2022-2023学年河南省郑州市高二下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省郑州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题注意事项：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列，满足，，则（）A.18 B.36 C.72 D.144〖答案〗A〖解析〗由题意可知：，故选：A.2.2023年5月10日，第七届全球跨境电子商务大会在郑州举行，小郑同学购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为30，方差为60，如果按人民币计（汇率按1美元=7元人民币），则平均数和方差分别为（）A.30，60 B.30，420 C.210，420 D.210，2940〖答案〗D〖解析〗由题意知这些商品的价格如果按人民币计算，价格是如果按美元计算的7倍，所以平均数是按美元计算的7倍，方差是按美元计算的49倍，则平均数为，方差为.故选：D.3.如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取4个数，则选取的4个数之和为奇数的方法数为（）A.60 B.61 C.65 D.66〖答案〗A〖解析〗由题意可知，阴数为，，，，阳数为，，，、.若选取得个数的和为奇数，①个奇数，个偶数，，共有种方法，②个奇数，个偶数，共有种方法，综上共有种方法.故选：A.4.下列四个命题中，正确命题的个数为（）①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44．②相关系数，表明两个变量的相关性较弱．③若由一个列联表中的数据计算得的观测值，那么有99%的把握认为两个变量有关．④用最小二乘法求出一组数据，的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据，的残差是指．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗对于①，甲组数据的中位数为45，乙组数据的中位数为，①错误；对于②，相关系数时，两个变量有很强的相关性，②错误；对于③，的观测值约为，那么有99%的把握认为两个变量有关，③正确；对于④，残差分析中，相应数据的残差，④正确，所以命题正确的序号是③④.故选：B.5.已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，，即；则的通项公式为，令，则，所以.故选：B.6.已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数，求导得：，依题意，，解得，即有，，所以函数的图像在点处的切线为：，即，符合题意.故选：B.7.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年．如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数构成数列，记为该数列的第项，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，，，…则，故选：B.8.下列说法中不正确的是（）A.若随机变量，，则B.若随机变量，则期望C.已知随机变量的分布列为，则D.从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为〖答案〗C〖解析〗对于A：随机变量且，则，故A正确；对于B：随机变量，则期望，故B正确；对于C：因为，所以，，，所以，解得，所以，故C错误；对于D：从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率，故D正确；故选：C.9.若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由预报变量随着解释变量的增大而减小，即回归方程对应一个递减函数，排除A、C；由随解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，即趋向正无穷，预报变量趋向于某一个值，而不是趋向负无穷，排除B.故选：D.10.对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（）A. B. C.17 D.34〖答案〗C〖解析〗由函数，可得，所以，令，可得，又由，即函数的对称中心为，所以，则.故选：C.11.已知数列满足，，若对于任意都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为时，，而要满足，故要单调递减，所以，解得，时，，而要满足，故要单调递减，所以，从而，还需满足，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.12.若，则下列式子可能成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗令，，则恒成立，所以单调递增，其中，，则存在，使得当时，，即，若，则，且，则，不满足，故，且，所以又因为，所以，当时，，即①当时，，，则成立，故；②当时，，若，则，因为，且在上单调递增，所以当时，，则，所以，所以，又因为，所以，故ABC错误，D正确.故选：D.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知等比数列满足：，，则公比______．〖答案〗〖解析〗因，，所以，所以，所以，因为，所以，所以，故.故〖答案〗为：.14.在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感．若这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是______．〖答案〗〖解析〗设事件为此人患流感，，，分别代表此人来自甲，乙，丙三个地区，根据题意可知：，，，，，，.故〖答案〗为:.15.为积极践行劳动教育理念，扎实开展劳动教育活动，某学校开设三门劳动实践选修课，现有五位同学参加劳动实践选修课的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有______．〖答案〗〖解析〗由题意得，先将五位同学分组，可以分为和两种情况，当分组为时，共有种；当分组为时，共有种.再将五位同学分配到三门劳动实践选修课去学习，共有种.所以不同的报名方法有种.故〖答案〗为：.16.2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，比赛局数的期望值记为，则的最大值是______．〖答案〗〖解析〗设实际比赛局数为，则的可能取值为，则，，，则，所以，因为的对称轴为，，当时，，当时，，所以，所以令，则；令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为.故〖答案〗为：.三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤．17.