人教版八年级数学下册期末试卷(培优篇)(Word版含解析)

人教版八年级数学下册期末试卷（培优篇）（Word版含解析）一、选择题1．在函数中，自变量x的取值范围是（）A． B． C． D．2．以下列长度的三条线段为三角形的三边，能组成直角三角形的一组是（）A．2，5，6 B．，1，2 C．1，1， D．3，7，83．如图，在下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD//BC，AB=CD B．∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COBC．OA=OC，OB=OD D．AB=AD，CB=CD4．八（3）班七个兴趣小组人数分别为4、4、5、、6、6、7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（）A．6 B．5 C．4 D．35．如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1）点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（）A．90° B．60° C．30° D．45°6．如图，将沿对角线进行折叠，折叠后点落在点处，交于点，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个7．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为（）A．8 B．9 C． D．8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（3，4），点P是y轴正半轴上的动点，连接AP交线段OB于点Q，若△OPQ是等腰三角形，则点P的坐标是（）A．（0，） B．（0，）C．（0，）或（0，） D．（0，）或（0，）二、填空题9．已知是实数，且满足，则的平方根是____________．10．如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中CA＝2,OB＝3,则菱形ABCD的面积为___．11．在中，∠A=90°，AB=AC=2，则BC=________．12．如图，矩形的对角线与相交点，，，，分别为，的中点，则的长度为______．13．一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过点，则_______．14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形．这个条件为_____．15．已知直线与轴，轴分别交于点，，点是射线上的动点，点在第一象限，四边形是平行四边形．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，则点的坐标为______．16．如图，是的中线，把沿折叠，使点落在点处，与的长度比是_______________________．三、解答题17．计算：（1）；（2）；（3）解方程组；（4）解方程组．18．我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（1丈＝10尺）19．图1、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图1中画一个面积为4的菱形；（2）在图2中画一个矩形，使其边长都是无理数，且邻边不相等．20．已知：在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且DE＝BF．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AD＝6，AB＝4，EF⊥AC，求BF的长．21．观察下列等式：①②③······回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：．（2）．（n为正整数）（3）利用上面所揭示的规律计算：22．某大型商场为了提高销售人员的积极性，对原有的薪酬计算方式进行了修改，设销售人员一个月的销售量为x（件），销售人员的月收入为y（元），原有的薪酬计算方式y1（元）采用的是底薪＋提成的方式，修改后的薪酬计算方式为y2（元），根据图象解答下列问题：（1）求y1关于x的函数表达式；（2）王小姐是该商场的一名销售人员，某月发工资后，王小姐用原有的薪酬计算方式算了下，她所得的薪酬比原有的薪酬计算方式算出的薪酬多750元，求王小姐该月的销售量为多少件？23．如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，（1）求直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标25．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．（1）如图，当点E在线段BC上时，∠BDF=α．①按要求补全图形；②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；③判断线段BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．26．如图，在正方形中，点、是正方形内两点，，，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：（1）在图1中，连接，且①求证：与互相平分；②求证：；（2）在图2中，当，其它条件不变时，是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.（3）在图3中，当，，时，求之长.【参考答案】一、选择题1．D解析：D【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】解：根据题意得，2x-3≥0，解得x≥．故选择：D．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算求解即可得到答案.【详解】解：A、，故此选项错误；B、，故此选项错误；C、，故此选项正确；D、，故此选择错误.故选C.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握，如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形.3．C解析：C【解析】【分析】由平行四边形的判定可求解．