上海市静安区上戏附中2024届高二上数学期末质量检测模拟试题含解析

上海市静安区上戏附中2024届高二上数学期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一物体做直线运动，其位移(单位:)与时间(单位:)的关系是，则该物体在时的瞬时速度是A. B.C. D.2．若点P在曲线上运动，则点P到直线的距离的最大值为（）A. B.2C. D.43．已知函数，要使函数有三个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.4．算盘是中国传统计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（）A. B.C. D.5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（）A B.C. D.6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生数为（）A.10 B.15C.20 D.307．在等差数列中，已知，则（）A.4 B.8C.3 D.68．点到直线的距离是（）A. B.C. D.9．已知在等比数列中，，，则（）A.9或 B.9C.27或 D.2710．若，则的值为（）A.或 B.或C.1 D.－111．已知，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.12．如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（）A B.C.1 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知递增数列共有2021项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则的范围是________________，数列的所有项和________14．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____________________.15．等轴（实轴长与虚轴长相等）双曲线的离心率_______16．已知函数，若有两个零点，则的范围是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知幂函数在上单调递减，函数的定义域为集合A（1）求m的值；（2）当时，的值域为集合B，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围18．（12分）阿基米德（公元前年—公元前年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与交于不同的两点，求面积的最大值.19．（12分）已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的面积的最大值；（Ⅲ）设直线，分别与轴交于点，.判断，大小关系，并加以证明.20．（12分）已知函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是（1）求a、b的值；（2）求函数的极值.21．（12分）如图，OP为圆锥的高，AB为底面圆O的直径，C为圆O上一点，并且，E为劣弧上的一点，且，.（1）若E为劣弧的中点，求证：平面POE；（2）若E为劣弧的三等分点（靠近点），求平面PEO与平面PEB的夹角的余弦值.22．（10分）已知椭圆的左焦点为，点到短袖的一个端点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度【详解】对求导，得，，因此，该物体在时的瞬时速度为，故选A【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题2、A【解析】由方程确定曲线的形状，然后转化为求圆上的点到直线距离的最大值【详解】由曲线方程为知曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，方程化为，即，在第一象限内，曲线是为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点），实际上整个曲线就是这段圆弧及其关于坐标轴．原点对称的图形加上原点，点到直线的距离为，所以所求最大值为故选：A3、A【解析】要使函数有三个解，则与图象有三个交点，数形结合即可求解.【详解】要使函数有三个解，则与图象有三个交点，因为当时，，所以，可得在上递减，在递增，所以，有最小值，且时，，当趋向于负无穷时，趋向于0，但始终小于0，当时，单调递减，由图像可知：所以要使函数有三个零点，则.故选：A4、B【解析】根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中是质数的有：17，71，53，故所求事件的概率为故选：B5、B【解析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果【详解】因为，所以，即所以，由双曲线的定义，知，设，则，易得，如图，作，为垂足，则，所以，即，即双曲线的离心率为.故选：B6、C【解析】根据抽取比例乘以即可求解.【详解】由题意可得应从高三年级抽取的学生数为，故选：C.7、B【解析】根据等差数列的性质计算出正确答案.【详解】由等差数列的性质可知，得.故选:B8、B【解析】直接使用点到直线距离公式代入即可.【详解】由点到直线距离公式得故选：B9、B【解析】根据等比数列的性质可求.【详解】因为为等比数列，设公比为，则，解得，又，所以.故选：B.10、B【解析】求出函数的导数，由方程求解即可.【详解】，，解得或，故选：B11、C【解析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.【详解】由，，视为原点到直线上点的距离的平方，根据点到直线垂线段最短，可得，所有的取值范围为，故选：C.12、B【解析】根据给定条件建立空间直角坐标系，令，用表示出点E，F坐标，再由两点间距离公式计算作答.【详解】依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，设，有，线段EF长最短，必满足，则有，解得，即，因此，，当且仅当时取“=”，所以线段EF长的最小值为.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.1011【解析】根据题意得到，得到，，，，进而得到，从而即可求得的值.【详解】由题意，递增数列共有项，各项均不为零，且，所以，所以的范围是，因为时，仍是数列中的项，即，且上述的每一项均在数列中，所以，，，，即，所以，所以.故答案为：；.14、【解析】依题意，设所求的双曲线的方程为.点为该双曲线上的点，.该双曲线的方程为：，即.故本题正确答案是.15、【解析】由题意可知，，由，化简可求离心率.【详解】由题意可知，，两边同时平方，得，即，，所以离心率，故答案为：.16、【解析】利用导数求出函数的最小值，结合函数的图象列式可求出结果.【详解】,当时，，在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；当时，令，得，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以在时取得极小值为，也是最小值，因为当趋近于正负无穷时，都是趋近于正无穷，所以要使有两个零点，只要，即就可以了.所以的范围是故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据幂函数的定义和单调性求解；（2）利用根式函数的定义域和值域求得集合A，B，再由是A的真子集求解.【小问1详解】解：因为幂函数在上单调递减，所以，解得.【小问2详解】由，得，解得，所以，当时的值域为，所以，因为是成立的充分不必要条件，所以是A的真子集，，解得.18、(1)；(2).【解析】（1）根据题意计算得到，得到椭圆方程.（2）设直线的方程为，联立方程，根据韦达定理得到，，表示出，解得答案.【详解】(1)依题意有解得所以椭圆的标准方程是.(2)由题意直线的斜率不能为，设直线的方程为，由方程组得，设，，所以，，所以，所以，令（），则，，因为在上单调递增，所以当，即时，面积取得最大值为.【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19、（1）（2）（3）见解析【解析】(1)由题意求得，所以椭圆的方程为(2)联立直线与椭圆方程，由题意可得．三角形的高为．，面积表达式，当且仅当时，．即的面积的最大值是(3)结论为．利用题意有．所以试题解析：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为因为椭圆的离心率是，所以，即由解得所以椭圆的方程为（Ⅱ）将代入，消去整理得令，解得设则，所以点到直线的距离为所以的面积，当且仅当时，所以的面积的最大值是（Ⅲ）．证明如下：设直线，的斜率分别是，，则由（Ⅱ）得，所以直线，的倾斜角互补所以，所以所以20、（1）；（2）答案见解析【解析】（1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出，（2）求出导函数的符号，判断函数的单调性即可得到函数的极值【详解】（1）因为函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是，所以切线斜率是，且，求得，即点又函数，则所以依题意得解得（2）由（1）知所以令，解得或当，或；当，所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是所以当变化时，和变化情况如下表：0极大值极小值所以，21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）推导出平面，，，由此能证明平面（2）推导出，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【小问1详解】证明：为圆锥的高，平面，又平面，，为劣弧的中点，，，平面，平面【小问2详解】解：解：为劣弧的三等分点（靠近点，为底面圆的直径，为圆上一点，并且，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，，，，0，，，3，，0，，，，，，，，，3，设平面的法向量，，，则，取，得，，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为22、（1）（2）或【解析】（1