第八章 杆件的组合变形

第八章

杆件的组合变形材料力学1第八章杆件的组合变形本章内容:8.1斜弯曲8.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形8.3弯曲和扭转的组合变形8.4拉伸（压缩）和扭转的组合变形2

在第三章中已得到杆件在组合变形时的内力的计算方法。如果杆件最终仍然处于弹性变形阶段，且应力不超过材料的比例极限，与内力计算相同，可采用叠加原理计算组合变形时的应力。将在基本变形时同一截面上同一点的同一种应力叠加，得到杆件在组合变形时的应力，从而确定杆件危险点的应力状态和主应力，为进一步的强度分析打下基础。第八章杆件的组合变形3

设F力作用在梁自由端截面的形心，并与竖向形心主惯性轴夹角（图8.1）。将F力沿两形心主惯性轴分解，得8.1斜弯曲1.正应力分析第八章杆件的组合变形求得距固定端的x处的截面内力为式中

，表示F力引起的弯矩。4

8.1斜弯曲第八章杆件的组合变形

由叠加原理，得横截面上任一点处的正应力为（8.1）5为了确定最大正应力，首先要确定中性轴的位置。设中性轴上任一点的坐标为y0和z0。因中性轴上各点处的正应力为零，所以将y0和z0代入（8.1）式后，可得8.1斜弯曲第八章杆件的组合变形2.中性轴与最大正应力因M≠0，故（8.2）这就是中性轴的方程。它是一条通过横截面形心的直线。68.1斜弯曲第八章杆件的组合变形

（8.3）

图8.2中性轴与合弯矩78.1斜弯曲第八章杆件的组合变形对于有凸角的截面，例如矩形、工字形截面等，应力分布如图8.3所示，角点b产生最大拉应力，角点c产生最大压应力，由(8.1)式，它们分别为

横截面上的最大正应力，发生在离中性轴最远的点，整个杆件上的最大弯曲正应力，在弯矩最大的截面，即梁的固定端Mmax=Fl。（8.4）图8.3凸角截面的应力分布没有凸角的截面，最大应力的点的确定如左图8悬臂梁自由端因Fy和Fz引起的挠度分别为8.1斜弯曲第八章杆件的组合变形3.变形分析（8.5）沿y轴的正向，

沿z轴的负向，自由端的总挠度为总挠度w与y轴的夹角为β，即9一般情况下，，即，说明挠曲线所在平面与外力作用平面不重合，这样的弯曲称为斜弯曲。8.1斜弯曲第八章杆件的组合变形除此之外，斜弯曲还有以下特征：（1）由（8.3）式，对于矩形、工字形等

的截面，由于

，因而中性轴与外力F作用方向不垂直；与合弯矩M作用方向不重合；见图8.2。（2）比较(8.5)式与(8.3)式，有

，即

，斜弯曲的挠度与中性轴是相互垂直的（图8.2b）。。（3）对于圆形、正方形和正多边形等截面，由于任意一对形心轴都是形心主惯性轴，且截面对任一形心主惯性轴的惯性矩都相等

，则

，即挠曲线所在平面与外力作用平面重合。这表明，对这类截面只要横向力通过截面形心，不管作用在什么方向，均为平面弯曲。正应力可用合成弯矩M按照弯曲正应力公式（4.39）计算。108.1斜弯曲第八章杆件的组合变形例8.1

图a所示悬臂梁，采用25a号工字钢。在竖直方向受均布荷载q=5kN/m作用，在自由端受水平集中力F=2kN作用。已知截面的几何性质为：I

z=5023.54cm4，Wz=401.9cm3，Iy=280.0cm4，Wy=48.28cm3。材料的弹性模量E=2×105MPa。试求：梁的最大拉应力和最大压应力。118.1斜弯曲第八章杆件的组合变形解：均布荷载q

使梁在xy平面内弯曲，集中力F使梁在xz平面内弯曲，故为双向弯曲问题。两种荷载均使固定端截面产生最大弯矩，所以固定端截面是危险截面。由变形情况可知，在该截面上的A点处产生最大拉应力，B

点处产生最大压应力，且两点处应力的数值相等。128.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形8.2.1横向力和轴向力共同作用