【详解】A、由AD∥BC，AB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；B、由∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB不能判定四边形ABCD为平行四边形；C、由OA=OC，OB=OD能判定四边形ABCD为平行四边形；D、AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．B解析：B【解析】【分析】本题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．【详解】解：∵某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，∴x＝5×7−4−4−5−6−6−7＝3，∴这一组数从小到大排列为：3，4，4，5，6，6，7，∴这组数据的中位数是：5．故选：B．【点睛】本题考查的是中位数和平均数的定义，熟知中位数的定义是解答此题的关键．5．D解析：D【分析】根据所给出的图形求出AB、AC、BC的长以及∠BAC的度数，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：根据图形可得：∵AB＝AC＝＝，BC＝＝，∴∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，故选D．【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．6．C解析：C【解析】【分析】根据SSS即可判定△ABF≌△CFB，根据全等三角形的性质以及等式性质，即可得到EC＝EA，根据∠EBF＝∠EFB＝∠EAC＝∠ECA，即可得出BF∥AC．根据E不一定是BC的中点，可得BE＝CE不一定成立．【详解】解：由折叠可得，AD＝AF，DC＝FC，又∵平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，∴AF＝BC，AB＝CF，在△ABF和△CFB中，，∴△ABF≌△CFB（SSS），故①正确；∴∠EBF＝∠EFB，∴BE＝FE，∴BC−BE＝FA−FE，即EC＝EA，故②正确；∴∠EAC＝∠ECA，又∵∠AEC＝∠BEF，∴∠EBF＝∠EFB＝∠EAC＝∠ECA，∴BF∥AC，故③正确；∵E不一定是BC的中点，∴BE＝CE不一定成立，故④错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．D解析：D【解析】【分析】由矩形性质及G为中点，可得∠AGE=2∠ADE=2∠CED=∠AED，从而可得AE=AG，由矩形性质AB=CD=3，由勾股定理可得AE，再根据直角形的性质从而可求得DF的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB=∠ABC=∠ABE=90゜，AB=CD=3，AD∥BC∵G点是DF的中点∴AG是Rt△DAF斜边DF上的中线∴AG=DG=∴∠GAD=∠ADE∴∠AGE=2∠ADE∵AD∥BC∴∠CED=∠ADE∴∠AGE=2∠CED∵∠AED=2∠CED∴∠AED=∠AGE∴AE=AG在Rt△ABE中，由勾股定理得：∴∴故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，关键是得出∠AED=∠AGE．8．C解析：C【分析】利用待定系数法分别求出OB、PA的函数关系式，设，，并由P、Q点坐标，可表示出OP、OQ和PQ，根据△OPQ是等腰三角形，可得或或，则可得到关于m的方程，求得m的值，即可求得P点坐标．【详解】解：设OB的关系式为，将B（3，4）代入得：，∴，设，，∴，，，设PA的关系式为，将，代入得：，解得，∴，将，联立方程组得：，解得，若△OPQ是等腰三角形，则有或或，当时，，，即，解得，则P点坐标为（0，），当时，，，解得，不合题意，舍去，当时，根据等腰三角形性质可得：点Q在OP的垂直平分线上，，∴，且，即，解得，则P点坐标为（0，）综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，）或（0，）．故选：C．【点睛】本题是一次函数的综合问题，考查了待定系数法、等腰三角形的性质等知识，掌握待定系数法与两点间的距离公式并注意分类讨论思想及方程思想的应用是解题的关键，综合性较强．二、填空题9．【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可求得x，然后求得y，最后求平方根即可．【详解】解：∵是实数，且满足，∴并且，解得，此时，∴，其平方根是．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，二次根式的化简，理解二次根式有意义被开方数非负是解题关键．10．A解析：6【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．【详解】解:∵在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OB＝3,∴BD=6,∵CA＝2,∴菱形ABCD的面积为,故答案为:6．【点睛】本题主要考查了菱形的面积的求解方法,解题的关键是熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半．11．【解析】【分析】直接利用勾股定理即可得．【详解】在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题关键．12．5【分析】先利用勾股定理求解再利用矩形的性质求解从而根据中位线的性质可得答案.【详解】解：矩形，，，，分别为，的中点，故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，灵活应用以上知识是解题的关键.13．A解析：﹣4【分析】根据两条平行直线的解析式的k值相等求出k的值，然后把点A的坐标代入解析式求出b值即可．【详解】解：∵y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行，∴k=2，∵y=kx+b的图象经过点A（1，﹣2），∴2+b=﹣2，解得b=﹣4，故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2平行，则k1＝k2；若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．