《复变函数与积分变换》§8.2 Laplace变换的性质_第1页
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文档简介

§8.2Laplace变换的性质本节将介绍在Laplace变换的实际应用中极为重要的一些性质，为了叙述方便起见，假定在这些性质中，凡是要求Laplace变换的函数都满足Laplace变换存在定理中的条件，并且把这些函数的增长指数都统一地取为C，在逐条证明这些性质时，我们不再重复这些条件，请读者注意．线性性质一设，，，是常数，则有(8.2.1)线性性质一因为左边的积分才收敛，从而才有等式成立．同理可证第二个式子．这个性质表明函数线性组合的Laplace变换等于各函数Laplace变换的线性组合．证明显然，当上式右边两积分都收敛时，即时，线性性质一求(其中为实数)的Laplace变换．解：

由§8.1节的例2知，所以，由Laplace的线性性质有同理可求得例1线性性质一已知，求．解：

首先把化为部分分式的和，令等式两边同乘，比较s的同次项系数，计算可得，例2线性性质一所以微分性质二，，，则有设根据Laplace变换的定义并利用分部积分法，有，所以由于的增长指数为即所以，，，时，当时域微分1有微分性质二，(8.2.3)(8.2.4)必须指出，如果在不连续，或包含一个或的即(8.2.2)式变为此时，应将的Laplace变换中的积分下限理解为，即各阶导数，则(8.2.2)式中的初始条件就必须取为．微分性质二反复利用(8.2.3)式，可得到关于Laplace变换的时域微分的高阶导数公式(8.2.5)特别地，若在处连续，且都等于0，(8.2.6)则微分性质二利用Laplace变换的微分性质求函数的Laplace变换．解：由于，则由式(8.2.2)有即移项化简得例3微分性质二例4利用微分性质求的Laplace变换．解：

例5求函数的Laplace变换，其中是正整数．由于而，即解：

所以由(8.2.6)微分性质二域微分(像函数的微分)性质2由Laplace变换的存在定理，可以得到像函数的微分性质：若，则(8.2.7)一般地，有(8.2.8)微分性质二例6求函数的Laplace变换．解：

因为，根据上述像函数的微分性质可知同理可得微分性质二已知，求．解：由像函数的微分性质例7当时，有．积分性质三若，则(8.2.9)设，则由(8.2.2)式得证明重复应用公式(8.2.9),可得(8.2.10)即积分性质三例8求．解：因，此外，由Laplace变换存在定理可以得到像函数的积分性质：若，则(8.2.11)或由(8.2.9)式积分性质三它的证明留给读者．(8.2.12)一般地，有求．解：因，在上式中，若令，可得我们熟知的积分公式上述方法，常用来计算某些积分．例9由式(8.2.11)可得平移性质四时域平移1设()，当时，，则对于任由Laplace变换的定义，有，有(8.2.13)一非负实数

证明平移性质四域平移2设()，则有平移性质四由Laplace变换的定义，有由此看出，上式右端积分只是在中把换成，所以，有类似可得合起来便是证明平移性质四求．解：

已知()，，由位移性质可得()又由像函数的积分性质得例5()相似性质五设，则()()证

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