该杆受轴向力F拉伸时，任一横截面上的正应力为

受均布载荷作用时，距固定端为x的任意横截面上的弯曲正应力为上两式叠加得截面上任一点A(y，z)处的正应力为138.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形

显然，固定端截面为危险截面。该横截面上正应力σ′和σ″的分布如图8.5b,c所示。（8.6）在这三种情况下，横截面的中性轴分别在横截面内、横截面边缘和横截面以外。由应力分布图可见，该横截面的上、下边缘处各点可能是危险点。这些点处的正应力为148.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形例8.2图所示托架，受荷载F=45kN作用。设AC杆为22b号工字钢，试计算AC杆的最大工作应力。解：取AC杆进行分析，其受力如图b所示。

AC杆的AB段杆的变形是拉伸和弯曲的组合变形，BC段发生弯曲。内力图（c）、（d）。

B点左侧的横截面是危险截面,上边缘各点处的拉应力最大，是危险点。22b号工字钢，Wz=325cm3，A=46.6cm2，此时的最大拉应力为由平衡方程，求得158.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形8.2.1偏心压缩与截面核心1.正应力的计算内力计算现考察任意横截面上第一象限中的任意点B(y，z)处的应力，B点处的正应力分别为168.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形对应于上述三个内力,B点处的正应力分别为叠加得B点处的总应力为（8.7）178.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形令（8.8）188.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形2.中性轴的位置设y0

和z0

为中性轴上任一点的坐标，将y0

和z0代入得即中性轴是一条不通过横截面形心的直线198.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形中性轴在y轴和z轴上的截距式中负号表明，中性轴的位置和外力作用点的位置总是分别在横截面形心的两侧。中性轴一边的横截面上产生拉应力，另一边产生压应力。208.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形

最大正应力发生在离中性轴最远的点处。对于有凸角的截面，最大正应力一定发生在角点处。角点D1产生最大压应力，角点D2产生最大拉应力，如图8.9d所示。实际上，对于有凸角的截面，可不必求中性轴的位置，即可根据变形情况，确定产生最大拉应力和最大压应力的角点。对于没有凸角的截面，当中性轴位置确定后，作与中性轴平行并切于截面周边的两条直线，切点D1和D2即为产生最大压应力和最大拉应力的点，如图8.10所示。图8.10无凸角截面的最大正应力点的位置218.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形例8.3

一端固定并有切槽的杆，如图a所示。试求最大正应力

解：由观察判断，切槽处杆的横截面是危险截面，如图b所示。A点为危险点，该点处的最大拉应力为228.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形3.截面核心

土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不允许横截面上出现拉应力。这就要求偏心压力只能作用在横截面形心附近的某个范围内；这个范围称之为截面核心。

要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力，那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时偏心压力作用点的位置来确定的。238.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形

图中所示任意形状的截面，y轴和z轴为其形心主惯性轴。

为确定截面核心的边界(图中的封闭曲线1-2-3-4-5-1)，可作一系列与截面周边相切和外接的直线把它们视为中性轴。24得出每一与圆边相切或外接的直线（中性轴）所对应的偏心压力作用点的位置，亦即截面核心边界上相应点的坐标ryi,rzi

根据这些直线中每一直线在y轴和z轴上的截距ayi和azi即可由前面已讲过的中性轴在形心主惯性轴上截距的计算公式8.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形25

连接这些点所得封闭曲线其包围的范围就是截面核心。8.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形应该注意的是，截面核心的每一边界点与对应的截面周边上的切线和外接的直线（中性轴）总是位于截面形心的相对两侧。26

图中y轴和z轴为矩形截面的形心主惯性轴。对于这两根轴的惯性半径iy和iz的平方为

显然，要使整个横截面上只受同一符号的应力，则中性轴至少应与截面周边相切。例8.4：确定矩形截面的截面核心8.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形第八章杆件的组合变形27