14．A解析：AB＝BC（答案不唯一）【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以可添加条件为：邻边相等；对角线互相垂直．【详解】添加AB＝BC，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可使它成为菱形．故填：AB=BC．【点睛】本题考查菱形的判定，以平行四边形为基础，按照菱形判定定理解题即可．15．或．【分析】先根据题意求得，，，分点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点关于直线的对称点恰好落在轴上，根据含30度角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是解析：或．【分析】先根据题意求得，，，分点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点关于直线的对称点恰好落在轴上，根据含30度角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得点的坐标．【详解】与轴，轴分别交于点，，令，，，令，，，，，，，，，①如图，当点在第二象限时，设交轴于点，交于点，交轴于点，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，点关于直线的对称点为点，，，，是等边三角形，，，，点为的中点，，，，②如图，当点在第二象限时，延长交轴于点，则，点关于直线的对称点为点，，，是等边三角形，，，，，，，，，．综合①②可知C的坐标为或．故答案为:或．【点睛】本题考查了一次函数图像的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法比较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．16．【分析】设BD=CD=x，由题意可知∠ADC=45°，且将ADC沿AD折叠，故，则可运用勾股定理，将用x进行表示，即可得出的值．【详解】解：∵点D是BC的中点，设BD=CD=x，则BC=2x解析：【分析】设BD=CD=x，由题意可知∠ADC=45°，且将ADC沿AD折叠，故，则可运用勾股定理，将用x进行表示，即可得出的值．【详解】解：∵点D是BC的中点，设BD=CD=x，则BC=2x，又∵∠ADC=45°，将ADC沿AD折叠，故，=x，∴，是直角三角形，根据勾股定理可得：，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考察了折叠问题与勾股定理，解题的关键在于通过折叠的性质，得出直角三角形，并运用勾股定理．三、解答题17．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据二次根式的性质化简各项，然后再合并同类项即可；（2）先结合平方差公式和完全平方公式计算，再去括号即可；（3）利用代入消元法求解即可；（4）利解析：（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据二次根式的性质化简各项，然后再合并同类项即可；（2）先结合平方差公式和完全平方公式计算，再去括号即可；（3）利用代入消元法求解即可；（4）利用加减消元法求解即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）由②可得：，将代入①得：，解得：，∴，∴原方程组解为：；（4）由①×4-②×3可得：，解得：，将代入①可得：，解得：，∴原方程组解为：．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组等，掌握基本解法，并熟练运用乘法公式是解题关键．18．55尺【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【详解】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：解析：55尺【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【详解】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，答：折断处离地面的高度为4.55尺．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．19．（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）直接利用菱形的性质画出符合题意的菱形；（2）利用网格结合矩形的判定和性质得出答案．【详解】（1）如图1所示：其四边形是菱形，且面积为4；解析：（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）直接利用菱形的性质画出符合题意的菱形；（2）利用网格结合矩形的判定和性质得出答案．【详解】（1）如图1所示：其四边形是菱形，且面积为4；（2）如图2所示：其四边形是边长为无理数的矩形．【点睛】本题考查应用设计与作图，解题的关键是熟练掌握菱形的性质与矩形的判定和性质．20．（1）见解析；（2）BF【分析】（1）在矩形ABCD中，根据DE＝BF，可得AE＝CF，AE∥CF进而证明四边形AFCE为平行四边形；（2）根据EF⊥AC，可得四边形AFCE为菱形；根据AD＝解析：（1）见解析；（2）BF【分析】（1）在矩形ABCD中，根据DE＝BF，可得AE＝CF，AE∥CF进而证明四边形AFCE为平行四边形；（2）根据EF⊥AC，可得四边形AFCE为菱形；根据AD＝6，AB＝4，AE＝AF＝FC＝AD﹣DE，即可在Rt△ABF中，根据勾股定理，求BF的长．【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC又∵DE＝BF，∴AE＝CF，AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：∵EF⊥AC，∴□AFCE是菱形，∴AF＝CF在矩形ABCD中，∠B＝90°BC＝AD＝6，又AB＝4，设BF＝x，则AF＝CF＝6－x，在Rt△AFB中，∴，解得即BF．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．21．