一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，白球4个，黑球5个．（1）若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；（2）若从袋子中一次性随机摸出3个球，记黑球的个数为，求随机变量的概率分布．解：（1）设“第1次摸到白球”为事件A；“第2次摸到白球”为事件．则，由条件概率公式可得，故在第1次摸到白球的条件下，第2饮摸到白球的概率是．（2）可能的取值为0，1，2，3，则，，，，故的分布列为：012318.设数列的前项和为，已知，．（1）设，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．（1）证明：由及，得，∴，∴．又，由①－②，得，∴．∵，∴，故数列是首项，公比为2的等比数列．（2）解：由（1）知，∴，又，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以．.19.黄河是中华民族的母亲河、生命河，也是一条桀骜难驯的忧患之河．小浪底水利枢纽工程位于河南省济源市、洛阳市孟津区边界，是黄河治理开发的关键控制性工程．它控制着黄河的流域面积、91%的径流量和近的泥沙，以防洪、防淩、减淤为主，兼顾供水、灌溉、发电，不仅是中华民族治黄史上的丰碑，也是世界水利工程史上最具标志性的杰作之一，其大坝为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为HN1渗压计，随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：并计算得，，，，，．（1）求该水库HN1号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到0.01）；（2）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为．利用以上数据给出此时HN1号渗压计管内水位的估计值．附：相关系数，，．解：（1）由表格易得：水库的平均水位，HN1号渗压计管内平均水位．又，同理可得：，，∴

.（2）∵，，∴HN1号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为，当时，预测值，即水库的水位为时，HN1号渗压计管内水位的估计值为.20.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.解：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；③当时，，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.21.根据长期生产经验，某种零件的一条生产线在设备正常状态下，生产的产品正品率为．为了监控该生产线生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其质量，规定：抽检的件产品中，若至少出现件次品，则认为设备出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．（1）假设设备正常状态，记表示一天内抽取的件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性；（2）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用元，修理费用元，乙部件的检测费用元，修理费用元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由.参考数据：，，．解：（1）由题可知，单件产品为次品的概率为，所以，，所以．由可知，如果生产状态正常，一天内抽取的个零件中，至少出现个次品的概率约为，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的．（2）若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为，，则，，所以，若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为，，则，，所以，所以，则当时，，应先检测乙部件；当时，，先检测甲部件或乙部件均可；当时，，应先检测甲部件．22已知函数．（1）求函数的最小值；（2）设函数．证明：当时，，恒成立．（1）解：的定义域为，．令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增．所以的最小值为.（2）证明：法一：，．∵，，，∴，即在上单调递减．∴．由（1）知，的最小值为，所以，即（当且仅当时，等号成立）．∴，故．法二：由（1）知，的最小值为，所以，即（当且仅当时，等号成立）．因为，所以．又因为，所以，所以，得证．河南省郑州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题注意事项：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列，满足，，则（）A.18 B.36 C.72 D.144〖答案〗A〖解析〗由题意可知：，故选：A.2.2023年5月10日，第七届全球跨境电子商务大会在郑州举行，小郑同学购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为30，方差为60，如果按人民币计（汇率按1美元=7元人民币），则平均数和方差分别为（）A.30，60 B.30，420 C.210，420 D.210，2940〖答案〗D〖解析〗由题意知这些商品的价格如果按人民币计算，价格是如果按美元计算的7倍，所以平均数是按美元计算的7倍，方差是按美元计算的49倍，则平均数为，方差为.故选：D.3.如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取4个数，则选取的4个数之和为奇数的方法数为（）A.60 B.61 C.65 D.66〖答案〗A〖解析〗由题意可知，阴数为，，，，阳数为，，，、.若选取得个数的和为奇数，①个奇数，个偶数，，共有种方法，②个奇数，个偶数，共有种方法，综上共有种方法.故选：A.4.下列四个命题中，正确命题的个数为（）①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44．②相关系数，表明两个变量的相关性较弱．③若由一个列联表中的数据计算得的观测值，那么有99%的把握认为两个变量有关．④用最小二乘法求出一组数据，的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据，的残差是指．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗对于①，甲组数据的中位数为45，乙组数据的中位数为，①错误；对于②，相关系数时，两个变量有很强的相关性，②错误；对于③，的观测值约为，那么有99%的把握认为两个变量有关，③正确；对于④，残差分析中，相应数据的残差，④正确，所以命题正确的序号是③④.故选：B.5.