先将与AB边重合的直线①作为中性轴，它在y、z轴上的截距分别为：

与之对应的1点的坐标为：第八章杆件的组合变形8.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形28

同理可求得当中性轴②与BC边重合时，与之对应的2点的坐标为

中性轴③与CD

边重合时，与之对应的3点的坐标为

中性轴④与DA边重合时，与之对应的4点的坐标为第八章杆件的组合变形8.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形29为了解决这一问题，现研究中性轴从与一个周边相切，转到与另一个周边相切时，外力作用点的位置变化的情况。例如，当外力作用点由1点沿截面核心边界移动到2点的过程中，与外力作用点对应的一系列中性轴将绕B点旋转，B点是这一系列中性轴共有的点。因此，将B点的坐标和代入(8.9)式，即得第八章杆件的组合变形8.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形确定了截面核心边界上的4个点后，还要确定这4个点之间截面核心边界的形状。30在这一方程中，只有外力作用点的坐标和是变量，所以这是一个直线方程。它表明，当中性轴绕B点旋转时，外力作用点沿直线移动。因此，联接1点和2点的直线，就是截面核心的边界。同理，2点、3点和4点之间也分别是直线。最后得到矩形截面的截面核心是一个菱形，其对角线的长度分别是和。由此例可以看出，对于矩形截面杆，当压力作用在对称轴上，并在“中间三分点”以内时，截面上只产生压应力，这一结果在土建工程中经常用到。其它截面形状，也可用同样的方法确定。第八章杆件的组合变形8.2拉伸（压缩）和弯曲的组合变形311、弯曲和扭转组合变形下应力计算

以钢制直角曲拐中的圆杆AB为例，研究杆在弯曲和扭转组合变形下应力计算的方法。第八章杆件的组合变形8.3弯曲和扭转的组合变形

首先将力F向AB杆B端截面形心简化，得到一横向力F及力偶矩T=Fa，如图b所示。力F使AB杆弯曲，力偶矩T使AB杆扭转，故AB杆同时产生弯曲和扭转两种变形。AB杆的内力图，见图c、d。（8.11）实际上AB杆的各截面上还有剪力FS，因此，AB杆的任一截面上既有正应力，又有扭转切应力和弯曲切应力。但一般来说在弯扭组合变形中，由横向力（剪力FS）引起的弯曲切应力，与扭转产生的扭转切应力相比非常小，一般可以忽略不计。

固定端A处是危险截面，其弯矩和扭矩分别为32第八章杆件的组合变形8.3弯曲和扭转的组合变形从应力分布图可见，横截面的上、下两点C1和C2都是危险点。弯曲正应力和扭转切应力分别为（8.12）（8.13）A截面的弯曲正应力和扭转切应力的分布如下332、弯曲和扭转组合变形下主应力计算

第八章杆件的组合变形8.3弯曲和扭转的组合变形（8.14）则主应力为（8.15）根据主应力公式（7.5）式，有34第八章杆件的组合变形8.3弯曲和扭转的组合变形代入（8.15），并注意到Wt=2Wz=W，则得到以内力形式表示的主应力计算公式（8.16）最大切应力为（8.17）35第八章杆件的组合变形8.3弯曲和扭转的组合变形（1）只需得到截面上的内力M、T，即可求出该截面上危险点的主应力；（2）主应力的大小与扭矩的转向无关；（3）即使不知道危险点的位置，只要知道截面上的内力M、T，就可确定主应力的大小。由式（8.16）可以看出,弯曲和扭转的组合变形:36第八章杆件的组合变形8.3弯曲和扭转的组合变形例8.6图示钢制实心圆轴的直径为d=50mm，，其齿轮C上作用铅直切向力5kN，径向力1.82kN；齿轮D上作用有水平切向力10kN，径向力3.64kN。齿轮C的直径dC=400mm，齿轮D的直径dD=200mm。试求圆轴的危险点的主应力和最大切应力。37第八章杆件的组合变形8.3弯曲和扭转的组合变形解：（1）外力分析：圆轴产生弯曲和扭转的组合变形。图b所示（2）内力分析：画出内力图。

对于圆轴，由于包含轴线的任一平面都是纵向对称平面，所以把同一横截面的两个弯矩My和Mz按矢量合成后，合成总弯矩M的作用平面仍然是纵向对称面，仍然可按照对称弯曲计算弯曲正应力。合成总弯矩M为B截面为危险截面，其上内力为38第八章杆件的组合变形8.3弯曲和扭转的组合变形（3）主应力：圆轴的抗弯截面系数为主