正弦和余弦 全市一等奖

4.1正弦与余弦（1）锐角三角函数分析由题意，△ABC是直角三角形，其中∠B=90º，∠A=65º，∠A所对的边BC=2000m，求斜边AC=？北东上述问题就是：知道直角三角形的一个为65º的锐角和这个锐角的对边长度，想求斜边长度，为此，可以去探究直角三角形中，65º角的对边与斜边的比值有什么规律？65ºABC

一艘帆船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向，探究帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65º的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？（精确到1m）每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为65º，量出65º角的对边长度和斜边长度，计算：的值。做一做与同桌和邻近桌的同学交流，计算出的比值是否相等（精确到0.01）？

小明、小亮画的直角三角形分别如图4-2的(1)和(2)，其中

小明量出∠D的对边EF=3cm，斜边DF=3.3cm，图4-2（1）（2）3.3cm3cm2.2cm2cm

小亮量出的对边斜边角的对边斜边

角的对边斜边算出：算出：结论证明已知：任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F'，∠D=∠D'=65º，∠E=∠E'=90º求证：∵∠E=∠E'

=90º，∠D=∠D'=65º，∴△DEF∽

△D'E'F'

．∴证明：结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中，65º角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．∴DEFD'E'F'因此在有一个锐角为65º的所有直角三角形中，65º角的对边与斜边的比值是一个常数．解决问题现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距离约等于多少米的问题．解

在直角三角形ABC中，BC=2000m

，∠A=65º，解得图4-165°2000

在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作:类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．即:定义注意：①sinα是在直角三角形中定义的;②sinα是一个整体符号，不能理解为sin·α思考:锐角α的正弦值与角度

α的大小变化有何规律？垂直高度倾斜角水平宽度垂直高度垂直高度水平宽度思考:锐角α的正弦值与角度

α的大小变化有何规律？垂直高度水平宽度思考:锐角α的正弦值与角度

α的大小变化有何规律？垂直高度水平宽度思考:锐角α的正弦值与角度

α的大小变化有何规律？1．在直角三角形ABC中，∠C=90º，BC=3，AB=5．（１）求∠A的正弦；（２）求∠B的正弦．（１）∠A的对边BC=3，斜边

AB=5．于是（２）∠B的对边是AC．根据勾股定理，得于是

AC=4．因此CAB35例题解4练习1.如图4-4，在直角三角形ABC中，∠C=90°，

BC=5，AB=13.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值．答：答：图4-42.小刚说：对于任意锐角α，都有

0＜sinα＜1．你认为他说得对吗？为什么？

答：小刚说的对.∵

角α的对边是直角边，而直角边长小于斜边长，∴0＜

sinα＜

1.角α的对边斜边合作交流求特殊角30°、45°、60°的正弦值。

Sin30°=

；

Sin45°=

；

Sin60°=

。想一想：这些特殊角的正弦值有什么规律？如何记忆？练习1.如图，Rt△ABC中，∠A=60°，

AB=4,则BC=

。

ABC⌒60°2．在Rt△ABC中，∠C=90°,若

AB=5，BC=4，则sinA=

；sinB=

。3．在Rt△ABC中，∠C=90°,若

sinB=0.75，AC=6，则

AB=

。285.如图，在△ABC中，AB=5,BC=6,AC=7,则下列说法正确的是：（）

A.sinB=B.sinA=C.sinC=D.以上都不对D4、在直角三角形中，角A为锐角，若各边都扩大到原来的100倍，则sinA的值()A.扩