陕西省汉中市汉台区县2024届高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

陕西省汉中市汉台区县2024届高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．早在古希腊时期，亚历山大的科学家赫伦就发现:光从一点直接传播到另一点选择最短路径，即这两点间的线段.若光从一点不是直接传播到另一点，而是经由一面镜子(即便镜面是曲面)反射到另一点，仍然选择最短路径.已知曲线，且将假设为能起完全反射作用的曲面镜，若光从点射出，经由上一点反射到点，则（）A. B.C. D.2．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A. B.C. D.3．已知函数，则（）A.0 B.1C.2 D.4．如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄，绿环，整个造形为一个底部小的规则梯形．为迎接北京冬奥会召开，某机构定制一批奥运五环旗，已知该五环旗的5个奥林匹克环的内圈半径为1，外圈半径为1.2，相邻圆环圆心水平距离为2.6，两排圆环圆心垂直距离为1.1，则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为（）A. B.2.8C. D.2.95．在四面体OABC中，点M在线段OA上，且，N为BC中点，已知，，，则等于（）A. B.C. D.6．已知抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若，则当最大时，（）A. B.1C. D.27．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员工人数为（）A.100 B.15C.80 D.508．命题“”的一个充要条件是（）A. B.C. D.9．若函数在上为单调减函数，则的取值范围（）A. B.C. D.10．过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为A. B.C. D.11．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（）A. B.C. D.12．数列满足，对任意，都有，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为______14．数列中，，，设（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数15．已知数列满足：，，，则______16．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《算法九章·商功》中，后人称之为“三角垛”.已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层（从上往下）球数构成一个数列，则___________，___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，为等边三角形，，，.（1）证明：平面PAD；（2）若M是BP的中点，求二面角的余弦值.18．（12分）已知数列的前项和为，且满足，，成等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19．（12分）已知曲线C的方程为（1）判断曲线C是什么曲线，并求其标准方程；（2）过点的直线l交曲线C于M，N两点，若点P为线段MN的中点，求直线l的方程20．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于，两点（A、B非椭圆顶点），求的最大值.21．（12分）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为（1）求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程；（2）若O是坐标原点，直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积22．（10分）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，点E，F分别在棱，上，且，（1）证明：点在平面BEF内；（2）若，，，求直线与平面BEF所成角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】记椭圆的右焦点为，根据椭圆定义，得到，由题中条件，确定本题的本质即是求的最小值，结合题中数据，即可求出结果.【详解】记椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可得，，所以，因为，当且仅当三点共线时，，即；由题意可得，求的值，即是求最短路径，即求的最小值，所以的最小值为，因此.故选：B.【点睛】思路点睛：求解椭圆上动点到一焦点和一定点距离和的最小值或差的最大值时，一般需要利用椭圆的定义，将问题转化为动点与另一焦点以及该定点距离和的最值问题来求解即可.2、D【解析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：D3、C【解析】对函数f(x)求导即可求得结果.【详解】函数,则，，故选C【点睛】本题考查正弦函数的导数的应用，属于简单题.4、C【解析】根据题意作出辅助线直接求解即可.【详解】如图所示，由题意可知，在中，取的中点，连接，所以，，又因为，所以，所以即相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为.故选：C5、B【解析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解【详解】因为N为BC中点，所以,因为M在线段OA上，且，所以，所以，故选：B6、B【解析】根据抛物线的定义，结合换元法、配方法进行求解即可.