浅谈初中最短路径问题的应用 论文

浅谈初中最短路径问题的应用摘的判定和性质。主要涉及到的知识点有：（1）平行四边形的判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；（2）平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；（3）对称轴垂直平分对应点所连线段；（4）垂直平分行的性质：垂直平分线上一点到线段两个断点距离相等；（5）两点之间，线段最短。引 言：①“最值问题”是数学这门学科中的一类比较具有挑战性的问题，整个初中的数学学习中，有很多的经典的数学模型需要学生熟练的掌握并会应用。其中，利用轴对称来解决简单的最短路径问题就是其中一个重要的模型，这个模型是教学大纲中，要求每位初中生必须掌握的；②本篇论文的主要观点是：能将实际问题或对称背景图下的几何问题中，有关最短路径问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题来分析与求解；③最短路径问题的原型来源于“将军饮马问题”、“造桥选址问题”，还有可能扩展到一次函数问题中，应用广泛；④写作资料来源于初中人教版数学课本、与课本配坐标轴等对称图形为背景的一些数学问题。一、利用轴对称解决最短路径问题思路1．两点一线（1）两点异侧两点在直线LL上找一点AP+BP的值最小。图1作法：连接AB，与L的交点即为P，如图2图2的最小值为AB，两点之间，线段最短。也就是两点异侧，直接相连。（2）两点同侧3，A、B两点在直线L同侧，在直线L上找一点P，是AP+BP的值最小.图3作法：作点A关于直线L的对称点A'，连接A'B，与L的交点即为点P，如图4图4原理：AP+BP的最小值为A'B，两点之间，线段最短。也就是两点同侧，就需要对称到异侧。2．一点两线以及两点两线（1）一点两线问题：如图5，在直线L1、L2上找两点M、N，使△PMN的周长最小.图5P关于直线的对称点如图6.图6（2）原理：PM+PN+MN的最小值为P1P2的值，两点之间线段最短。一点两线需要将那一点对称到两直线的异侧。（3）两点两线问题:如图7，在直线L1、L2上分别找点M、N，使四边形PMNQ的周长最小。图7作法：作点P、Q分别关于直线L1、L2的对称点P1、P2，连接P1P2，与两直线的交点M、N，如图8。图8的最小值为P1P2的值，两点之间线段最短。两点两线问题需要将两点分别对称到两直线的异侧，再根据两点之间线段最短来解决。二、利用轴对称解决最短路径问题的实际应用例题1【1】如图9，牧马人从ALB地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 图9 图10分析：如果把河边L近似地看成一条直线（如图10），C为在直线上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在什么位置时，AC与BC的和最小。如果能把点B移到L的另一侧B'，同时对直线L上的任一点C，都保持CB与CB'的长度相等，就可以把问题转化为“直线异侧两点间最短”的问题。解：作出点B关于L的对称点B'，连接AB'，与直线L交于点C，此时，交点C所在的位置，便是使AC+BC的和最小的位置。结果如图11.图11例题2.如图12，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为多少？图12解析：这个问题可以看成是“两点同侧”问题。D、M是线段AC所在直线同侧动ACD或点M对称到线段AC所在直线的另外一侧，至于具体将哪个点对称过去，要尽量遵循计算简D的对称点B。解：∵正方形有对称性∴点D关于线段AC的对称点是点B故连接BM，BM与AC的交点为点N，连接DN，如图13图13∵（DN+MN）最小值=（BN+MN）最小值且BN=DN∴（DN+MN）最小值=（BN+MN）最小值=BM又∵BC=CD=4，DM=1BC2+BC2+CM2在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM=即（DN+MN）最小值=5

= 42+32=5例题3.如图13是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A处，它想吃到盒内表面对侧中点B距下底面3cm，请计算爬行的最短路程。图13解析：曲面上的最短路程要先把侧面展开，圆柱的侧面展开是矩形，点B在点A的对侧，若点A在矩形的边上，则点B应该在矩形长的正中间。展开图及标注信息如图14EF所在直线看成直线看成直线LA或点B对称到L的另一侧即可，这种题目还是很常见的。图14解：将圆柱形延点A所在的高出剪开，相应的信息标注如图14.过EF作点B的对称点B'，连接AB'交EF于点P，连接PB，过点A作AM⟂BH则B'G=BG∵点A距下底面3cm，AM BH∴AC=MH=3cm∵点B在点A的对侧中点,h=10cm1∴BG=B'G=2

ℎ=5cm，B'M=12cm∴AM=CH=1CD=162在Rt△AB’M中，由勾股定理得：AM2+B'M2=AB'2即162+122=AB'2，得AB'=

162+122=20cm∵（AP+PB）min=(AP+PB')min=AB'∴（AP+PB）min=20cm即爬行的最短路程是20cm。例4.已知点A（1，2），点B（4，1），在x轴上找一点P，使AP+BP的值最小，求出这个最小值。解析：这一题和前面的题目解决办法一样，先作对称转化图像，把AP或BP中的一条翻到x轴的另一侧，于是，第一步，作出A点关于x轴的对称点A1，有坐标系的好处就是A1的位置也能用坐标表示出来，再连接PA1，所求折线就转化成了A1PB，第二步，连接A1B，与x轴交于点P，这样A1PB就被拉成了直的A1B，它的长就是折线长度的最小值。解：过点A作关于x轴的对称点A1，连接A1B，交x轴于点P，如图15∵点A（1，2）∴点A1（1，-2）

图15∵（AP+BP）min=（A1P+BP）min=A1BA1B=

（1−4）2+（−2−1）2=32∴（AP+BP）min=32即AP+BP的最小值是32反思：这一题还可以结合一次函数来考察，可以再让学生求出点P的坐标，这样，就要先求出直线A1Bx的求法进行展开。三、浅