已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，，即；则的通项公式为，令，则，所以.故选：B.6.已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数，求导得：，依题意，，解得，即有，，所以函数的图像在点处的切线为：，即，符合题意.故选：B.7.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年．如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数构成数列，记为该数列的第项，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，，，…则，故选：B.8.下列说法中不正确的是（）A.若随机变量，，则B.若随机变量，则期望C.已知随机变量的分布列为，则D.从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为〖答案〗C〖解析〗对于A：随机变量且，则，故A正确；对于B：随机变量，则期望，故B正确；对于C：因为，所以，，，所以，解得，所以，故C错误；对于D：从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率，故D正确；故选：C.9.若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由预报变量随着解释变量的增大而减小，即回归方程对应一个递减函数，排除A、C；由随解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，即趋向正无穷，预报变量趋向于某一个值，而不是趋向负无穷，排除B.故选：D.10.对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（）A. B. C.17 D.34〖答案〗C〖解析〗由函数，可得，所以，令，可得，又由，即函数的对称中心为，所以，则.故选：C.11.已知数列满足，，若对于任意都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为时，，而要满足，故要单调递减，所以，解得，时，，而要满足，故要单调递减，所以，从而，还需满足，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.12.若，则下列式子可能成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗令，，则恒成立，所以单调递增，其中，，则存在，使得当时，，即，若，则，且，则，不满足，故，且，所以又因为，所以，当时，，即①当时，，，则成立，故；②当时，，若，则，因为，且在上单调递增，所以当时，，则，所以，所以，又因为，所以，故ABC错误，D正确.故选：D.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知等比数列满足：，，则公比______．〖答案〗〖解析〗因，，所以，所以，所以，因为，所以，所以，故.故〖答案〗为：.14.在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感．若这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是______．〖答案〗〖解析〗设事件为此人患流感，，，分别代表此人来自甲，乙，丙三个地区，根据题意可知：，，，，，，.故〖答案〗为:.15.为积极践行劳动教育理念，扎实开展劳动教育活动，某学校开设三门劳动实践选修课，现有五位同学参加劳动实践选修课的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有______．〖答案〗〖解析〗由题意得，先将五位同学分组，可以分为和两种情况，当分组为时，共有种；当分组为时，共有种.再将五位同学分配到三门劳动实践选修课去学习，共有种.所以不同的报名方法有种.故〖答案〗为：.16.2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，比赛局数的期望值记为，则的最大值是______．〖答案〗〖解析〗设实际比赛局数为，则的可能取值为，则，，，则，所以，因为的对称轴为，，当时，，当时，，所以，所以令，则；令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为.故〖答案〗为：.三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤．17.一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，白球4个，黑球5个．（1）若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；（2）若从袋子中一次性随机摸出3个球，记黑球的个数为，求随机变量的概率分布．解：（1）设“第1次摸到白球”为事件A；“第2次摸到白球”为事件．则，由条件概率公式可得，故在第1次摸到白球的条件下，第2饮摸到白球的概率是．（2）可能的取值为0，1，2，3，则，，，，故的分布列为：012318.设数列的前项和为，已知，．（1）设，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．（1）证明：由及，得，∴，∴．又，由①－②，得，∴．∵，∴，故数列是首项，公比为2的等比数列．（2）解：由（1）知，∴，又，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以．.19.黄河是中华民族的母亲河、生命河，也是一条桀骜难驯的忧患之河．小浪底水利枢纽工程位于河南省济源市、洛阳市孟津区边界，是黄河治理开发的关键控制性工程．它控制着黄河的流域面积、91%的径流量和近的泥沙，以防洪、防淩、减淤为主，兼顾供水、灌溉、发电，不仅是中华民族治黄史上的丰碑，也是世界水利工程史上最具标志性的杰作之一，其大坝为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为HN1渗压计，随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：并计算得，，，，，．（1）求该水库HN1号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到0.01）；（2）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为．利用以上数据给出此时HN1号渗压计管内水位的估计值．附：相关系数，，．解：（1）由表格易得：水库的平均水位，HN1号渗压计管内平均水位．又，同理可得：，，∴

.（2）∵，，∴HN1号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为，当时，预测值，即水库的水位为时，HN1号渗压计管内水位的估计值为.20.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.解：（1）的定义域为，，（ⅰ）若