【详解】因为点P为该抛物线上的动点，所以点P的坐标设为，抛物线的焦点为F，所以，抛物线的准线方程为：，因此，令，，当时，即当时，有最大值，最大值为1，此时.故选：B7、C【解析】按照比例关系，分层抽取.【详解】由题意可知，所以应当抽取的一般员工人数为.故选：C8、D【解析】结合不等式的基本性质，利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A.当时，满足，推不出，故不充分；B.当时，满足，推不出，故不充分；C.当时，推不出，故不必要；D.因为，故充要，故选：D9、A【解析】分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知，对任意的恒成立，则，当时，在上单调递减，在上单调递减，所以，，故.故选：A.10、D【解析】过点A(3，3)且垂直于直线的直线斜率为，代入过的点得到.故答案为D.11、C【解析】根据题意，设抛物线的方程为，进而待定系数求解即可.【详解】解：由题，设抛物线的方程为，因为在抛物线上，所以，解得，即所求抛物线方程为故选：C12、C【解析】首先根据题设条件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂项相消法求和即可.【详解】由，得，则，所以，.故选：C.【点睛】本题考查累加法求数列通项，考查利用错位相减法求数列的前n项和，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】可设为第一象限的点，，，求出，，化简即得解.【详解】解：可设为第一象限的点，，，由椭圆定义可得，由双曲线的定义可得，可得，，由，可得，即为，化为，则故答案为：414、（1）证明见解析；（2）；（3）2021【解析】(1)将两边都加，证明是常数即可；(2)求出的通项，利用错位相减法求解即可；(3)先求出，再求出的表达式，利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）将两边都加，得，而，即有，又，则，，所以数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）知，，则，，，因此，，所以；（3）由（2）知，于是得，则，因此，，所以不超过的最大的整数是202115、.【解析】运用累和法，结合等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】因为，，所以当时，有，因此有：，即，当时，适合上式，所以，故答案为：.16、①.②.【解析】根据，，得到，利用累加法和等差数列求和公式求出，再利用裂项抵消法进行求和.【详解】因为，，，，，以上个式子累加，得，则；因为，所以.故答案为：，.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据条件先证明，再根据线面平行的判定定理证明平面PAD；（2）确定坐标原点，建立空间直角坐标系，从而求出相关的点的坐标，进而求得相关向量的坐标，再求相关平面的法向量，根据向量的夹角公式求得结果.【小问1详解】证明：由已知为等边三角形，且，所以又因为，,在中，，又，所以在底面中，，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】解：取的中点，连接，则，由（1）知，所以，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，所以，由已知可知平面ABCD的一个法向量设平面的一个法向量为，由，即，得，令，则，所以，由图形可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.18、（1）；（2）.【解析】（1）由可得数列是公差为2的等差数列，再由，，成等比数列，列方程可求出，从而可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可求出【详解】解：（1）由，可得，即数列是公差为2的等差数列.所以，，.由题意得，解得，所以.（2）由（1）可得，所以数列的前项和.19、（1）；（2）.【解析】(1)根据椭圆的定义即可判断并求解；(2)根据点差法即可求解中点弦斜率和中点弦方程.【小问1详解】设，，E(x，y)，∵，，且，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆设椭圆C的方程为，记，则，，，，，曲线的标准方程为【小问2详解】根据椭圆对称性可知直线l斜率存在，设，则，由①－②得，，∴l：，即.20、（1）（2）【解析】（1）根据离心率和点在椭圆上建立方程，结合，然后解出方程即可（2）设直线的斜率为，联立直线与椭圆的方程，然后利用韦达定理表示出，两点的坐标关系，并表示出为直线斜率的函数，然后求出的最大值【小问1详解】由椭圆过点，则有：由可得：解得：则椭圆的方程为：【小问2详解】由（1）得，，已知直线不过椭圆长轴顶点则直线的斜率不为，设直线的方程为：设，，联立直线方程和椭圆方程整理可得：故是恒成立的根据韦达定理可得：，则有：由，可得：所以的最大值为：21、（1）；（2）【解析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，继而得到双曲线的右焦点为，即为抛物线的焦点坐标，可得，即得解；（2）联立直线与抛物线，可得，再由直线过抛物线的焦点，故，三角形的高为O到直线的距离，利用点到直线公式，求解即可【小问1详解】由题意，双曲线渐近线方程为：，所以，所以双曲线E的标准方程为：故双曲线故双曲线的右焦点为，所以，，所以【小问2详解】由题意联立，得，又所以因为直线过抛物线的焦点，所以O到直线的距离，22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设