵CM为∠BCD的平分线通过三线合一的逆定理可以得出CE=CD(也可以过点M向MD得出CE=CDCE=CB+BE=CB+AD即AD+BC=CDD DA A M NMME B C 图12

B 图13 C解法三：中位线法取CD的中点N，连接MN，则MN是梯形的中位线∴MN∥BC∴∠NMC=∠MCB∵CM为∠BCD的平分线∴∠MCB=∠MCN∴∠NMC=∠MCN∴MN=NC∵N是CD的中点∴DN=CN∴MN=1/2CD∵MN是梯形的中位线∴MN=1/2(AD+BC)∴1/2CD=1/2(AD+BC)∴AD+BC=CD今天早上在国旗下讲话时，江雨老师和我一起探讨了周末学生作业试卷上的题时，用享一下。案例6：如图D是边BC且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E。求证：（1）∠1=∠2；（2）AD=DE.A1G1G5E421EFB D CB 2 FD 图14 C

图15解析：此题就是前面我引用过的“一线三等角”模型，但是在第二个问当中，我们可以看到采用了“长截取”的方法。证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠ACB=60°∴∠1+∠ADB=120°∵∠ADE=60°∴∠2+∠ADB=120°∴∠1=∠2（2）在AB上截取AG=CD∵△ABC是等边三角形∴AB=BC∴BG=BD∵∠B=60°∴△BDG为等边三角形∴∠4=60°∴∠5=120°∵CE平分∠ACF ∠ACB=60°∴∠DCE=120°∴∠5=∠DCE在△AGD和△DCE中，íìïAGíîïî∴△AGD≌△DCE(ASA)∴AD=DE就是，当要证一条线段等于另外两条线段的和时，我们有如下两种方法。长截取：即在较长线段上截取一条线段等于其中的一条较短线段，然后去证明那条