（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据平方差公式分母有理化即可；（2）根据平方差公式分母有理化即可；（3）对每一个式子分母有理化，再进行合并计算即可；【详解】（1）；故答案解析：（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据平方差公式分母有理化即可；（2）根据平方差公式分母有理化即可；（3）对每一个式子分母有理化，再进行合并计算即可；【详解】（1）；故答案是：；（2）；故答案是：；（3），，；【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化，平方差公式，准确计算是解题的关键．22．（1）y1＝15x+3000；（2）250件【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y1的函数关系式；（2）根据函数图象中的数据求出修改后的薪酬计算方式为y2的函数关系式，用y2﹣y1＝75解析：（1）y1＝15x+3000；（2）250件【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y1的函数关系式；（2）根据函数图象中的数据求出修改后的薪酬计算方式为y2的函数关系式，用y2﹣y1＝750，得出结果．【详解】解：（1）设y1＝kx+3000，将（100，4500）代入得：4500＝100k+3000，解得k＝15，∴y1关于x的函数表达式为y1＝15x+3000；（2）设y2＝mx，将（100，3000）代入得：3000＝100m，解得m＝30，∴y2＝30x，∵所得的薪酬比原有的薪酬计算方式算出的薪酬多750元，∴y2﹣y1＝750，即30x﹣（15x+3000）＝750，解得x＝250，答：王小姐该月的销售量为250件．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用函数的性质解答．23．（1）等边三角形；（2）成立，理由见解析；（3）或．【分析】（1）根据题意先判断出四边形ABCE和四边形ACDE都是梯形．得出FG为梯形ABCE的中位线，GH为梯形ACDE的中位线．从而得出，．解析：（1）等边三角形；（2）成立，理由见解析；（3）或．【分析】（1）根据题意先判断出四边形ABCE和四边形ACDE都是梯形．得出FG为梯形ABCE的中位线，GH为梯形ACDE的中位线．从而得出，．即证明为等边三角形．（2）先判断出PF，PG是△ABC和△CDE的中位线，再判断出∠FPG＝∠FCH，进而证明△FPG≌△FCH，得出结论FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，最后证明出∠GFH=，即证明△FGH为等边三角形．（3）①当点E在AE上时，先求出CM，进而求出AM，即可求出AD，再判断出，进而求出BE=AD=2，，即可判断出，再求出BN、EN，进而求出BD，最后即可求出FH，即可得出结果；②当点D在AE的延长线上时同①的方法即可得出结果．【详解】（1）∵和都为等边三角形，且边长不相等．∴，．∴四边形ABCE和四边形ACDE都是梯形．又∵F、G、H分别是BC、AE、CD中点，∴FG为梯形ABCE的中位线，GH为梯形ACDE的中位线．∴，．∴，．∴为等边三角形．故答案为：等边三角形．（2）取AC的中点P，连接PF，PG，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝BC，CE＝CD，∠BAC＝∠ACB＝∠ECD＝∠B＝60°．又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB．∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC＋∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°．∴∠FPG＝∠FPC＋∠GPC＝60°＋∠GPC，∠GPC＝180°－∠PCE．∴∠FCH＝360°－∠ACB－∠ECD－∠PCE＝360°－60°－60°－（180°－∠GPC）＝60°＋∠GPC．∴∠FPG＝∠FCH．∴△FPG≌△FCH（SAS）．∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH．∴∠GFH＝∠GFC＋∠CFH＝∠GFC＋∠PFG＝∠PFC＝60°．∴△FGH为等边三角形．所以成立．（3）①当点D在AE上时，如图，∵是等边三角形，∴，．∵是等边三角形，∴，，过点C作于M，∴，在中，根据勾股定理得，,在中，根据勾股定理得，,∴,∵,∴，∴，连接BE，在和中，，∴（SAS），∴BE=AD=2,，∵，∴，∴，过点B作于N，∴，在中，，∴，∴,DN=DE-EN=3，连接BD，根据勾股定理得：，∵点H是CD中点，点F是BC中点，∴FH是的中位线，∴，由（2）可知，△FGH为等边三角形．∴△FGH的周长．②当点D在AE的延长线上时，如图，同理可求，所以△FGH的周长．即满足条件的△FGH的周长位或．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形的中位线定理．属于几何变换综合题，综合性强，较难．24．（1）；（2）12；（3）存在，【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式，即可得到答案；（2）先求出交点C的坐标，利用底乘高列式计算即可得到答案；（3）先求出OC的长，分三种情况求解析：（1）；（2）12；（3）存在，【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式，即可得到答案；（2）先求出交点C的坐标，利用底乘高列式计算即可得到答案；（3）先求出OC的长，分三种情况求出点P的坐标使是等腰三角形.【详解】（1）由题意得，解得，直线的函数表达式；（2）解方程组，得，∴点的坐标，∴；（3）存在，,当OP=OC时，点P(10，0),(-10，0),当OC=PC时，点P（12,0），当OP=PC时，点P（），综上，点P的坐标是(10，0)或(-10，0)或（12,0）或（）时，是等腰三角形.【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，求图象交点坐标，利用等腰三角形的定义求点坐标.25．（1）①详见解析；②45°-α；③，详见解析；（2），或，或【分析】（1）①由题意补全图形即可；②由正方形的性质得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出即可；

