《复变函数与积分变换》2.1 解析函数的概念

第二章解析函数解析函数是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用．本章在介绍复变函数导数概念和求导法则的基础上，着重讲解解析函数的概念及其判别法，阐明解析与可导的关系，然后介绍一些常用的初等函数，说明它们的解析性．§2.1解析函数的概念复变函数的导数一定义1是D内任一点，令

如果

存在有限的极限值A，设函数在开区域D内有定义1导数的定义则称处可导，A

为在处的导数，记作

在复变函数的导数一即或写成微分形式如果在区域D内处处可导（可微），则称在D内可导（可微）．也称为在处的微分故也称在处可微．复变函数的导数一例1求函数（为正整数）的导数．解因为所以复变函数的导数一证明在全平面处处不可导．证明因为对任意一点

分别考虑直线及直线在前一直线上，在后一直线上，上式恒等于1．故当时，上式没有极限，即在处没有导数．由于的任意性，在全平面处处没有导数．例2上式恒等于0；复变函数的导数一2可导与连续证明在处可导，则在处连续．若在处可导，对于任意的存在使得当时，有

令则由有即在处连续．定理1复变函数的导数一3求导法则(c为复常数)(c为复常数)复变函数的导数一是两个互为反函数的单值函数，3求导法则复变函数的导数一例3解利用法则，得：

复变函数的导数一例4解(1)利用法则6o，得：

的反函数为

复变函数的导数一4函数可导的条件定理2(Cauchy—Riemann)在区域D内有定义，可导，则复变函数的导数一此时，的导数可写成C-R(Cauchy—Riemann)条件且满足方程(2.3)(2.4)复变函数的导数一证明：则依任何方式

其中复变函数的导数一沿实轴趋于零，则不妨先让复变函数的导数一沿虚轴趋于零，则又有再让说明四个偏导数都存在.复变函数的导数一比较上两式，则得复变函数的导数一注意①本定理表明，若函数（2.4）可求得点的导数则依据公式这比由导数定义求导方便得多．②C—R条件只是导数存在的一个必要条件．复变函数的导数一例5证明：函数处处不可导．证明因此，即C-R条件不成立，在复平面的任何点处，不可导．复变函数的导数一例6处的可导性．讨论解即函数复变函数的导数一但若让所以函数处的不可导．复变函数的导数一定理3(函数可导的充分必要条件)可导的充分必要条件是(C-R条件)且满足C-R条件复变函数的导数一推论在点(x,y)

处连续，且满足C-R条件，则复变函数处可导．解析函数的概念二1解析函数的定义如果函数的邻域内处处可导，在及处解析；如果函数如果函数每一点解析，也称全纯函数或正则函数．的一个解析函数(analyticfunction)，则称定义2则称在例如函数在复平面中每一点都有导数，所以它们在整个复平面内处处解析．同样，我们可以验证在复平面内处处不解析．若函数处不解析，的奇点；特别地，若函数处不解析，一去心的孤立奇点．邻域内处处解析，解析函数的概念二解析函数的概念二函数没有定义，导数当然也不存在，所以，在复平面中除去外的导数处处存在，因而的区域内解析；在除去但在处，从而在处不解析，是的奇点，也是的孤立奇点．例如解析函数的概念二注意①函数的奇点并非都是孤立奇点，以后我们讨论的奇点主要是孤立奇点．②函数在一点处解析与可导是两个不等价的概念．③函数在区域内的解析与可导是等价的．解析函数的概念二2函数解析的条件解析的充分必要条件是处可微且满足C-R条件(C-R条件)定理4解析函数的概念二在区域D内解析的两个函数的和、差、积、商（除去分母为零的点外）在D内解析；设函数平面上的区域D内解析，函数如果对D内的每一个点函数的对应值都属于G，那么复合函数在D内解析．运算法则在平面上的区域G内解析，解析函数的概念二注意所有关于的多项式函数在复平面内是处处解析的；任何一个关于的有理分式函数在不含使分母为零的点的区域内是解析函数，使分母为零的点是它的孤立奇点．解析函数的概念二例7判断下列函数是否解析：(1)(2)解(1)解析函数的概念二例7判断下列函数是否解析：(1)(2)处处解析．

所以解析函数的概念二例7判断下列函数是否解析：(1)(2)(2)四个偏导数存在且连续．但C-R条件只在和上满足．即直线所以，只在以上两条直线上可导，从而处处不解析．解析函数的概念二例8常数取何值时，函数在复平面内处处解析？解四个偏导数都连续，因此只有当即当时，函数在复平面内处处解析．解析函数的概念二例9证明：若函数在E内解析，并满足下列条件之一，则是常数．①恒取实数；②在E内解析；③在E内为非零常数；④解析函数的概念二证：①恒取实数；函数在E内解析，故无关，所以为常数．②由且在E内解析得从而无关，所以为常数．解析函数的概念二③在E内为非零常数；所以在等式两边u、v不能同时为零；即以上关于u、v的齐次线性方程组有非零解，其系数行列式为零，即则有关于x,y求偏导，解析函数的概念二利用C-R条件，上式变为即所以恒为常数．解析函数的概念二④为解析函数，且所以恒为常数．解析函数的概念二解法1因解析，所以所以因的虚部