③在DF上截取DM解析：（1）①详见解析；②45°-α；③，详见解析；（2），或，或【分析】（1）①由题意补全图形即可；②由正方形的性质得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出即可；

③在DF上截取DM=BF，连接CM，证明△CDM≌△CBF，得出CM=CF，

∠DCM=∠BCF，得出MF=即可得出结论；（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF=BF+，理由同(1)③；②当点E在线段BC的延长线上时，BF=DF+，在BF_上截取BM=DF，连接CM．同(1)③得△CBM≌△CDF得出CM=CF，∠BCM=∠DCF，证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=，即可得出结论；③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF=，在DF上截取DM=BF，连接CM，同(1)

③得:ACDM≌△CBF得出CM=CF，∠DCM=∠BCF，证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=，即可得出结论．【详解】解：（1）①如图，②∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，，∴，∵BF⊥DE,∴∠BFE=90°，∴,故答案为：45°-α；③线段BF，CF，DF之间的数量关系是．证明如下：在DF上截取DM=BF，连接CM．如图2所示，∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°∴∠CDM=∠CBF=45°-α，∴△CDM≌△CBF（SAS）．∴DM=BF，CM=CF，∠DCM=∠BCF．∴∠MCF=∠BCF+∠MCE=∠DCM+∠MCE=∠BCD=90°，∴MF=．∴（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF=BF+，理由同(1)③；②当点E在线段BC的延长线上时，BF=DF+，理由如下：在BF上截取BM=DF，连接CM，如图3所示，同(1)

③，得：△CBM≌△CDF

(SAS)，∴CM=CF，

∠BCM=∠DCF．∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD=

∠

BCD=90°，∴△CMF是等腰直角三角形，∴MF=，

∴BF=BM+MF=DF+；③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF=；理由如下：在DF上截取DM=BF，连接CM，如图4所示，同（1）③得